人教版八年级数学下册第9讲菱形教案讲义及练习.docx
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人教版八年级数学下册第9讲菱形教案讲义及练习
菱形
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
120
知识点
1、菱形的定义
2、菱形的性质
3、菱形的判定
4、菱形的面积
教学目标
熟练掌握菱形的性质和判定并且能做到知识的灵活运用
教学重点
菱形的性质和判定以及面积的计算
教学难点
菱形的性质和判定
教学过程
一、课堂导入
生活中的菱形:
本节课主要针对菱形的性质和判定以及常见的应用进行讲解。
二、复习预习
平行四边形的定义:
定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
表示方法:
平行四边形用符号
表示,平行四边形ABCD记作
,读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形的性质:
平行四边形的面积:
平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积。
平行四边形的面积公式:
S=ah(a是平行四边形的一条边长,h是这条边上的高).
平行四边形的判定:
.
三角形中位线定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(三角形有三条中位线)
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.
用字母表示为:
DE∥BC,且DE=
BC
三、知识讲解
考点/易错点1
菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
说明:
1、菱形的定义有两个条件:
(1)是平行四边形
(2)有一组邻边相等
2、菱形的定义既是菱形的一条性质,也是菱形的一种判定方法。
考点/易错点2
菱形的性质:
菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的所有性质外,还具有它特有的性质。
(1)菱形的对边平行,四条边都相等;
(2)菱形的对角相等;
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
考点/易错点3
菱形性质的说明:
1、菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质。
2、菱形的对角线具有较多的性质:
(1)所在直线是菱形的对称轴
(2)互相垂直
(3)互相平分
(4)平分一组对角
考点/易错点4
菱形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义);
(2)四条边都相等的四边形是菱形;
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
考点/易错点5
菱形的面积公式:
S=ah(a是菱形的边长,h是这条边上的高)
或s=
mn(m、n是菱形的两条对角线长)。
说明:
由菱形的面积公式可以推导出:
对角线互相垂直的任意四边形面积等于对角线乘积的一半。
四、例题精析
【例题1】
【题干】能够判别一个四边形是菱形的条件是( )
A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分 D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
【答案】A选项可判定为矩形;B选项不能判定是平行四边形,∴也不能判定是菱形;C选项只能判定是平行四边形;D选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等.故选D.
【解析】菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化,菱形的对角线互相垂直,把菱形分成四个全等的直角三角形,常利用这一性质求线段和角,以及菱形的面积.
【例题2】
【题干】在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AC、BD的长分别为5厘米、10厘米,则菱形ABCD的面积为_________平方厘米.
【答案】25
【解析】菱形ABCD的面积=
AC×BD=
×5×10=25cm2.
【例题3】
【题干】如图,已知AD平分∠BAC,DE∥AC,DF∥AB,AE=5.
(1)判断四边形AEDF的形状?
(2)它的周长是多少?
【答案】
(1)菱形
(2)20
【解析】证明:
(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD
∵DE∥AC,DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形,∠CAD=∠ADE
∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE
∴平行四边形AEDF是菱形.
(2)∵平行四边形AEDF是菱形,AE=5
∴菱形AEDF的周长=4AE=4×5=20.
【例题4】
【题干】如图所示,平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB、CD分别交于F、E,证明四边形DEBF是菱形.
【答案】∵EF垂直平分DB
∴O是□ABCD的对称中心
∴△DOF和△BOE关于点O对称
∴FO=EO
又∵DO=BO
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵EF⊥DB,
∴四边形DEBF是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,EF垂直平分DB,可得FO=EO,又因为DO=BO,可求证四边形DEBF是平行四边形,因为EF⊥DB,故可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明.
【例题5】
【题干】如图,O是矩形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,EA∥BD,DE与EA相交于E.求证:
四边形AODE是菱形.
【答案】∵DE∥AC,EA∥BD,
∴四边形OAED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分,
∴OA=OD,
∴四边形AODE是菱形.
【解析】由DE∥AC,EA∥BD,易得四边形OAED是平行四边形,又矩形的对角线相等且平分,可得OA=OD,则四边形AODE是菱形.此题主要考查菱形的判定:
一组邻边相等的平行四边形是菱形,综合利用了平行四边形的判定.
【例题6】
【题干】如图,矩形纸片ABCD中AB=6cm,BC=10cm,小明同学先折出矩形纸片ABCD的对角线AC,再分别把△ABC、△ADC沿对角线AC翻折交AD、BC于点F、E.
(1)判断小明所折出的四边形AECF的形状,并说明理由;
(2)求四边形AECF的面积.
【答案】
(1)四边形AECF是菱形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
由折叠的性质得:
∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB,
∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB,
∴AE∥CF,EC=EA,
∴四边形AECF是菱形.
(2)设BE=x,则CE=10-x,
∴
,
∵四边形AECF是菱形,
∴AE2=CE2
∴x2+36=(10-x)2,
解得:
x=3.2,
∴
.
【解析】
(1)根据平行线及折叠的性质可得出∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB,从而利用等腰三角形的性质可得出EC=EA,结合AE∥CF可判断AECF为菱形.
(2)设BE=x,则CE=10-x,由AE2=CE2,列出等式可解出x的值,求出BE后,即可计算出四边形AECF的面积.
本题考查折叠的性质、勾股定理及菱形的性质,根据折叠的性质及平行线的性质得出∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB,是判断AECF形状的关键,另外在解答第二问时要注意根据勾股定理求出BE的长.
【例题7】
【题干】如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
【答案】
如图,连接AC、BD.
∵PQ为△ABC的中位线,
∴PQ
AC.
同理MN
AC.
∴MN
PQ,
∴四边形PQMN为平行四边形.
在△AEC和△DEB中,
AE=DE,EC=EB,∠AED=60°=∠CEB,
即∠AEC=∠DEB.
∴△AEC≌△DEB.
∴AC=BD.
∴PQ=
AC=
BD=PN
∴四边形PQMN为菱形.
【解析】先利用中位线定理得出PQ
AC,MN
AC即MN
PQ得到四边形PQMN为平行四边形,再求得△AEC≌△DEB,得到PQ=
AC=
BD=PN,所以四边形PQMN为菱形.
【例题8】
【题干】如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是?
【答案】阴影部分的面积等于△ABC的面积.
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半,
菱形ABCD的面积=
AC•BD=5,
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5.
故答案为2.5.
【解析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积,因为△ABC的面积是菱形面积的一半,根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积.
课程小结
1、菱形的定义
2、菱形的性质
3、菱形的判定
4、菱形的面积
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