专题08 立体几何-直击2020新高考数学多选题.doc
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专题08立体几何
1.已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是()
A.若,,则;
B.若,,则;
C.若,,,,则;
D.若,,,,,则.
【答案】CD
【解析】对于A,若,,可不在直线,故A错误;
对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误;
对于C,,,,
故C正确;
对于D,,,,,
故D正确.
故选:
CD.
2.如图所示,P为矩形所在平面外一点,矩形对角线的交点为为的中点,给出以下结论,其中正确的是()
A. B.平面
C.平面 D.平面
【答案】ABC
【解析】由题意知,是的中位线,,故正确;
平面,平面,平面,故正确;
同理,可得平面,故正确;
与平面和平面都相交,故不正确.
故选:
.
3.如图所示,在正方体中,分别为棱的中点,则以下四个结论正确的是()
A.直线与是相交直线 B.直线与是平行直线
C.直线与是异面直线 D.直线与是异面直线
【答案】CD
【解析】直线与是异面直线,直线与也是异面直线,故A、B错误
直线与是异面直线,直线与是异面直线,故C、D正确.
故选CD.
4.如图,在长方体中,,,,分别为棱,的中点,则下列说法正确的是()
A.四点共面 B.平面平面
C.直线与所成角的为 D.平面
【答案】BC
【解析】对于A,由图显然、是异面直线,故四点不共面,故A错误;
对于B,由题意平面,故平面平面,故B正确;
对于C,取的中点,连接、,可知三角形为等边三角形,故C正确;
对于D,平面,显然与平面不平行,故D错误;
故选:
BC
5.如图,在三棱锥中,平面,,,为的中点,则下列结论正确的有()
A.平面 B. C.平面 D.平面
本题主要考查线面垂直的判定,以及线线垂直的判定,熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可,属于常考题型
.【答案】ABC
【解析】平面,,又,,,平面,平面,故A正确;
由平面,得,又,是的中点,,
又,,平面,
平面,,故B,C正确;
由平面,得,因此与不垂直,从而不与平面垂直,D错误.
故选:
ABC.
6.如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,且,则下列结论中正确的是()
A.
B.平面
C.与平面所成角是
D.面积与的面积相等
【答案】BC
【解析】连接,,
A选项,因为线段上的动点,若与重合,则在正方体中,,此时与所成的角为,显然与不垂直,故A错;
B选项,因为正方体底面为正方形,对角线互相垂直,所以;又正方体侧棱与底面垂直,所以平面,所以,由线面垂直的判定定理,可得平面,又平面即为平面,所以平面;故B正确;
C选项,由B选项可得,与平面所成角即为与平面所成角,即,
所以在正方形中,;故C正确;
D选项,因为点平面,点平面,由正方体结构特征易得,点到直线的距离大于正方体的侧棱长,而点到直线的距离等于侧棱长,因此面积与的面积不相等;故D错误;
故选:
BC.
7.如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是()
A.与平行 B.与为异面直线
C.与成60°角 D.与垂直
【答案】BCD
【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确;
与为异面直线,B正确;
,而,,
与成60°角,C正确;
连接,,
平面,
又
与垂直,
D正确.
故选:
BCD
8.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧面为正三角形,且平面平面,则下列说法正确的是()
A.在棱上存在点M,使平面
B.异面直线与所成的角为90°
C.二面角的大小为45°
D.平面
【答案】ABC
【解析】如图,对于,取的中点,连接,∵侧面为正三角形,
,又底面是菱形,,是等边三角形,
,又,,平面,
平面,故正确.
对于,平面,,即异面直线与所成的角为90°,故正确.
对于,∵平面平面,,平面,,
是二面角的平面角,设,则,,
在中,,即,故二面角的大小为45°,故正确.
对于,因为与不垂直,所以与平面不垂直,故错误.
故选:
9.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是()
A.直线与平面所成的角等于
B.点C到面的距离为
C.两条异面直线和所成的角为
D.三棱柱外接球半径为
【答案】ABD
【解析】正方体的棱长为1,
对于A,直线与平面所成的角为,故选项A正确;
对于B,因为面,点到面的距离为长度的一半,即,故选项B正确;
对于C,因为,所以异面直线和所成的角为,而为等边三角形,故两条异面直线和所成的角为,故选项C错误;
对于D,因为两两垂直,所以三棱柱外接球也是正方体的外接球,故,故选项D正确.
故选:
.
10.如图,直三棱柱中,,,,侧面中心为O,点E是侧棱上的一个动点,有下列判断,正确的是()
A.直三棱柱侧面积是 B.直三棱柱体积是
C.三棱锥的体积为定值 D.的最小值为
【答案】ACD
【解析】在直三棱柱中,,,
底面和是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+,故A正确;
直三棱柱的体积为,故B不正确;
由BB1∥平面AA1C1C,且点E是侧棱上的一个动点,三棱锥的高为定值,
××2=,××=,故C正确;
设BE=x,则B1E=2﹣x,在和中,∴=.由其几何意义,
即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值,由对称可知,当为的中点时,其最小值为,故D正确.
故选:
ACD.
11.在正方体中,N为底面ABCD的中心,P为线段上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则()
A.CM与PN是异面直线 B.
C.平面平面 D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】共线,即交于点,共面,因此共面,A错误;
记,则,
,又,
,,即.B正确;
由于正方体中,,平面,则,,可得平面,平面,从而可得平面平面,C正确;
取中点,连接,易知,又正方体中,,∴,共面,就是过P,A,C三点的正方体的截面,它是等腰梯形.D正确.
故选:
BCD.
12.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为()
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】如果是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,
所以所形成的几何体的表面积是.
如果绕斜边旋转,形成的是上下两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边的高,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,
所以写成的几何体的表面积.
综上可知形成几何体的表面积是或.
故选:
AB
13.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则“点M与点A,B,C共面”的充分条件的是()
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】当时,可知点与点共面,
所以,
所以,
所以,
不妨令,,,且此时,
因为,,,,
由上可知:
BD满足要求.
故选:
BD.
14.在长方体中,,E,F,P,Q分别为棱的中点,则下列结论正确的是()
A. B.平面EFPQ
C.平面EFPQ D.直线和所成角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】A.如图所示,
因为,所以四边形是正方形,所以,
又因为几何体为长方体,所以平面,所以,
又因为,所以平面,
又因为平面,所以,故结论正确;
B.如图所示,
假设平面,因为平面,所以,
显然不成立,故假设错误,所以结论错误;
C.如图所示,
连接,由条件可知,所以,
又因为,所以平面平面,
又因为平面,所以平面,故结论正确;
D.如图所示,
连接,因为,所以和所成角即为或其补角,
由条件可知:
,所以,故结论正确.
故选:
ABD.
15.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是()
A. B.
C.向量与的夹角是60° D.与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,
可设棱长为1,则
而
,所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然为等边三角形,则.
所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确
又,
则,
所以,所以D不正确.
故选:
AB
16.如图,矩形中,,为边的中点.将沿直线翻折成(点不落在底面内).若为线段的中点,则在翻转过程中,以下命题正确的是()
A.四棱锥体积最大值为
B.线段长度是定值;
C.平面一定成立;
D.存在某个位置,使;
【答案】ABC
【解析】是等腰直角三角形,到的距离是,当平面平面时,到平面的距离最大为,又,∴.A正确;
取中点,连接,∵是的中点,∴,而平面,平面,∴平面,
由与平行且相等得是平行四边形,,同理得平面,
而,∴平面平面,平面,∴平面,C正确,
在上述过程中得,又,∴为定值,B正确;
假设存在某个位置,使,取中点,连接,显然,而,∴平面,平面,∴,则,但,,不可能相等,所以不可能有.D错.
故选:
ABC.
17.如图,正三棱柱中,、点为中点,点为四边形内(包含边界)的动点则以下结论正确的是()
A.
B.若平面,则动点的轨迹的长度等于
C.异面直线与,所成角的余弦值为
D.若点到平面的距离等于,则动点的轨迹为抛物线的一部分
【答案】BCD
【解析】对于选项A,,选项A错误;
对于选项B,过点作的平行线交于点.
以为坐标原点,分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.
设棱柱底面边长为,侧棱长为,则,,,,所以,.
∵,∴,
即,解得.
因为平面,则动点的轨迹的长度等于.选项B正确.
对于选项C,在选项A的基础上,,,,,所以,,
因为,所以异面直线所成角的余弦值为,选项C正确.
对于选项D,设点E在底面ABC的射影为,作垂直于,垂足为F,若点E到平面的距离等于,即有,又因为在中,,得,其中等于点E到直线的距离,故点E满足抛物线的定义,另外点E为四边形内(包含边界)的动点,所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.
故选:
BCD
18.已知四棱锥,底面为矩形,侧面平面,,.若点为的中点,则下列说法正确的为()
A.平面
B.面
C.四棱锥外接球的表面积为
D.四棱锥的体积为6
【答案】BC
【解析】作图在四棱锥中:
由题:
侧面平面,交线为,底面为矩形,,则
平面,过点B只能作一条直线与已知平面垂直,所以选项A错误;
连接交于,连接,中,∥,面,
面,所以面,所以选项B正确;
四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半,取中点,连接,
,则平面,,四棱锥的体积
所以选项D错误.
矩形中,易得,
中求得:
在中
即:
,所以O为四棱锥外接球的球心,半径为,
所以其体积为,所以选项C正确
故选:
BC
19.正方体的棱长为2,已知平面,则关于截此正方体所得截面的判断正确的是()
A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六访形 D.截面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】如图,显然A,C成立,下面说明D成立,
如图设截面为多边形,
设,则,
则
所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,
所以
因为,
,
所以
当时,,故D成立。
故选:
ACD.
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