初二三角形压轴题分类解析汇报.docx
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初二三角形压轴题分类解析汇报
济南初中数学压轴
姜姜老师
北师大版七年级下三角形综合题归类
一、双等边三角形模型
1.
(1)如图7,点0是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/AEB的大小;
(2)如图8,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕着点0旋转(△OAB和厶OCD不能重叠),求/AEB的大小.
立吗?
作出判断不必说明理由
M,N分别为EB,CD的中点,易证:
C,连接AF和BE.
同类变式:
如图a,AABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点
⑴线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,
(1)中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由;
⑶若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),
(1)中的结论还成
3.如图9,若厶ABC和厶ADE为等边三角形,
CDBE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CDBE是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(2)当厶ADE绕A点旋转到图
11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,若不是,
请说明理
由.
同类变式:
已知,如图①所示,在厶ABC和厶ADE中,ABAC,ADAE,BACDAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
①BECD•,②AMAN.
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直
接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立
4.如图,
(1)
(2)
M
AE
图①图②
四边形ABCD^四边形AEFG^为正方形,连接BG与DE相交于点H.
证明:
△ABG也△ADE;
试猜想BHD的度数,并说明理由;
C
D
A
C
B
将图中正方形ABCD^点A逆时针旋转(0° 为S,△ADG的面积为S2,判断S与S2的大小关系,并给予证明. 5•已知: 如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG//BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DEDB,连接AE,CD. (1)求证: △AGEDAC; (2) 过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论. 二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1: 利用垂直证明角相等 1.如图,△ABC中,/ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF丄AE,垂足为F,过B作BD丄BC交CF的延长线于D. 2.(西安中考)如图⑴,已知△ABC中,/BAC=90,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C 在AE的异侧,BD丄AE于D,CE丄AE于E。 图 (1)图 (2)图(3) (1)试说明: BD=DE+CE. ⑵若直线AE绕A点旋转到图 (2)位置时(BD 写结论,并说明理由。 ⑶若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DECE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。 3.直线CD经过BCA的顶点C,CA=CBEF分别是直线CD上两点,且BECCFA. (1)若直线CD经过BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若BCA90°,90°,则EFBEAF(填“”,“”或“”号); ②如图2,若0°BCA180°,若使①中的结论仍然成立,贝U与BCA应满足的关系是 BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给 (2)如图3,若直线CD经过BCA的外部,予证明. 考点2: 利用角相等证明垂直 1.已知BECF是厶ABC的高,且BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 2.如图,在等腰Rt△ABC中,/ACE=90°,D为BC的中点,DELAB垂足为E,过点B作BF//AC交DE的延长线 于点F,连接CF (1)求证: CD=BF ⑵求证: ADLCF; ⑶连接AF,试判断△ACF的形状. 拓展巩固: 如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,/ ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交 AB于点E,交AD于点F,求证: /ADC=ZBDE. B (1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系,并证明你的结论; 中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由 4.如图1,ABC的边BC在直线I上,ACBC,且ACBC,EFP的边FP也在直线I上,边EF与边AC重合,且EFFP (1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系; (2)将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接 AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想; (3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长 线于点Q,连结AP,BQ,你认为 (2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗? 若成 立,给出证明;若不成立,请说明理由 压轴题拓展: (三线合一性质的应用)已知RtABC中,ACBC,C90,D为AB边的中点,EDF90, EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1),易证SDEFSCEF-SABC•当EDF绕D点旋转到DE和AC 2 CFB 图2 图3 又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明. 是BC边的中点,连结DH与BE相交于点 3.已知: 如图,△ABC中,/ABC=45°,CD丄AB于D,BE平分/ABC,且BEXAC于E,与CD相交于点F,H G。 (1)BF=AC (2)CE=^BF⑶CE与BC的大小关系如何。 考点2: 等腰直角三角形(45度的联想) 1.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。 直角三角尺的一条直角边 CBM 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与/ 的平分线BF相交于点F ⑴如图14—1,当点E在AB边的中点位置时: 通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想 ⑵如图14—2,当点E在AB边上的任意 位置时,请你在AD边上找到一点N,使得 NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数 量关系并证明 0M S14-1 明) ②连结点E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是 ③请证明你的上述猜想; (2)如图 (2)当点E在EC边得任意位置时,AE和EF有怎样的数量关系,并说明你的理由? B C 图 (1) M BECM 图 (2) 四、角平分线问题 1.如图: E在线段CD上,EAEB分别平分/DAB和/CBA,/AEB=90,设AD=X, BC=y,且x,y满足X2y26x8y250 (1)求AD和BC的长; (2)你认为AD和BC还有什么关系? 并验证你的结论;(3)你能求出AB的长度吗? 若能,请写出推理过程;若不能,请说明理由 2.如图①,0P是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以 0P所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这 个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②,在△ABC中,/ACB是直角,/B=60°,ADCE分别是/BAG/BCA 的平分线,AD、CE相交于点F。 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系; (2)如图③,在△ABC中,如果/ACB不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问,你 1 3.(北京市中考模拟题)如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,过C作CEAB于E,并且AE-(ABAD), 2 则ABCADC等于多少? 4.如图,△ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分BC,DEIAB于E,DF丄AC于F. F D (1)说明BE=CF的理由; (2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长. 五、中点问题 1.在厶ABC中,D为BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线 BG于点G。 DE GF,并交AB于点E.连结EG. (1)求证: BGCF; (2)请猜想BE CF与EF的大小关系,并加以证明 2.如右下图,在ABC中,若B2C,ADBC,E为BC边的中点.求证: AB2DE. 3.已知ABC中,ABAC,BD为AB的延长线,且BDAB,CE为ABC的AB边上的中线.求证CD2CE(提示: 倍长中线试试) 附加思考题: 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究: AM与DE的位置关系及数量关系. ⑴如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是;线段AM与DE的数量关系是 ⑵将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后,如图②所示,⑴问中得到的两个结论是 否发生改变? 并说明理由. BMC 图① BMC 图② 点,连接 上,且EF//DG。 24、已知: 如图,矩形ABCD中点G为BC延长线上一 DG,BHDG于H,且GHDH,点E,F分别在AB,BC (1)若AD3,CG2,求DG的长; (2)若GF ADBE,求证: EF-DG。 2
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