最新合肥168中学自主招生数学试题含答案.docx
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最新合肥168中学自主招生数学试题含答案
答案
一、选择题
3、已知:
y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),当x=1,2,到100,求这100个自然数的和的函数值
解法一:
对于函数x^2-100x+196,它可因式分解为(x-2)(x-98),所以当x=2x=98时,这个函数为0
当2 所以当x=2、3、、4、……、98时,y都为0 当x=0时,y=1/2*(196+196)=196 该函数的抛物线为x=50,所以x=1和x=99的值相等,当x=1时,y=1^2-100+196=97 所以这100个自然数的值为196+97*2=390 解法二: 当2≤x≤98时,因为x^2-100x+196=(x-2)*(x-98)≤0, 所以恒有y=[x^2-100x+196-(x^2-100x+196)]/2=0, 当x=1,99,100时,y=[x^2-100x+196+(x^2-100x+196)]/2=x^2-100x+196。 y (1)=y(99)=97,y(100)=196。 所以: y (1)+y (2)+y(3)+y(4)+……+y(97)+y(98)+y(99)+y(100) =97+0+0+0+……+0+0+97+196=390。 5、设a平方+1=3a,b平方+1=3b,且a不等于b,则代数式1/a平方+1/b平方的值是 解: a²+1=3a,b²+1=3b,则: a、b是方程x²+1=3x即x²-3x+1=0的两个根,则: a+b=3且ab=1 1/a²+1/b²=[a²+b²]/(ab)²=[(a+b)²-2ab]/(ab)²=7 6、如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( ) 解: 小球周长和三角形边长相等,因此在每条边转动了360°(即转1圈) 三条边一共3圈。 每经过一个顶点,需要转120°: 180-60=120° 三个顶点一共多转了120*3=360°,即1圈 因此,一共转了4圈,(或者1440°) 7、如图,等边△ABC的边长为10cm,以AB为直径的⊙O分别于,CA,CB于DE两点,则图中阴影部分的面积为 解: 解: ∵△ABC为等边三角形, ∴∠A=∠B=60° 又∵AB是⊙O的直径, ∴AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5 ∴∠DOE=60° ∴S⊿ADO+S⊿BEO=2×(1/2)×5×(5/2)√3=(25/2)√3 S扇形ODE=(60°/360°)×π×5²=(25/6)π 又∵S⊿ABC=(1/2)×10×5√3=25√3 ∴阴影部分的面积为: S⊿ABC-S⊿ADO-S⊿BEO-S扇形ODE =25√3-(25/2)√3-(25/6)π =(25/2)√3-(25/6)π 8、如图,在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D点的任一点,且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值 解: 过点N作直线NO平行于MB,交BC于点O ∵∠NMB=∠MBC,NO‖MB ∴四边形BMNO为等腰梯形 ∴BO=MN ∵N是DC的中点 ∴BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)² ∵NO‖MB,AD‖BC ∴∠AMB=∠MBC=∠NOC ∴⊿AMB∽⊿CON ∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2) ∴BO=AB-AM/2 得到方程式 (AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)² 解方程得: AB²-2*AB*AM+AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4 AB²/4-AB*AM+3/4*AM²=0 (AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0 AB=AM或AB=3AM ∵AB=AM时M重合于D,不合题意。 ∴AB=3AM ∴tan∠ABM=AM/AB=1/3 二、填空题 10.若关于x的不等式组只有4个整数解,求a的取值范围. 解不等式1得x<21 解不等式2得x>2-3a
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