小升初奥数公式整理.docx
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小升初奥数公式整理.docx
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小升初奥数公式整理
小学奥数必考公式
1、与差倍问题:
与差问题
与倍问题
差倍问题
已知条件
几个数得与与差
几个数得与与倍数
几个数得差与倍数
公式适用范围
已知两个数得与,差,倍数关系
公式
①(与-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
与-较小数=较大数
②(与+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
与-较大数=较小数
与÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
与-小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数
关键问题
求出同一条件下得
与与差
与与倍数
差与倍数
2、年龄问题基本特征:
①两个人得年龄差就是不变得;
②两个人得年龄就是同时增加或者同时减少得;
③两个人得年龄得倍数就是发生变化得;
3、归一问题得基本特点:
问题中有一个不变得量,一般就是那个“单一量”,题目一般用“照这样得速度”……等词语来表示。
关键问题:
根据题目中得条件确定并求出单一量;
4、植树问题:
基本类型
在直线或者不封闭得曲线上植树,两端都植树
在直线或者不封闭得曲线上植树,两端都不植树
在直线或者不封闭得曲线上植树,只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数=段数+1
棵距×段数=总长
棵数=段数-1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题
确定所属类型,从而确定棵数与段数得关系
5、鸡兔同笼问题:
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就就是把假设错得那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲与乙一样或者乙与甲一样):
②假设后,发生了与题目条件不同得差,找出这个差就是多少;
③每个事物造成得差就是固定得,从而找出出现这个差得原因;
④再根据这两个差作适当得调整,消去出现得差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:
找出总量得差与单位量得差。
6、盈亏问题:
基本概念:
一定量得对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组得标准不同,造成结果得差异,由它们得关系求对象分组得组数或对象得总量。
基本思路:
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准得差异造成结果得变化,根据这个关系求出参加分配得总份数,然后根据题意求出对象得总量。
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数得差
②当两次都有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数得差
③当两次都不足;
基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数得差
基本特点:
对象总量与总得组数就是不变得。
关键问题:
确定对象总量与总得组数。
7、牛吃草问题:
基本思路:
假设每头牛吃草得速度为“1”份,根据两次不同得吃法,求出其中得总草量得差;再找出造成这种差异得原因,即可确定草得生长速度与总草量。
基本特点:
原草量与新草生长速度就是不变得;
关键问题:
确定两个不变得量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8、周期循环与数表规律:
周期现象:
事物在运动变化得过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过得时间叫周期。
关键问题:
确定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9、平均数:
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差得与÷总份数
基本算法:
①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算、
②基准数法:
根据给出得数之间得关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近得数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数得差;再求出所有差得与;再求出这些差得平均数;最后求这个差得平均数与基准数得与,就就是所求得平均数,具体关系见基本公式②
10、抽屉原理:
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就就是把4分解成三个整数得与,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体得方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X得最大整数。
例[4、351]=4;[0、321]=0;[2、9999]=2;
关键问题:
构造物体与抽屉。
也就就是找到代表物体与抽屉得量,而后依据抽屉原则进行运算。
11、定义新运算:
基本概念:
定义一种新得运算符号,这个新得运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义得运算规则,把已知得数代入,转化为加减乘除得运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:
正确理解定义得运算符号得意义。
注意事项:
①新得运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义得运算符号只能在本题中使用。
12、数列求与:
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数得差就是一定得,这样得一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列得第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列得所有数得个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数得差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数得公式,一般用an表示;
数列得与:
这一数列全部数字得与,一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求与公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列与公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列与=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an+a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量与未知量,确定使用得公式;
13、二进制及其应用:
十进制:
用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上得数字表示不同得含义,十位上得2表示20,百位上得2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:
N0=1;N1=N(其中N就是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上得数字表示不同得含义。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:
An不就是0就就是1。
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1得特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得得余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数得2得n次方,再求它们得差,再找不大于这个差得2得n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理与计数:
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2、、、、、、、+mn种不同得方法。
关键问题:
确定工作得分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×m2、、、、、、、×mn种不同得方法。
关键问题:
确定工作得完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务得一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成得轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间得距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线得一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长得线段数×宽得线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数:
质数:
一个数除了1与它本身之外,没有别得约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1与它本身之外,还有别得约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数就是某个数得约数,那么这个质数叫做这个数得质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘得形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数得结果就是唯一得。
分解质因数得标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都就是合数N得质因数,且a1 求约数个数得公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数得最大公约数就是1,这两个数叫做互质数。 16、约数与倍数: 约数与倍数: 若整数a能够被b整除,a叫做b得倍数,b就叫做a得约数。 公约数: 几个数公有得约数,叫做这几个数得公约数;其中最大得一个,叫做这几个数得最大公约数。 最大公约数得性质: 1、几个数都除以它们得最大公约数,所得得几个商就是互质数。 2、几个数得最大公约数都就是这几个数得约数。 3、几个数得公约数,都就是这几个数得最大公约数得约数。 4、几个数都乘以一个自然数m,所得得积得最大公约数等于这几个数得最大公约数乘以m。 例如: 12得约数有1、2、3、4、6、12; 18得约数有: 1、2、3、6、9、18; 那么12与18得公约数有: 1、2、3、6; 那么12与18最大得公约数就是: 6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法: 先分解质因数,然后把相同得因数连乘起来。 2、短除法: 先找公有得约数,然后相乘。 3、辗转相除法: 每一次都用除数与余数相除,能够整除得那个余数,就就是所求得最大公约数。 公倍数: 几个数公有得倍数,叫做这几个数得公倍数;其中最小得一个,叫做这几个数得最小公倍数。 12得倍数有: 12、24、36、48……; 18得倍数有: 18、36、54、72……; 那么12与18得公倍数有: 36、72、108……; 那么12与18最小得公倍数就是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数得性质: 1、两个数得任意公倍数都就是它们最小公倍数得倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数得乘积等于这两个数得乘积。 求最小公倍数基本方法: 1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数得方法 17、数得整除: 基本概念与符号: 1、整除: 如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号: 整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以得符号“∴”; 整除判断方法: 1、能被2、5整除: 末位上得数字能被2、5整除。 2、能被4、25整除: 末两位得数字所组成得数能被4、25整除。 3、能被8、125整除: 末三位得数字所组成得数能被8、125整除。 4、能被3、9整除: 各个数位上数字得与能被3、9整除。 5、能被7整除: ①末三位上数字所组成得数与末三位以前得数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字得2倍后能被7整除。 6、能被11整除: ①末三位上数字所组成得数与末三位以前得数字所组成得数之差能被11整除。 ②奇数位上得数字与与偶数位数得数字与得差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7、能被13整除: ①末三位上数字所组成得数与末三位以前得数字所组成得数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字得9倍后能被13整除。 整除得性质: 1、如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2、如果a能被b整除,c就是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3、如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4、如果a能被b、c整除,那么a也能被b与c得最小公倍数整除。 18、余数及其应用: 基本概念: 对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0 余数得性质: ①余数小于除数。 ②若a、b除以c得余数相同,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b得与除以c得余数等于a除以c得余数加上b除以c得余数得与除以c得余数。 ④a与b得积除以c得余数等于a除以c得余数与b除以c得余数得积除以c得余数。 19、余数、同余与周期: 同余得定义: ①若两个整数a、b除以m得余数相同,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。 同余得性质: ①自身性: a≡a(modm); ②对称性: 若a≡b(modm),则b≡a(modm); ③传递性: 若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm); ④与差性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm); ⑥乘方性: 若a≡b(modm),则an≡bn(modm); ⑦同倍性: 若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c); 关于乘方得预备知识: ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 被3、9、11除后得余数特征: ①一个自然数M,n表示M得各个数位上数字得与,则M≡n(mod9)或(mod3); ②一个自然数M,X表示M得各个奇数位上数字得与,Y表示M得各个偶数数位上数字得与,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11); 费尔马小定理: 如果p就是质数(素数),a就是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。 20、分数与百分数得应用: 基本概念与性质: 分数: 把单位“1”平均分成几份,表示这样得一份或几份得数。 分数得性质: 分数得分子与分母同时乘以或除以相同得数(0除外),分数得大小不变。 分数单位: 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份得数。 百分数: 表示一个数就是另一个数百分之几得数。 常用方法: ①逆向思维方法: 从题目提供条件得反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法: 找出题目中具体得量与它所占得率得直接对应关系。 ③转化思维方法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见得就是转换成比例与转换成倍数关系;把不同得标准(在分数中一般指得就是一倍量)下得分率转化成同一条件下得分率。 常见得处理方法就是确定不同得标准为一倍量。 ④假设思维方法: 为了解题得方便,可以把题目中不相等得量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应得结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法: 在变化得各个量当中,总有一个量就是不变得,不论其她量如何变化,而这个量就是始终固定不变得。 有以下三种情况: A、分量发生变化,总量不变。 B、总量发生变化,但其中有得分量不变。 C、总量与分量都发生变化,但分量之间得差量不变化。 ⑥替换思维方法: 用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法: 总量与分量之间按照同分率变化得规律进行处理。 ⑧浓度配比法: 一般应用于总量与分量都发生变化得状况。 21、分数大小得比较: 基本方法: ①通分分子法: 使所有分数得分子相同,根据同分子分数大小与分母得关系比较。 ②通分分母法: 使所有分数得分母相同,根据同分母分数大小与分子得关系比较。 ③基准数法: 确定一个标准,使所有得分数都与它进行比较。 ④分子与分母大小比较法: 当分子与分母得差一定时,分子或分母越大得分数值越大。 ⑤倍率比较法: 当比较两个分子或分母同时变化时分数得大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率得变化关系比较分数得大小。 (具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法: 把所有分数转化成小数(求出分数得值)后进行比较。 ⑦倍数比较法: 用一个数除以另一个数,结果得数与1进行比较。 ⑧大小比较法: 用一个分数减去另一个分数,得出得数与0比较。 ⑨倒数比较法: 利用倒数比较大小,然后确定原数得大小。 ⑩基准数比较法: 确定一个基准数,每一个数与基准数比较。 22、分数拆分: 将一个分数单位分解成两个分数之与得公式: 23、完全平方数: 完全平方数特征: 1、末位数字只能就是: 0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2、除以3余0或余1;反之不成立。 3、除以4余0或余1;反之不成立。 4、约数个数为奇数;反之成立。 5、奇数得平方得十位数字为偶数;反之不成立。 6、奇数平方个位数字就是奇数;偶数平方个位数字就是偶数。 7、两个相临整数得平方之间不可能再有平方数。 平方差公式: X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方与公式: (X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式: (X-Y)2=X2-2XY+Y2 24、比与比例: 比: 两个数相除又叫两个数得比。 比号前面得数叫比得前项,比号后面得数叫比得后项。 比值: 比得前项除以后项得商,叫做比值。 比得性质: 比得前项与后项同时乘以或除以相同得数(零除外),比值不变。 比例: 表示两个比相等得式子叫做比例。 a: b=c: d或 比例得性质: 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例: 若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB得商不变时),则A与B成正比。 反比例: 若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB得积不变时),则A与B成反比。 比例尺: 图上距离与实际距离得比叫做比例尺。 按比例分配: 把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。 25、综合行程: 基本概念: 行程问题就是研究物体运动得,它研究得就是物体速度、时间、路程三者之间得关系、 基本公式: 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 关键问题: 确定运动过程中得位置与方向。 相遇问题: 速度与×相遇时间=相遇路程(请写出其她公式) 追及问题: 追及时间=路程差÷速度差(写出其她公式) 流水问题: 顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 流水问题: 关键就是确定物体所运动得速度,参照以上公式。 过桥问题: 关键就是确定物体所运动得路程,参照以上公式。 主要方法: 画线段图法 基本题型: 已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度与、速度差)中任意两个量,求第三个量。 26、工程问题: 基本公式: ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路: ①假设工作总量为“1”(与总工作量无关); ②假设一个方便得数为工作总量(一般就是它们完成工作总量所用时间得最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间、 关键问题: 确定工作量、工作时间、工作效率间得两两对应关系。 27、逻辑推理: 条件分析—假设法: 假设可能情况中得一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾得情况,说明该假设情况就是不成立得,那么与她得相反情况就是成立得。 例如,假设a就是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定就是奇数。 条件分析—列表法: 当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。 列表法就就是把题设得条件全部表示在一个长方形表格中,表格得行、列分别表示不同得对象与情况,观察表格内得题设情况,运用逻辑规律进行判断。 条件分析—图表法: 当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间得关系,有连线则表示“就是,有”等肯定得状态,没有连线则表示否定得状态。 例如A与B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 逻辑计算: 在推理得过程中除了要进行条件分析得推理之外,还要进行相应得计算,根据计算得结果为推理提供一个新得判断筛选条件。 简单归纳与推理: 根据题目提供得特征与数据,分析其中存在得规律与方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关得关系式,从而得到问题得解决。 28、几何面积: 基本思路: 在一些面积得计算上,不能直接运用公式得情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则得图形变为规则得图形进行计算;另外需要掌握与记忆一些常规得面积规律。 常用方法: 1、连辅助线方法 2、利用等底等高得两个三角形面积相等。 3、大胆假设(有些点得设置题目中说得就是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。 4、利用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。 (斜边得平方除以4等于等腰直角三角形得面积) ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。 ③圆得面积占外接正方形面积得78、5%。 29、时钟问题—快慢: 基本思路: 1、按照行程问题中得思维方法解题; 2、不同得表当成速度不同得运动物体; 3、路程得单位就是分格(表一周为60分格); 4、时间就是标准表所经过得时间; 5、合理利用行程问题中得比例关系; 30、时钟问题—钟面追及: 基本思路: 封闭曲线上得追及问题。 关键问题: ①确定分针与时针得初始位置; ②确定分针与时针得路程差; 基本方法: ①分格方法: 时钟得钟面圆周被均匀分成60小格,每小格我们称为1分格。 分针每小时走60分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1/1
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