步步高教师用书京津鲁琼专用高考数学第二章22.docx
- 文档编号:26655680
- 上传时间:2023-06-21
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:167.90KB
步步高教师用书京津鲁琼专用高考数学第二章22.docx
《步步高教师用书京津鲁琼专用高考数学第二章22.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《步步高教师用书京津鲁琼专用高考数学第二章22.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
步步高教师用书京津鲁琼专用高考数学第二章22
§2.2 函数的单调性与最值
最新考纲
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考 1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论? 提示 对∀x1,x2∈D, >0⇔f(x)在D上是增函数,减函数类似. 2.写出对勾函数y=x+ (a>0)的增区间. 提示 (-∞,- ]和[ ,+∞). 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( × ) (3)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × ) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( × ) (5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编 2.函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是____________. 答案 [1,+∞)(或(1,+∞)) 3.函数y= 在[2,3]上的最大值是______. 答案 2 4.若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________. 答案 (-∞,2] 解析 由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),∴m≤2. 题组三 易错自纠 5.函数y= (x2-4)的单调递减区间为________. 答案 (2,+∞) 6.若函数f(x)=|x-a|+1的增区间是[2,+∞),则a=________. 答案 2 解析 ∵f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞), ∴a=2. 7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1) 答案 [-1,1) 解析 由条件知 解得-1≤a<1. 8.函数f(x)= 的最大值为________. 答案 2 解析 当x≥1时,函数f(x)= 为减函数, 所以f(x)在x=1处取得最大值,为f (1)=1; 当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2. 故函数f(x)的最大值为2. 题型一 确定函数的单调性 命题点1 求函数的单调区间 例1 (1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2)B.(-∞,1) C.(1,+∞)D.(4,+∞) 答案 D 解析 函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞). (2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________. 答案 [-1,0],[1,+∞) 解析 由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 二次函数的图象如图. 由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞). 命题点2 讨论函数的单调性 例2 判断并证明函数f(x)=ax2+ (其中1 解 函数f(x)=ax2+ (1 证明: 设1≤x1 f(x2)-f(x1)=ax + -ax - =(x2-x1) , 由1≤x1 1 <- . 又因为1 得a(x1+x2)- >0, 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 引申探究 如何用导数法求解本例? 解 f′(x)=2ax- = , 因为1≤x≤2,所以1≤x3≤8,又1 所以2ax3-1>0,所以f′(x)>0, 所以函数f(x)=ax2+ (其中1 思维升华 确定函数单调性的方法: (1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法; (2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接. 跟踪训练1 (1)下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)=2xB.f(x)=|x-1| C.f(x)= -xD.f(x)=ln(x+1) 答案 C 解析 由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;对于f(x)= -x,因为y= 与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数. (2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是______________. 答案 (-∞,2] 解析 因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2]. (3)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是________. 答案 [1,2] 解析 f(x)= 画出f(x)图象, 由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值 1.函数y= 的值域为____________. 答案 [-1,1) 解析 由y= ,可得x2= . 由x2≥0,知 ≥0,解得-1≤y<1, 故所求函数的值域为[-1,1). 2.函数y=x+ 的最大值为________. 答案 解析 由1-x2≥0,可得-1≤x≤1. 可令x=cosθ,θ∈[0,π], 则y=cosθ+sinθ= sin ,θ∈[0,π], 所以-1≤y≤ , 故原函数的最大值为 . 3.函数y=|x+1|+|x-2|的值域为________. 答案 [3,+∞) 解析 函数y= 作出函数的图象如图所示. 根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞). 4.函数y= 的值域为________________. 答案 {y|y∈R且y≠3} 解析 y= = =3+ , 因为 ≠0,所以3+ ≠3, 所以函数y= 的值域为{y|y∈R且y≠3}. 5.函数f(x)= x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 答案 3 解析 由于y= x在[-1,1]上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 6.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关 答案 B 解析 方法一 设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点, 则m=x +ax1+b,M=x +ax2+b. ∴M-m=x -x +a(x2-x1), 显然此值与a有关,与b无关.故选B. 方法二 由题意可知,函数f(x)的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b的变动,相当于图象上下移动,若b增大k个单位,则最大值与最小值分别变为M+k,m+k,而(M+k)-(m+k)=M-m,故与b无关.随着a的变动,相当于图象左右移动,则M-m的值在变化,故与a有关,故选B. 思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法: 先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法: 先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法: 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)分离常数法: 形如求y= (ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解. (5)基本不等式法: 先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f ,b=f (2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>bB.c>b>a C.a>c>bD.b>a>c 答案 D 解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f =f ,且2< <3,所以b>a>c. 命题点2 解函数不等式 例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是( ) A.{x|-3 B.{x|x<-3或0 C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3 答案 B 解析 ∵f(x)是奇函数,f(-3)=0, ∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0. ∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数, ∴当0 ∵函数f(x)是奇函数,∴当-3 当x<-3时,f(x)<0. 则不等式f(x)<0的解集是{x|0 命题点3 求参数的取值范围 例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]上是减函数,则a的最大值是( ) A. B. C. D.π 答案 C 解析 ∵f(x)=cosx-sinx=- sin , ∴当x- ∈ ,即x∈ 时, y=sin 单调递增, f(x)=- sin 单调递减, ∴ 是f(x)在原点附近的单调减区间, 结合条件得[0,a]⊆ , ∴a≤ ,即amax= . (2)已知函数f(x)= 若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________. 答案 (1,2] 解析 由题意,得12+ a-2≤0,则a≤2,又y=ax-a(x>1)是增函数,故a>1,所以a的取值范围为1 (3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是______________. 答案 (-4,4] 解析 设g(x)=x2-ax+3a,根据对数函数及复合函数的单调性知,g(x)在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0,∴ ∴-4 ∴实数a的取值范围是(-4,4]. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. (2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 跟踪训练2 (1)如果函数f(x)= 满足对任意x1≠x2,都有 >0成立,那么a的取值范围是________. 答案 解析 对任意x1≠x2,都有 >0, 所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 所以 解得 ≤a<2. 故实数a的取值范围是 . (2)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1) 的x的取值范围是______________. 答案 解析 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1) , 所以0≤2x-1< ,解得 ≤x< . 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2)B.y=- C.y= xD.y=x+ 答案 A 解析 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.已知函数f(x)= ,则该函数的单调递增区间为( ) A.(-∞,1]B.[3,+∞) C.(-∞,-1]D.[1,+∞) 答案 B 解析 设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞). 3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π) 答案 A 解析 因为f(x)是偶函数, 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f (2). 又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数, 所以f(π)>f(3)>f (2), 即f(π)>f(-3)>f(-2). 4.已知函数f(x)= 当x1≠x2时, <0,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 当x1≠x2时, <0, ∴f(x)是R上的减函数. ∵f(x)= ∴ ∴0 . 5.设f(x)= 若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( ) A.[-1,2]B.[-1,0] C.[1,2]D.[0,2] 答案 D 解析 ∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,f(x)=x+ +a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2. ∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D. 6.已知函数f(x)= 则“c=-1”是“函数f(x)在R上单调递增”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若函数f(x)在R上单调递增, 则需log21≥c+1,即c≤-1. 由于c=-1,即c≤-1,但c≤-1不能得出c=-1, 所以“c=-1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件. 7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f ,b=f ,c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为________________. 答案 a>b>c 解析 ∵f(x)在R上是奇函数, ∴a=-f =f =f(log25). 又f(x)在R上是增函数, 且log25>log24.1>log24=2>20.8, ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),∴a>b>c. 8.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是______________. 答案 解析 当a=0时,f(x)=2x-3在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=- ,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且- ≥4,解得- ≤a<0. 综上,实数a的取值范围是 . 9.记min{a,b}= 若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为________. 答案 6 解析 由题意知,f(x)= 易知f(x)max=f(4)=6. 10.设函数f(x)= 若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________. 答案 (-∞,1]∪[4,+∞) 解析 作函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增, 需满足a≥4或a+1≤2, 即a≤1或a≥4. 11.已知f(x)= (x≠a). (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. (1)证明 当a=-2时,f(x)= . 设x1 则f(x1)-f(x2)= - = . 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)解 设1 则f(x1)-f(x2)= - = . 因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立, 所以a≤1.综上所述,0 12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式; (2)在 (1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. 解 (1)∵f(-1)=0,∴b=a+1. 由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax2+bx+1=0中Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1. 从而f(x)=x2+2x+1. ∴F(x)= (2)由 (1)可知f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1, 由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知- ≤-2或- ≥2,得k≤-2或k≥6. 即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). 13.已知函数f(x)= 若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2)D.(-2,1) 答案 D 解析 ∵当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0, ∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x≤0时,函数f(x)=x3为增函数,当x>0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,∴函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)>f(x)等价于2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-2 14.已知f(x)= 不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,-2) 解析 二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2, ∴该函数在(-∞,0]上单调递减, ∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减, ∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减, ∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 步步高教师用书京津鲁琼专用高考数学第二章 22 步步高 教师 用书京津鲁琼 专用 高考 数学 第二