一元二次方程知识点总结.docx
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北师大版九年级(上)第二章:
一元二次方程
1.认识一元二次方程:
概念:
只含有一个未知数,并且可以化为(为常数,)的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件:
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
如:
是分式方程,所以不是一元二次方程。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。
2.一元二次方程的一般形式:
一般形式:
(),系数中,一定不能为0,、则可以为0,所以以下几种情形都是一元二次方程:
①、如果,则得,例如:
;
②、如果,则得,例如:
;
③、如果,则得,例如:
;
④、如果,则得,例如:
。
其中,叫做二次项,叫做二次项系数;叫做一次项,叫做一次项系数;叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
例题:
将方程化成一元二次方程的一般形式.
解:
去括号,得:
移项、合并同类项,得:
(一般形式的等号右边一定等于0)
3.一元二次方程的解法:
(1)、直接开方法:
(利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解)形式:
举例:
解方程:
解:
方程两边除以9,得:
(2)、配方法:
(理论依据:
根据完全平方公式:
,将原方程配成的形式,再用直接开方法求解.)
举例:
解方程:
配方法解一元二次方程()的步骤:
解:
①、二次项系数化为1.(两边都除以二次项系数.)
②、移项.(把常数项移到=号右边.)
③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的
平方,把原方程化成的形式)
④、求解.(用直接开方法求出方程的解.)
(3)、公式法:
(求根公式:
)
举例:
解方程:
公式法解一元二次方程的步骤:
解:
①、把一元二次方程化为一般形式:
()
②、确定的值.
③、求出的值.
④、若,则把及的值代入求
根公式,求出和,若,则方程无解。
(4)、分解因式法:
(理论依据:
,则或;利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。
)
【1】提公因式分解因式法:
举例:
①、解方程:
②、解方程:
解:
原方程可变形为:
解:
原方程可变形为:
或或
【2】运用公式分解因式法:
举例:
①、解方程:
②、解方程:
解:
原方程可变形为:
解:
原方程可变形为:
或
或
【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法):
举例:
解方程:
十字相乘法:
1-6交叉相乘:
,
1+1即等于一次项系数。
所以可以分解成
解:
原方程可变形为:
或
【4】其它常见类型举例:
①、解方程:
②、解方程:
(换元法)
解:
原方程可变形为:
解:
令,原方程可化为:
,即:
或
或,即
,
或,即
方程无解。
原方程的解为:
4.一元二次方程的应用:
①、数字问题.
②、面积问题.(牢记有关面积的公式,熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)
③、平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式:
,其中是增长(或降低)的基础量,是平均增长(或降低)率,是增长(或降低)的次数(常考的是两年期,即,),是增长(或降低)后的数量(总量),增长为“+”,降低为“-”.
④、商品利润问题(重点).基本公式:
1、单件利润=单件进价
2、总利润=单件利润销售量
⑤、运动问题、动点问题。
例题:
将进货单价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。
问:
为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?
这时应进货多少个?
解法一:
设售价定为元,依题意可得:
整理得:
解得:
售价应定为60元或80元.
当定为60元时,应进货个;
当定为80元时,应进货个;
解法二:
设上涨元,依题意可得:
整理得:
解得:
售价应定为10+50=60元或30+50=80元.
当定为60元时,应进货个;
当定为80元时,应进货个;
5.常考题型及其相应的知识点:
(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题:
例1:
关于的一元二次方程有一根为0,则的值为______.
思路分析:
有一根为0,说明有,可代入原方程求出.
注意:
一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论:
解:
将代入原方程得:
即:
又因为即
的值为.
例2:
一元二次方程的一个根为,则另一个根为_______.
思路分析:
先将已知的一个根代入原方程,解出未知系数,再解出此时一元二次方程的两根.
解:
将代入原方程得:
原方程即为:
(2)、判别式:
,方程根的情况:
判别式与一元二次方程根的情况:
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根).
方程没有实数根.
例1:
关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是______.
思路分析:
方程有实数根,但具体不知道有多少个根,所以有.
解:
因为方程有实数根,
即:
例2:
方程的根的情况是().
A、只有一个实数根.B、有两个相等的实数根.C、有两个不相等的实数根.D、没有实数根
思路分析:
判别方程根的情况,之需要计算判别式的值与0比较.
解:
方程没有实数根,选择D.
(2)、一元二次方程根与系数关系,韦达定理:
如果是一元二次方程()的两根,根据韦达定理,则有:
例1:
已知一元二次方程的两根,则____,____.
解:
根据韦达定理得:
另外:
利用韦达定理求一些重要代数式(、、)的值:
①、
②、
③、
例2:
若方程的两根为,则的值为_____.
解:
根据韦达定理得:
例3:
已知关于的一元二次方程的两实数根是,且,则的值是____.
解:
根据韦达定理得:
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