北师大版八年级数学上册 134 最短路径问题探究 复习课教案设计.docx
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北师大版八年级数学上册 134 最短路径问题探究 复习课教案设计.docx
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北师大版八年级数学上册134最短路径问题探究复习课教案设计
《最短路径问题探究》教学设计
【教学内容】
根据八年级学生学习内容以及练习中出现的问题,进行了一个专题复习课。
【教材分析】
最短路径问题探究》本节课是在学习了基本事实:
“两点之间线段最短”和轴对称的性质、勾股定理的基础上,引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。
它既是轴对称、勾股定理知识运用的延续,又能培养学生自主探究,学会思考,在知识与能力转化上起到桥梁作用.对于本节课的内容,北师大版教材没有单独编排,只是随着学生数学学习的不断推进,逐步添加了部分题目来逐步渗透,这也使大部分学生忽视了这一知识点,在学生应用这部分知识解决实际问题时存在一定的难度。
基于八年级学生的学习内容和学生的接受程度,本节设计整合了一些以三角形、正方形、立体图形为背景的最短路径问题,让学生直面数学模型,体会数学的本质,有利于学生系统的学习知识,同时设计一道代数式的计算问题将模型的应用提升到一个新的高度。
【教学目标】学生能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”,从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型,体会轴对称的“桥梁”作用。
同时在解决蚂蚁吃蜂蜜问题能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决,应用几何模型解决代数问题,感悟转化思想。
【教学重点】:
通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间,线段最短”问题,学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法。
【教学难点】:
从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。
突破难点的方法:
对应模型,找出本质问题。
【突出重点的方法】:
通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点。
【突破难点的方法】:
勾股定理、线段公理和轴对称性质的灵活运用和提升是个难点,指导学生学会思考还在培养之中,仅靠学生是不能完成的,所以在教学中要充分运用多媒体教学手段,通过启发引导,小组讨论,例题讲解,变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升,层层深入,逐一突破难点。
【教学过程】
(一)创设情景
相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:
从图中的A地出发,到一条笔直的河边饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.
你能用所学的知识解决这个问题吗?
【学生活动】学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.
【设计意图】从生活中问题出发,唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
(二)知识回顾
1.如图所示:
从A地到B地有三条路可供选择
,选择哪条路距离最短?
你的理由是什么?
2.你能说出轴对称的性质吗?
3.勾股定理。
【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识。
【设计意图】为本节课的学习扫清知识障碍。
(三)模型建构
1、在公路l两侧有两村庄,现要在河边L建一泵站P分别向A、B两村庄同时供水,要使泵站P到A村、B村的距离之和最短,确定泵站P的位置
2、如图,在河的同侧有两村庄,现要在河边L建一泵站P分别向A、B两村庄同时供水,要使泵站P到A村、B村的距离之和最短,确定泵站P的位置。
【设计意图】通过一个很简单的实际问题,让学生认识到数学来源于生活,服务与生活,增强学生的应用意识。
2.你能解决“将军饮马问题”吗?
活动1:
观察思考,抽象为数学问题
将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.
活动2:
你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?
【学生活动】学生尝试回答,并互相补充,最后达成共识:
(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;
(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地
到饮马地点,再回到B地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设P为直线上的一个动点,
上面的问题就转化为:
如图,点A,B在直线l的同侧,点P是直线上的一个动点,当点P在l的什么位置时,PA+PB最小?
强调:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
【设计意图】让学生经历观察、叙述、画图等过程,培养学生把生活问题抽象为数学问题的能力。
活动3:
尝试解决数学问题
你能利用轴对称的知识解决这个问题吗?
【学生活动】学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充。
教师适当提示。
作法:
(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l相交于点P。
则点P即为所求.如图所示:
【学生活动】在教师的引导下,积极思考,同伴交流,尝试解决实际问题。
【设计意图】学以致用,利用轴对称知识解决问题,及时进行学法指导,引导学生进行方法规律的提炼总结。
3.模型分析
已知直线l和A、B两点,点P是直线上的一个动点,当点P在l的什么位置时,PA+PB最小?
(1)A、B两点在直线异侧时:
(2)A、B两点在直线同侧时:
【设计意图】引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来的数学模型,形成认知结构,增强从复杂问题中找出基本图形的能力。
(四)模型应用
典型例题
(一)
已知正方形ABCD的边长为4,F为BC边的中点,P为对角线AC上的一动点,要使PF+PC的值最小,试确定点P的位置,并求出最小值.
变式练习:
在正方形ABCD中,E是AB上的一点,BE=2,AE=3,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是。
【设计意图】
(1)帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型
(2)引导学生找出模型中已知直线L和A、B两点,提高学生分析题目的能力,提升思维的层次。
典型例题
(二)
如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.
【学生活动】
(1)将立体图形转化为平面图形。
(2)在教师的引导下从问题的情境中逐步得出问题的本质:
点A,C在直线L的同侧,点P是直线上的一个动点,当点P在l的什么位置时,PA+PB最小?
(3)综合运用数学模型和勾股定理解决问题。
【设计意图】引导学生将立体图形转化为平面图形,利用“最短路径”数学模型来解决问题。
训练学生的思维,提高分析问题的能力,培养模型思想。
几何模型的代数应用
1、如何求代数式
的最小值呢?
如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作
,连结AC、EC.已知AB=1,DE=5,BD=8,设BC=x.则
,
则问题即转化成求AC+CE的最小值.当A、C、E在同一直线上时, AC+CE的值最小,于是可求得
的最小值等于 。
2、请你根据上述的方法和结论,代数式
的最小值等于
【学生活动】
(1)学生分析代数式的特点。
(2)在教师的引导下从问题的情境中逐步得出问题的本质:
点A,C在直线L的同侧,点P是直线上的一个动点,当点P在l的什么位置时,PA+PB最小?
(3)综合运用数学模型和勾股定理解决问题。
【设计意图】引导学生分析代数式的特点,利用“最短路径”几何模型来解决代数计算问题,体现数形结合思想
(五)反思小结
本节课我学会了……
【设计意图】引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结:
1、解决上述问题运用了什么知识?
(知识)
2、在解决问题的过程中运用了什么方法?
(方法)
3、运用上述方法的目的是什么?
体现了什么样的数学思想?
(数学思想)
(六)达标检测,拓展提升
1、如图,等腰△ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分线,若点D在EG上运动,则△CDF周长的最小值为_____________.
2、(供学有余力的学生做)如图,点P在∠AOB内部,且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点E、F,使PE+EF+FP之和最小,并求出最小值
【设计意图】思维变式训练,提升学生的思维层次,让学生学会思考,学会提问。
(七)布置作业,巩固提高:
1、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B两点,OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,当△PCD的周长最小时,求P点坐标.
2、设计一道类似“求
最小值”的计算问题,并计算出来,尝试总结出题的规律。
【设计意图】
(1)帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型
(2)提高学生分析题目的能力,提升思维的层次。
【板书设计】
最短路径问题探究
几何模型
两点之间线段最短、勾股定理、轴对称
转化、数学结合、
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