关于蹦极的受力分析及数学建模.docx
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关于蹦极的受力分析及数学建模
关于ai机的受力分桥及数学建模
本文对人在蹦极跳过程中受到的重力、U力和空气B1力等,分阶段进行了洋细的受力分析,并根据牛顾第二定律,利用13分的理念证明了在人的质量和弹簧绳长度确定的条件下,蹦极者能窮达到的最大速度和弹簧绳最大拉伸长度是一定的(选择不同的绳长可以获得不同的最大速8,fl到不同的剌激体验)o
其次,分别在忽略或考虑空气叽力影励(数据借鉴自华东加大研究生数学建模比赛題目的条件)的基硏上,探讨了蹦极过程中质量,绳长和最大速度,弹簧绳最大伸长量之间的关系。
利用逆个模塑,蹦极活动经营者可以改进服务,让消费者可以根据自身体重选择合适的弹簧绳长度,得到自己能皤接受的最大速度和下跻深度,it蹦板运动成为一种可
“自选式的”剌滾体蠻。
it更多的消费者接受。
关键词
数学建模MATLAB蹦板
-M.-K.
蹦股(bungeejumping)是从国外开始流行、传人我国的一顶运动,由干蹦股时失重、速度与加速度带给人感官的枚度依验,使得送顶运动深受喜欢剌激和冒险的青年的青眛。
目前的蹦极塔名选在悬崖或水库上,it跳蹦极的人在跳下后第一次能“差一自儿”碰到水面,带给人最大的感官剌激。
虽然保证安全,但是能够享受这样强烈剌激的人毕竟是很少数,所以至今蹦极也还被归类为极限运动,一定程18上限斟了其推广。
本文根据牛頼第二定(?
,对蹦板者在运动过程中受到的重力、也力和空气皿力等进行受力分析,找到最大速®VmaxfllSIfi者质量m、强簧绳长度L之同的关系。
根据分析建立起来的数学模里,可以指导蹦极经营者对现有设施稍作修改,辻蹦极者可以“自选”能歸接受的最大速度和下跳深«,it更广大的消费者人81能無体验蹦板运动帶给人的剌激和乐趣。
忽略空气皿力条件下,在蹦板者下落il程中,其受力与运动悄况在不同的阶段下是不相同的:
第一阶段,弹簧绳没有全部展开,蹦极者所受弹簧也力为零,他自由落体运动;
第二阶段,弹簧绳开始祓也伸,蹦极者开始受到向上的弹力,蹦板者下落速度虽仍在增加,但加速度减爪;
第三阶段,弹簧绳拉力和重力相等,此时加速度为零,蹦枚者速度达到最大值;
第四阶段,弹簧绳处;续祓也伸,弹力开始大干重力。
蹦板者下落速度减小,直到为零时,达到最低位置。
之后蹦极者会在弹力作用下II升并再次下落,经过几个来S1后静止下来。
fi最大速度和弹簧绳伸长量都不会趙11初次下落。
所以it算蹦极者的最大速度,就考虑初次下落即可。
分析及推导
一、不考虏空气阻力时推导腐根者的最大速度利下践深度
设蹦股绳长为L,初速Hvo=O,|]
蹦板绳长全部展开时人的速度为:
%=应
之后,人不仅受到重力,还受到绳的遊力,ira速度在减小,速度仍在增加,直至加速度为o时,速度最大。
设加速度为0时,蹦极绳被拉长量此时
mg=kgAL,E|lAL=-(k=7.4408干克/米n,)
k
为了求解最大速度,将△厶平均分f«n小悅,毎一小价中,从为绳的拉力相同,人的加速度相同。
在第一小份中,认为6=g,呱士=比△儿+;4卜:
n2
其中△“为绳子第一次也长兰所需的时同,对上式求解得到:
所以,绳子u长牛w的««为:
…=%+询F+g“=肩+竽。
在第二伸中,同样从为人的加速度也相同,由吨-焙里二祕-得
kgM
nm
I—=vl+1A6+L/2AG,n2
其中$2为绳子第二次拉长二所需的时间,对上式求解得到:
n
其中a”=g
-kg(n~l)AL。
—就是蹦18人能够达到的最大速度Vmaxonm
以Kt类推,绳子U长丛时的速度为:
蹦枚人达到最大速度之后,继续下落时,绳子继续拉长,拉力大于重力,人受到的合力向上。
因此蹦板人达到最大速度之后,加速度向上,速度开始TB,速度降为0
BLiffi人下落到最低自。
为了求得S-E低点,們然可以将蹦18人达到最大速度之
后的下落段分成若干小段,例如设每一小段d=0.01m,在毎一小段仍然认为加速度
不变。
与上述it算过程类似,可以依次求得毎一下落小用的未速度,当末速IS小于等于0时,记下此时下落了n小段,即求得朋极人达到最大速度之后的下落距离为nxd9
从而求得蹦极人下落的最大距离为:
L+AL+nxd。
综上可见,如果人的质量、蹦板绳长、蹦枚绳的牌性系数一定,蹦枚人能做达到的最大速度和下落的最大距离就一定。
换言之,消费者可以根据自己的体重,选择合适的弹簧绳长度来获得不同的最大速度,得到不同的剌激感受。
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二、考虎空气阻力时廿算人的质量、绳长与能侈迭到最大速度、下落最大深度的关系
根摇参考资料⑴提供的空气皿力与速度的实測数据,利用图形分桥和曲线at合得到了一个经验公贰如下:
⑵
F讪R05/+0.2八单位:
确英尺/枚$,换算成国际单位,|
几口=0.45359x0.3048(0.05p2+0.2v)=0.0069v2+0.02765v,单也:
干克米2
蹦极绳全部故开之前,人受到两个力的作用,重力和空气皿力,所以合力为:
F合=ma=mg-F,^
空气01力ffi速度变化而时刻变化,加速度便时刻变化。
为了求得蹦15绳长全部放
开时人的速度,可以冷绳长L分成若干n小段,使毎一小段足做小,在这一小段中,从为人的受力相同,M速度相同,利用这一加速IS,由每一小段的初始速贋计算该段的末速度。
以此类推得到蹦股绳长全部放开时人的速度。
廿算il程JMT:
人的初始速度为0,加速度为g,即vo=o,=人在开始下降的第一小股2n
中,认为加速度不变,为Q,所需时同为「»1
人在第二下降小畔中的初速度时'彳字,在一小段中加速如变,设
为a】,Bl:
may=mg—F^m=mg—0.006^2—0.02765v(
0.0069vt20.02765v.
4=gL
mrn
设第二下降小股2所需时同为则
n
彳十+昇,求肌,时
|22q厶一计r
由此得人在第二下降小段2中的未速度为:
卩2=片+心=和+如
nvn
人在第三下降小段色中的初速便即为:
"血+如,在迪一小段中加速度不变,设
nVn
0.0069v/0.02765v?
勺=g__"
nia2=mg—F?
.|:
l;-=〃2g-O・OO69vJ-0.02765v2,
设第三下降/EH-hJi需时同为»1n
由此得人在第三下降/EK-中的末速U为:
勺〜+心」:
+少
n"Vn
以此类推,蹦枚绳长全部故开之前的最后一小股2中的初速度为:
n
怕十2+牛/在这一小段中加速度不变,设为"心,«:
"“Li=mg_傀‘阴=mg-0.0069v”_j-0.02765Vn」,an_x=g-八心-_'山
mm
设最后下降小段2所需时同为/”,则
n
由此得人在最后下和畔中的末速小」=此+攀
町KI1为蹦枚绳长全SBttffW人的速度。
在此之后,人不仅受到重力・空气阻力,连受到牌簧绳的拉力,in速度继续减小,下落速度仍在m直至m速度为ow,速度最
大。
再往后加速度向上,下落速度减小直至为0时,人下落到最低虑。
为了求得最大速度和下落最大深度,将蹦板绳全部放开后的下落段分成若干小段,
例如设每一小段d=0.01m,在毎一小段认为空气阻力和绳的应力不变,即加速度不
变。
汁算绳子拉长过程中每一小段的始末速度和在迪一小段中的加速度。
设人体运动速度向下时为正,反弹后向上为负。
与上述it算11程类做,可以依次求得每一下落小段的加速度,当加速度小于等于0时,记下此时的速度,即为最大速BVmaxo依次求得每一下落小段的末速度,当末速度小干等干0时,记下此时下落了q小段,即求得蹦极人下落的最大距离为:
L+qxd。
基于上述推算出来的数学模塑,借KlMATLAB⑶仿真工具软件,得到如下的图形:
绳长与最大速度的关糸
图2蹦机者虫量、绳长与最大下落深度的关系
图3不冋绳长时蹦机者虫量与晟大下落深度的关糸
图4不同绳长时蹦机者車量与最大速度的关糸
图5不间蹦柿者車量时绳长与最大下落深度的关系
图6不间曲根者車量时绳长与最大速度的关系
由图可见,在本文现有的数据条件下,空气阳力对蹦极跳分析的影励不大(如果考虑蹦极者在下落11程中的制逵等变化因素,空气I®力对本模型的影响可能会更加夏杂些)。
一位蹦极者在蹦极过程中能做获得的最大速度、下落的最大深度和其本人体重以及弹簧绳长度成一个性的关系。
如果希望得到不同的剌激体验,只需要准备不同长度的弹簧绳即可。
而这一点可以通11在做准备工作时,限抽卿簧绳可拉伸的长U段实观。
因此不需要对规有的陽极设施做il多修改,就可以提供可自由选择的剌激程®o能密让更多的人接受,阜受蹦极带来的奇妙体验。
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- 关于 蹦极 分析 数学 建模