数学与方程综合应用.docx
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数学与方程综合应用
“数与代数”部分综合题复习
1.在“玉龙”自行车队的一次训练中,1号队员以高于其他队员10千米/时的速度独自前行,匀速行进一段时间后,又返回队伍,在往返过程中速度保持不变.设分开后行进的时间为x(时),1号队员和其他队员行进的路程分别为y1、y2(千米),并且y1、y2与x的函数关系如图所示:
(1)1号队员折返点A的坐标为 ,如果1号队员与其他队员经过t小时相遇,那么点B的坐标为 ;(用含t的代数式表示)
(2)求1号队员与其他队员经过几小时相遇?
(3)在什么时间内,1号队员与其他队员之间的距离大于2千米?
2、黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富.一天某
渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的
距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(设渔船与渔政船沿同一航线航行)
(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式.
(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离.
(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?
3.某电器超市销售
、
两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
已知A中型号电风扇每台进价比B种型号电风扇多30元,用4000元购买A中型号电风扇与3400元购买B中型号电风扇的数量相同。
1).求
、
两种型号的电风扇的销售单价; 2).求
、
两种型号的电风扇的进价
3).若超市准备用不多于
元的金额再采购这两种型号的电风扇共
台,求超市售完这30台的电风扇的最大利润?
4.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB=
(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.
(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?
(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?
5、某产品生产车间有工人10名.已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个,且每生产一个甲种产品可获得利润100元,每生产一个乙种产品可获得利润180元.在这10名工人中,车间每天安排x名工人生产甲种产品,其余工人生产乙种产品.
(1)请写出此车间每天获取利润y(元)与x(人)之间的函数关系式;
(2)若要使此车间每天获取利润为14400元,要派多少名工人去生产甲种产品?
(3)若要使此车间每天获取利润不低于15600元,你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适?
6.在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑自行车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地直接的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
7、某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.
(1)根据图象,求y与x之间的函数关系式;
(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价;
(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元,每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元,根据学生需求,超市老板决定,购进甲种品牌的文具盒不少于180个,但不超过200个。
如何购买使获利最大?
最大获利为多少元?
8.某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在30≤x≤120,具有一次函数的关系,如下表所示.
X
50
60
90
120
y
40
38
32
26
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米,因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划每天的修建费.
9.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/部)
4000
2500
售价(元/部)
4300
3000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.
(毛利润=(售价﹣进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?
并求出最大毛利润.
10、某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x(单位:
台)
10
20
30
y(单位:
万元∕台)
60
55
50
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注:
利润=售价
成本)
18.在“玉龙”自行车队的一次训练中,1号队员以高于其他队员10千米/时的速度独自前行,匀速行进一段时间后,又返回队伍,在往返过程中速度保持不变.设分开后行进的时间为x(时),1号队员和其他队员行进的路程分别为y1、y2(千米),并且y1、y2与x的函数关系如图所示:
(1)1号队员折返点A的坐标为 ,如果1号队员与其他队员经过t小时相遇,那么点B的坐标为 ;(用含t的代数式表示)
(2)求1号队员与其他队员经过几小时相遇?
(3)在什么时间内,1号队员与其他队员之间的距离大于2千米?
8、黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富.一天某
渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的
距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)
(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式.
(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离.
(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?
19.某电器超市销售
、
两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
已知A中型号电风扇每台进价比B种型号电风扇多30元,用4000元购买A中型号电风扇与3400元购买B中型号电风扇的数量相同。
1.求
、
两种型号的电风扇的销售单价;
2.求
、
两种型号的电风扇的进价
3.若超市准备用不多于
元的金额再采购这两种型号的电风扇共
台,求超市售完这30台的电风扇的最大利润?
2.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB=
(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.
(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?
(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?
9、某产品生产车间有工人10名.已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个,且每生产一个甲种产品可获得利润100元,每生产一个乙种产品可获得利润180元.在这10名工人中,车间每天安排x名工人生产甲种产品,其余工人生产乙种产品.
(1)请写出此车间每天获取利润y(元)与x(人)之间的函数关系式;
(2)若要使此车间每天获取利润为14400元,要派多少名工人去生产甲种产品?
(3)若要使此车间每天获取利润不低于15600元,你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适?
考点:
一次函数的应用.3718684
分析:
(1)根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润,表示出总利润即可;
(2)根据每天获取利润为14400元,则y=14400,求出即可;
(3)根据每天获取利润不低于15600元即y≥15600,求出即可.
解答:
解:
(1)根据题意得出:
y=12x×100+10(10﹣x)×180
=﹣600x+18000;
(2)当y=14400时,有14400=﹣600x+18000,
解得:
x=6,
故要派6名工人去生产甲种产品;
(3)根据题意可得,
y≥15600,
即﹣600x+18000≥15600,
解得:
x≤4,
则10﹣x≥6,
故至少要派6名工人去生产乙种产品才合适.
点评:
此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用等知识,根据已知得出y与x之间的函数关系是解题关键.
10、在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑自行车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地直接的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
考点:
一次函数的应用.3718684
分析:
(1)x=0时甲的y值即为A、B两地的距离;
(2)根据图象求出甲、乙两人的速度,再利用相遇问题求出相遇时间,然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义;
(3)分相遇前和相遇后两种情况求出x的值,再求出最后两人都到达B地前两人相距3千米的时间,然后写出两个取值范围即可.
解答:
解:
(1)x=0时,甲距离B地30千米,
所以,A、B两地的距离为30千米;
(2)由图可知,甲的速度:
30÷2=15千米/时,
乙的速度:
30÷1=30千米/时,
30÷(15+30)=
,
×30=20千米,
所以,点M的坐标为(
,20),表示
小时后两车相遇,此时距离B地20千米;
(3)设x小时时,甲、乙两人相距3km,
①若是相遇前,则15x+30x=30﹣3,
解得x=
,
②若是相遇后,则15x+30x=30+3,
解得x=
,
③若是到达B地前,则15x﹣30(x﹣1)=3,
解得x=
,
所以,当
≤x≤
或
≤x≤2时,甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系.
点评:
本题考查了一次函数的应用,主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系,难点在于(3)要分情况讨论.
1、某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.
(1)根据图象,求y与x之间的函数关系式;
(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价;
(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元,每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元,根据学生需求,超市老板决定,准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒,且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元,问该超市有几种进货方案?
哪种方案能使获利最大?
最大获利为多少元?
考点:
一次函数的应用.
分析:
(1)根据函数图象由待定系数法就可以直接求出y与x之间的函数关系式;
(2)设甲品牌进货单价是a元,则乙品牌的进货单价是2a元,根据购进甲品牌文具盒120个可以求出乙品牌的文具盒的个数,由共需7200元为等量关系建立方程求出其解即可;
(3)设甲品牌进货m个,则乙品牌的进货(﹣m+300)个,根据条件建立不等式组求出其解即可.
32、某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在30≤x≤120,具有一次函数的关系,如下表所示.
X
50
60
90
120
y
40
38
32
26
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米,因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划每天的修建费.
36、(2013•宁波)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/部)
4000
2500
售价(元/部)
4300
3000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.
(毛利润=(售价﹣进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?
并求出最大毛利润.
考点:
一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.
分析:
(1)设商场计划购进甲种手机x部,乙种手机y部,根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可;
(2)设甲种手机减少a部,则乙种手机增加2a部,表示出购买的总资金,由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围,再设销售后的总利润为W元,表示出总利润与a的关系式,由一次函数的性质就可以求出最大利润.
解答:
解:
(1)设商场计划购进甲种手机x部,乙种手机y部,由题意,得
,
解得:
,
答:
商场计划购进甲种手机20部,乙种手机30部;
(2)设甲种手机减少a部,则乙种手机增加2a部,由题意,得
0.4(20﹣a)+0.25(30+2a)≤16,
解得:
a≤5.
设全部销售后获得的毛利润为W元,由题意,得
W=0.03(20﹣a)+0.05(30+2a)
=0.07a+2.1
∵k=0.07>0,
∴W随a的增大而增大,
∴当a=5时,W最大=2.45.
答:
当该商场购进甲种手机15部,乙种手机40部时,全部销售后获利最大.最大毛利润为2.45万元.
点评:
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用,解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键.
38、某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x(单位:
台)
10
20
30
y(单位:
万元∕台)
60
55
50
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注:
利润=售价
成本)
解析:
以下解题过程同方法一.
24.解:
(1)设y与x的函数解析式为
根据题意,得
解得
∴y与x之间的函数关系式为
;…(3分)
(2)设该机器的生产数量为x台,
根据题意,得
,解得
∵
∴x=50.
答:
该机器的生产数量为50台.……………………………(6分)
(3)设销售数量z与售价a之间的函数关系式为
根据题意,得
解得
∴
……………………(8分)
当z=25时,a=65.
设该厂第一个月销售这种机器的利润为w万元.
(万元).…………………(9分)
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