高三模拟考试数学理试题 含答案.docx
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高三模拟考试数学理试题含答案
2019-2020年高三5月模拟考试数学理试题含答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、设集合A={x|1 A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4) 2.已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是( ). A.20+ B.24+ C.20+ D.24+ 4、若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=________ A.6 B.7C.8 D.9 5.下列命题中是假命题的是( ) A. 上递减 B. C. ; D.都不是偶函数 6.已知函数(a、b为常数,)在处取得最小值,则函数是() A.奇函数且它的图象关于点对称B.奇函数且它的图象关于点对称 C.偶函数且它的图象关于点对称D.偶函数且它的图象关于点对称 7.如图,是圆的直径,是圆上的点,则的值为( ) A.B.C.D. 8.等差数列的前n项和为,公差为d,已知 则下列结论正确的是() A.B. C.D. 9.若双曲线的左、右顶点分别为点是第一象限内双曲线上的点.若直线的倾斜角分别为且那么的值是( ) A.B.C.D. 三、填空题: (本大题共4小题,每小题5分,合计20分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入a的值为2,则输出的p值是. 12.已知实数,满足条件则的最大值为. 13.表示不超过的最大整数. , , ,那么. 14已知长方形ABCD,抛物线以CD的中点E为顶点,经过A、B两点,记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子,落入区域M的概率为P.则下列结论正确的有 ①不论边长如何变化,P为定值②若的值越大,P越大 ③当且仅当时,P最大④当且仅当时,P最小 三、选做题: 请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题 共5分. 15.(考生注意: 请在下列两题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分) (A)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线的方程为,设曲线C和曲线的交点为、,则= (B)(不等式选做题)在实数范围内,不等式的解集为. 四、解答题: (本大题共6小题,共75分,其中第16—19小题每题12分,第20题13分,第21题14分) 16.(本小题满分12分)在△中,已知,向量,,且. (1)求的值; (2)若点在边上,且,,求△的面积. 18.(本小题满分12分) 某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭(明星爸爸及其孩子)一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同,要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑,直至完成比赛.记这三位爸爸分别为A、B、C,其孩子相应记为. (I)若A、B、C、为前四名,求第二名为孩子的概率; (II)设孩子的成绩是第名,求随机变量的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且. (1)求证: //侧面 (2)求平面与底面所成锐二面角的正切值; 20(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为 . (1)求a,b的值. (2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点. (ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值; (ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值. 21.(本小题满分14分)已知函数. (1)若函数区间上存在极值点,求实数a的取值范围; (2)当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围; (3)求证: e为自然对数的底数,e=2.71828). 新余一中高三11次模拟考试答案 一、选择题: 本大题共10小题,每小题5分,共50分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设集合A={x|1 A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4) 2.已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的()A A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是( ).A A.20+3π B.24+3π C.20+4π D.24+4π 4、若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+…+a11)=________B A.6 B.7C.8 D.9 5.下列命题中是假命题的是( )D A. 上递减 B. C. ; D.都不是偶函数 6.已知函数(a、b为常数,)在处取得最小值,则函数是()B A.奇函数且它的图象关于点对称B.奇函数且它的图象关于点对称 C.偶函数且它的图象关于点对称D.偶函数且它的图象关于点对称 7.如图,是圆的直径,是圆上的点, 则的值为( )A A.B.C.D. 设,建立如图所示坐标系,则,故. 8.等差数列的前n项和为,公差为d,已知 则下列结论正确的是()C A.B. C.D. 9.若双曲线的左、右顶点分别为点是第一象限内双曲线上的点.若直线的倾斜角分别为且那么的值是( )D A.B.C.D. 9.∵双曲线的方程为,∴双曲线的左顶点为,右顶点为.设,得直线的斜率,直线的斜率,∴①.∵是双曲线上的点,得,代人①式得.∵直线的倾斜角分别为,所以,∴.∵是第一象限内双曲线上的点,易知均为锐角,∴,解得.故选D. 三、填空题: (本大题共4小题,每小题5分,合计20分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入a的值为2,则输出的p值是.4 12.已知实数,满足条件则的最大值为▲.1/2 13.表示不超过的最大整数. , , , 那么55. 14已知长方形ABCD,抛物线以CD的中点E为顶点,经过A、B两点,记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子,落入区域M的概率为P.则下列结论正确的有 1不论边长如何变化,P为定值2若的值越大,P越大 3.当且仅当时,P最大4当且仅当时,P最小 14解析: 以E为原点,CD为x轴,过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a,宽为b,则,设抛物线方程为,代入点B,得,所以.阴影面积 ,矩形ABCD的面积,故由几何概型得,所求事件的概率为为常数.故选A. 第Ⅱ卷 三、选做题: 请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题 共5分. 15.(考生注意: 请在下列两题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分) (A)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线的方程为,设曲线C和曲线的交点为、,则=. (B)(不等式选做题)在实数范围内,不等式的解集为. .四、解答题: (本大题共6小题,共75分,其中第16—19小题每题12分,第20题13分,第21题14分) 16.(本小题满分12分) 在△中,已知,向量,,且. (1)求的值; (2)若点在边上,且,,求△的面积. 16 (1)由题意知,………………………………2分 又,,所以,………………………4分 即,即,……………………………6分 又,所以,所以,即.…………7分 (2)设,由,得, 由 (1)知,所以,, 在△中,由余弦定理,得,……10分 解得,所以,………………………12分 所以 17 ∴ 所以 (2)由 所以,, 所以是等比数列且, ∴ ∴ ∴ ∴ 利用错位相减法,可以求得. 18.(本小题满分12分) 某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭(明星爸爸及其孩子)一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同,要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑,直至完成比赛.记这三位爸爸分别为A、B、C,其孩子相应记为. (I)若A、B、C、为前四名,求第二名为孩子的概率; (II)设孩子的成绩是第名,求随机变量的分布列与数学期望. 18.解析: (1)由题意,可将上述问题转化为: A、B、C、的成绩进行了四步骤排序, 分类列举(不考虑D、F): 若第2名,则A必在第一名,故有种. 若第3名,则A在前,故有种. 若第4名,则有种. 故第二名为孩子的概率是. (2)由题意,可将上述问题转化为A、B、C、、b、c进行了排序,且要求A在前,B在b前,C在c前.孩子的成绩可以是第2名、第3名、第4名、第5名、第6名. 即 ,,,,. 2 3 4 5 6 19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且. (1)求证: //侧面 (2)求平面与底面所成锐二面角的正切值; 19、解: 解: (1)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°, 又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,则 ,,,,. ∵G为△ABC的重心,∴.,∴, ∴.又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.………(6分) (2)设平面B1GE的法向量为,则由得可取又底面ABC的一个法向量为,设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.由于为锐角,所,进而.故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为. 20(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为 . (1)求a,b的值. (2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点. (ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值; (ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值. 20解 (1)由题设可知a=2,e= = ,所以c= ,故b=1. 因此,a=2,b=1.…………………2分 (2)由 (1)可得,椭圆C的方程为 +y2=1. 设点P(m,0)(-2≤m≤2),点A(x1,y1),点B(x2,y2). (ⅰ)若k=1,则直线l的方程为y=x-m. 联立直线l与椭圆C的方程,即 .将y消去,化简得 x2-2mx+m2-1=0.解之得x1= ,x2= , 从而有,x1+x2= ,x1·x2= , 而y1=x1-m,y2=x2-m, 因此,∣AB|= = = = · , 点O到直线l的距离d= , 所以,S△OAB= ×|AB|×d= ×|m|, 因此,S2△OAB= (5-m2)×m2≤ ·( )2=1. …………………6分 又-2≤m≤2,即m2∈0,4. 所以,当5-m2=m2,即m2= ,m=± 时,S△OAB取得最大值1. …………………8分 (ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-m). 将直线l与椭圆C的方程联立,即 . 将y消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解此方程,可得, x1+x2= ,x1·x2= . …………………10分 所以, PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22= (x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2 = (*).…………………14分 因为PA2+PB2的值与点P的位置无关,即(*)式取值与m无关, 所以有-8k4-6k2+2=0,解得k=± . 所以,k的值为± .……………… 21.(本小题满分14分)已知函数. (1)若函数区间上存在极值点,求实数a的取值范围; (2)当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围; (3)求证: e为自然对数的底数,e=2.71828). 21、解: (1)函数f(x)定义域为(0,+∞),由得: x=1,当0 ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=1处取得唯一的极值 由题意得,故所求实数a的取值范围为 (2)解: 当x≥1时,不等式化为: 即 令,由题意,k≤g(x)在1,+∞)恒成立 令,则,当且仅当x=1时取等号所以在1,+∞)上单调递增,h(x)≥h (1)=1>0因此,∴g(x)在1,+∞)上单调递增,因此,k≤2,即实数k的取值范围为(-∞,2 (3)由 (2)知,当x≥1时,不等式恒成立,即,整理得: 令x=k(k+1),k∈N*,则有 分别令k=1,2,3,,n,则有 , 将这n个不等式左右两边分别相加,得 故,从而
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