一阶逻辑基本概念.ppt
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第第第第4444章章章章一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念离离散散数数学学中国地质大学本科生课程中国地质大学本科生课程本章说明本章说明本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑公式、解释及分类一阶逻辑公式、解释及分类q本章与后续各章的关系本章与后续各章的关系克服命题逻辑的局限性克服命题逻辑的局限性是第五章的先行准备是第五章的先行准备引言引言引言引言例如例如(著名的苏格拉底三段论著名的苏格拉底三段论)(11)所有的人都是要死的;)所有的人都是要死的;(22)苏格拉底是人。
)苏格拉底是人。
(33)苏格拉底是要死的。
)苏格拉底是要死的。
命题逻辑能够解决的问题是有命题逻辑能够解决的问题是有局局限性限性的。
只能进行的。
只能进行命题间关系命题间关系的推的推理,无法解决与理,无法解决与命题的结构和成分命题的结构和成分有关的推理问题。
有关的推理问题。
苏格拉底三段论苏格拉底三段论苏格拉底三段论苏格拉底三段论PP:
所有的人都是要死的;:
所有的人都是要死的;QQ:
苏格拉底是人。
:
苏格拉底是人。
RR:
苏格拉底是要死的。
:
苏格拉底是要死的。
可见,可见,PP,QQ,RR为不同的命题,无法为不同的命题,无法体现三者相互之间的体现三者相互之间的联系联系。
q问题在于这类推理中,各命题之间的逻辑关系不是体现问题在于这类推理中,各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间,而是体现在在原子命题之间,而是体现在构成原子命题的内部成分构成原子命题的内部成分之间之间。
对此,命题逻辑将无能为力。
对此,命题逻辑将无能为力。
本章内容本章内容本章内容本章内容一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化1一阶逻辑公式及其解释一阶逻辑公式及其解释2本章学习要求本章学习要求本章学习要求本章学习要求重点掌握重点掌握了解了解111谓词逻辑符谓词逻辑符号化及真值号化及真值22谓词公式的谓词公式的有效性和基本有效性和基本等价公式等价公式3谓词公式及其谓词公式及其解释解释211谓词公式的谓词公式的解释和真值解释和真值22自由变元和自由变元和约束变元约束变元一般掌握一般掌握4.14.1一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化q一阶逻辑命题符号化的三个基本要素一阶逻辑命题符号化的三个基本要素个体词个体词谓词谓词量词量词q个体词及相关概念个体词及相关概念q个体词一般是充当主语的名词或代词。
个体词一般是充当主语的名词或代词。
说说明明q个个体体词词:
指指所所研研究究对对象象中中可可以以独独立立存存在在的的具具体体或或抽抽象的客体。
象的客体。
q举例举例命题:
电子计算机是科学技术的工具。
命题:
电子计算机是科学技术的工具。
个体词:
电子计算机。
个体词:
电子计算机。
命题:
他是三好学生命题:
他是三好学生。
个体词:
他。
个体词:
他。
q个个体体常常项项:
表表示示具具体体或或特特定定的的客客体体的的个个体体词词,用用小小写写字字母母aa,bb,cc,表示。
表示。
q个个体体变变项项:
表表示示抽抽象象或或泛泛指指的的客客体体的的个个体体词词,用用xx,yy,zz,表表示。
示。
q个体域(或称论域)个体域(或称论域):
指个体变项的取值范围。
:
指个体变项的取值范围。
可以是有穷集合,如可以是有穷集合,如aa,bb,cc,1,2,1,2。
可以是无穷集合,如可以是无穷集合,如NN,ZZ,RR,。
q全总个体域(全总个体域(universeuniverse)宇宙间一切事物组成宇宙间一切事物组成。
个体词及相关概念个体词及相关概念个体词及相关概念个体词及相关概念q本教材在论述或推理中,如果没有指明所采本教材在论述或推理中,如果没有指明所采用的个体域,都是使用的全总个体域。
用的个体域,都是使用的全总个体域。
说说明明谓词及相关概念谓词及相关概念谓词及相关概念谓词及相关概念q谓词(谓词(predicatepredicate)是用来刻画个体词性质及个体词之间相是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
互关系的词。
(1)
(1)是无理数。
是无理数。
是个体常项,是个体常项,“是无理数是无理数”是谓词,记为是谓词,记为FF,命题符号化命题符号化为为F(F()。
(2)
(2)xx是有理数。
是有理数。
xx是个体变项,是个体变项,“是有理数是有理数”是谓词,记为是谓词,记为GG,命题符号化命题符号化为为G(G(xx)。
(3)(3)小王与小李同岁。
小王与小李同岁。
小王、小李都是个体常项,小王、小李都是个体常项,“与与同岁同岁”是谓词,记为是谓词,记为HH,命题符号化为命题符号化为H(H(a,ba,b),其中,其中aa:
小王,小王,bb:
小李:
小李。
(4)(4)xx与与yy具有关系具有关系LL。
xx,yy都是个体变项,谓词为都是个体变项,谓词为LL,命题符号化为命题符号化为L(x,yL(x,y)。
q谓词常项谓词常项:
表示具体性质或关系的谓词。
用大写字母表示。
表示具体性质或关系的谓词。
用大写字母表示。
如如
(1)
(1)、
(2)
(2)、(3)(3)中谓词中谓词FF、GG、HH。
q谓词变项谓词变项:
表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
用大写:
表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
用大写字母表示。
如字母表示。
如(4)(4)中谓词中谓词LL。
qnn(nn1)1)元谓词元谓词:
P(xP(x11,x,x22,xxnn)表示含表示含nn个命题变项的个命题变项的nn元谓元谓词。
词。
n=1n=1时,一元谓词时,一元谓词表示表示xx11具有性质具有性质PP。
n2n2时,多元谓词时,多元谓词表示表示xx11,x,x22,xxnn具有关系具有关系PP。
q00元谓词元谓词:
不含个体变项的谓词:
不含个体变项的谓词。
如。
如F(a)F(a)、G(a,bG(a,b)、P(P(aa11,a,a22,a,ann)。
qnn元谓词是命题吗?
元谓词是命题吗?
不是,只有用谓词常项取代不是,只有用谓词常项取代PP,用个体常项取代用个体常项取代xx11,x,x22,xxnn时,才能使时,才能使nn元谓词变为命题。
元谓词变为命题。
思思考考谓词及相关概念谓词及相关概念谓词及相关概念谓词及相关概念更一般地更一般地更一般地更一般地P(xP(x):
xx是电子科技大学的学生。
是电子科技大学的学生。
xx:
个体词:
个体词PP:
谓词:
谓词P(xP(x):
):
命题函数命题函数P(xP(x)结论结论结论结论1.1.谓词中谓词中个体词的顺序是十分重要个体词的顺序是十分重要的,不能随意变更。
的,不能随意变更。
如命题如命题F(bF(b,c),c)为为“真真”,但命题,但命题F(cF(c,b),b)为为“假假”;2.2.一元谓词一元谓词用以描述用以描述某一个个体的某种特性某一个个体的某种特性,而,而nn元谓元谓词词则用以描述则用以描述nn个个体之间的关系个个体之间的关系。
3.3.00元谓词元谓词(不含个体词的不含个体词的)实际上就是一般的命题;实际上就是一般的命题;结论(续)结论(续)结论(续)结论(续)4.4.具体命题的谓词表示形式具体命题的谓词表示形式和和nn元命题函数元命题函数(n(n元谓元谓词词)是不同的,前者是有真值的,而后者不是命是不同的,前者是有真值的,而后者不是命题,它的真值是不确定的。
如上例中题,它的真值是不确定的。
如上例中S(aS(a)是有是有真值的,但真值的,但S(xS(x)却没有真值;却没有真值;5.5.一个一个nn元谓词不是一个命题元谓词不是一个命题,但,但将将nn元谓词中的元谓词中的个体变元都用个体域中具体的个体取代个体变元都用个体域中具体的个体取代后,就后,就成为一个命题成为一个命题。
而且,个体变元在不同的个体。
而且,个体变元在不同的个体域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大的影响。
有很大的影响。
例题例题例题例题例例4.14.1将下列命题在一阶逻辑中用将下列命题在一阶逻辑中用00元谓词符号化,并讨论真值。
元谓词符号化,并讨论真值。
(1)
(1)只有只有22是素数,是素数,44才是素数。
才是素数。
(2)
(2)如果如果55大于大于44,则,则44大于大于6.6.解:
解:
(1)
(1)设一元谓词设一元谓词F(x):
xF(x):
x是素数,是素数,a:
2a:
2,b:
4b:
4。
命题符号化为命题符号化为00元谓词的蕴涵式元谓词的蕴涵式F(b)F(aF(b)F(a)由于此蕴涵前件为假,所以命题为真。
由于此蕴涵前件为假,所以命题为真。
(2)
(2)设二元谓词设二元谓词G(x,y):
xG(x,y):
x大于大于yy,a:
4a:
4,b:
5b:
5,c:
6c:
6。
命题符号化为命题符号化为00元谓词的蕴涵式元谓词的蕴涵式G(b,a)G(a,cG(b,a)G(a,c)由于由于G(b,aG(b,a)为真,而为真,而G(a,cG(a,c)为假,所以命题为假。
为假,所以命题为假。
例题例题例题例题将命题将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。
这只大红书柜摆满了那些古书。
”符号化符号化.
(1)
(1)设设F(x,y)F(x,y):
xx摆满了摆满了yy,R(x)R(x):
xx是大红书柜是大红书柜Q(y)Q(y):
yy是古书,是古书,aa:
这只,这只,bb:
那些那些符号化为:
符号化为:
R(a)Q(b)F(a,bR(a)Q(b)F(a,b)
(2)
(2)设设A(x)A(x):
xx是书柜,是书柜,B(x)B(x):
xx是大的是大的C(x)C(x):
xx是红的,是红的,D(y)D(y):
yy是古老的是古老的E(yE(y):
yy是图书,是图书,F(x,y)F(x,y):
xx摆满了摆满了yyaa:
这只这只bb:
那些那些符号化为:
符号化为:
A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,bA(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b)量量词词(quantifiersquantifiers)是是表表示示个个体体常常项项或或个个体体变变项项之之间间数数量量关关系系的词。
的词。
11.全称量词全称量词:
符号化为符号化为“”q日日常常生生活活和和数数学学中中所所用用的的“一一切切的的”、“所所有有的的”、“每每一一个个”、“任意的任意的”、“凡凡”、“都都”等词可统称为全称量词。
等词可统称为全称量词。
qxx表表示示个个体体域域里里的的所所有有个个体体,xF(xxF(x)表表示示个个体体域域里里所所有有个个体体都有性质都有性质FF。
22.存在量词存在量词:
符号化为:
符号化为“”q日日常常生生活活和和数数学学中中所所用用的的“存存在在”、“有有一一个个”、“有有的的”、“至少有一个至少有一个”等词统称为存在量词。
等词统称为存在量词。
qyy表表示示个个体体域域里里有有的的个个体体,yG(yyG(y)表表示示个个体体域域里里存存在在个个体体具具有性质有性质GG等。
等。
量词及相关概念量词及相关概念量词及相关概念量词及相关概念不便之处不便之处不便之处不便之处1.1.从从书写上书写上十分不便,总要特别注明个体域;十分不便,总要特别注明个体域;2.2.在同一个比较复杂的句子中,对于不同命题函数中的个在同一个比较复杂的句子中,对于不同命题函数中的个体可能属于不同的个体域,此时体可能属于不同的个体域,此时无法清晰无法清晰表达;表达;如例如例(所有的所有的老虎都要吃人;老虎都要吃人;)和和(有一些有一些人登上过月球;人登上过月球;)的合取的合取xx人人xx老虎老虎(x)P(x)(x)R(x)不便之处不便之处不便之处不便之处(续续续续)3.3.若若个体域的注明不清楚,个体域的注明不清楚,将将造成造成无法确定其真值无法确定其真值。
即。
即对于对于同一个同一个nn元谓词,不同的个体域有可能带来不同的真值元谓词,不同的个体域有可能带来不同的真值。
例如例
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