关于全等三角形的旋转难题解析.docx
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关于全等三角形的旋转难题解析
旋转
已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作l的垂线,即AD⊥CE,BE⊥CE,
(1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:
△ADC≌△CEB;
(2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:
ED=BE-AD;
(3)如图3,当CE在△ABC的外部时,试猜想ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想.
考点:
全等三角形的判定与性质.专题:
证明题;探究型.分析:
(1)利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE,进而根据AAS证明△ADC≌△CEB.
(2)根据AAS证明△ADC≌△CEB后,得其对应边相等,进而得到ED=BE-AD.
(3)根据AAS证明△ADC≌△CEB后,得DC=BE,AD=CE,又有ED=CE+DC,进而得到ED=AD+BE.解答:
(1)证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴DC=BE,AD=CE.
又∵ED=CD-CE,
∴ED=BE-AD.
(3)ED=AD+BE.
证明:
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等).
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴DC=BE,AD=CE.
又∵ED=CE+DC,
∴ED=AD+BE.点评:
本题考查了全等三角形的判定和性质;利用全等三角形的对应边相等进行等量交换,证明线段之间的数量关系,这是一种很重要的方法,注意掌握
3.如图1、图2、图3,△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90º,
(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?
请说明理由。
(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗?
为什么?
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有上问中的位置关系吗?
为什么?
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.分析:
(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答.
(2)证明△DOB≌△COA,根据全等三角形的对应边相等进行说明.解答:
解:
(1)相等.
在图1中,∵△AOB,△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,
∴OA=OB,OC=OD,
∴0A-0C=0B-OD,
∴AC=BD;
(2)相等.
在图2中,0D=OC,∠DOB=∠COA,OB=OA,
∴△DOB≌△COA,
∴BD=AC.点评:
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要注意哪些量是不变的,找出图形中的对应边与对应角.
4.(2008河南).(9分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:
“如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.专题:
证明题;探究型.分析:
此题的两个小题思路是一致的;已知∠QAP=∠BAC,那么这两个等角同时减去同一个角(2题是加上同一个角),来证得∠QAB=∠PAC;而根据旋转的性质知:
AP=AQ,且已知AB=AC,即可由SAS证得△ABQ≌△ACP,进而得出BQ=CP的结论.解答:
证明:
(1)∵∠QAP=∠BAC,
∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,
即∠QAB=∠CAP;
在△BQA和△CPA中,
AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC,
∴△BQA≌△CPA(SAS);
∴BQ=CP.
(2)BQ=CP仍然成立,理由如下:
∵∠QAP=∠BAC,
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB,
即∠QAB=∠PAC;
在△QAB和△PAC中,
AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC,
∴△QAB≌△PAC(SAS),
∴BQ=CP.点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键.
5.(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片
和
.且
≌
。
将这两张三角形胶片的顶点
与顶点
重合,把
绕点
顺时针方向旋转,这时
与
相交于点
.
①当
旋转至如图②位置,点
,
在同一直线上时,
与
的数量关系是.
②当
继续旋转至如图③位置时,
(1)中的结论还成立吗?
AO与DO存在怎样的数量关系?
请说明理由.
点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质.专题:
探究型.分析:
(1)根据外角的性质,得∠AFD=∠D+∠ABC,∠DCA=∠A+∠ABC,从而得出∠AFD=∠DCA;
(2)成立.由△ABC≌△DEF,可证明∠ABF=∠DEC.则△ABF≌△DEC,从而证出∠AFD=∠DCA;
(3)BO⊥AD.由△ABC≌△DEF,可证得点B在AD的垂直平分线上,进而证得点O在AD的垂直平分线上,则直线BO是AD的垂直平分线,即BO⊥AD.解答:
解:
(1)∠AFD=∠DCA(或相等).
(2)∠AFD=∠DCA(或成立),理由如下:
方法一:
由△ABC≌△DEF,得AB=DE,BC=EF(或BF=EC),∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF.∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,
∴∠ABF=∠DEC.
在△ABF和△DEC中,AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC
∴△ABF≌△DEC,∠BAF=∠EDC.
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∠FAC=∠CDF.
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA,
∴∠AFD=∠DCA.
方法二:
连接AD.同方法一△ABF≌△DEC,
∴AF=DC.
由△ABC≌△DEF,得FD=CA.
在△AFD≌△DCA,AF=DCFD=CAAD=DA
∴△AFD≌△DCA,∠AFD=∠DCA.
(3)如图,BO⊥AD.
方法一:
由△ABC≌△DEF,点B与点E重合,
得∠BAC=∠BDF,BA=BD.
∴点B在AD的垂直平分线上,
且∠BAD=∠BDA.
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC,∠ODA=∠BDA-∠BDF,
∴∠OAD=∠ODA.
∴OA=OD,点O在AD的垂直平分线上.
∴直线BO是AD的垂直平分线,BO⊥AD.
方法二:
延长BO交AD于点G,同方法一,OA=OD.
在△ABO和△DBO中,AB=DBBO=BOOA=OD
∴△ABO≌△DBO,∠ABO=∠DBO.
在△ABG和△DBG中,AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG
∴△ABG≌△DBG,∠AGB=∠DGB=90°.
∴BO⊥AD.点评:
本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,是基础知识要熟练掌握.
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.分析:
延长EB使得BG=DF,易证△ABG≌△ADF(SAS)可得AF=AG,进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF,再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题.解答:
解:
延长EB使得BG=DF,
在△ABG和△ADF中,
由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF,
可得△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SSS),
∴∠EAG=∠EAF,
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°
∴∠EAG+∠EAF=90°,
∴∠EAF=45°.
答:
∠EAF的角度为45°.点评:
本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键.
例2D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当
绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:
计算题.分析:
(1)连CD,根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,则∠BCD=45°,∠CDA=90°,由∠DM⊥DN得∠EDF=90°,根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF,根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF,即可得到结论;
(2)由△DCE≌△ADF,则S△DCE=S△ADF,于是四边形DECF的面积=S△ACD,由而AB=2可得CD=DA=1,根据三角形的面积公式易求得S△ACD,从而得到四边形DECF的面积.解答:
解:
(1)连CD,如图,
∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,
∴∠BCD=45°,∠CDA=90°,
∵∠DM⊥DN,
∴∠EDF=90°,
∴∠CDE=∠ADF,
在△DCE和△ADF中,
∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF,
∴△DCE≌△ADF,
∴DE=DF;
(2)∵△DCE≌△ADF,
∴S△DCE=S△ADF,
∴四边形DECF的面积=S△ACD,
而AB=2,
∴CD=DA=1,
∴四边形DECF的面积=S△ACD=12CD•DA=12.点评:
本题考查了旋转的性质:
旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.
1、已知四边形
中,
,
,
,
,
,
绕
点旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于
.
当
绕
点旋转到
时(如图1),易证
.
当
绕
点旋转到
时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段
,
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
2、(西城09年一模)已知:
PA=
PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边
的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为
外一点,且
BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及
的周长Q与等边
的周长L的关系.
图1图2图3
(
)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时
;
(
)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM
DN时,猜想(
)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(
)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=
,则Q=(用
、L表示).
考点:
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.分析:
(1)由DM=DN,∠MDN=60°,可证得△MDN是等边三角形,又由△ABC是等边三角形,CD=BD,易证得Rt△BDM≌Rt△CDN,然后由直角三角形的性质,即可求得BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN,此时QL=23;
(2)在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,易证得∠CDN=∠MDN=60°,则可证得△MDN≌△M1DN,然后由全等三角形的性质,即可得结论仍然成立;
(3)首先在CN上截取CM1=BM,连接DM1,可证△DBM≌△DCM1,即可得DM=DM1,然后证得∠CDN=∠MDN=60°,易证得△MDN≌△M1DN,则可得NC-BM=MN.解答:
解:
(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN.
此时QL=23.(2分).
理由:
∵DM=DN,∠MDN=60°,
∴△MDN是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BDC=∠DCB=30°,
∴∠MBD=∠NCD=90°,
∵DM=DN,BD=CD,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN,
∴∠BDM=∠CDN=30°,BM=CN,
∴DM=2BM,DN=2CN,
∴MN=2BM=2CN=BM+CN;
∴AM=AN,
∴△AMN是等边三角形,
∵AB=AM+BM,
∴AM:
AB=2:
3,
∴QL=23;
(2)猜想:
结论仍然成立.(3分).
证明:
在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1.(4分)
∵∠MBD=∠M1CD=90°,BD=CD,
∴△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,∠MBD=∠M1CD,M1C=BM,
∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,
∴∠M1DN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,
∴△AMN的周长为:
AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,
∴QL=23;
(3)证明:
在CN上截取CM1=BM,连接DM1.(4分)
可证△DBM≌△DCM1,
∴DM=DM1,(5分)
可证∠CDN=∠MDN=60°,
∴△MDN≌△M1DN,
∴MN=M1N,(7分).
∴NC-BM=MN.(8分).点评:
此题考查了等边三角形,直角三角形,等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
考点:
菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.分析:
(1)利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案;
(2)根据已知可以得出∠BAE=∠CAF,进而求出△ABE≌△ACF即可;
(3)利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可.解答:
解:
(1)得出结论是:
BE=CF,
证明:
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即:
∠BAE=∠CAF,
又∵AB=AC,∠ABE=∠ACF=60°,
∴∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF,
(2)还成立,
证明:
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC,
即∠BAE=∠CAF,
又∵AB=AC,∠ABE=∠ACF=60°,
即∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF,
(3)证明:
∵△ABE≌△ACF,
∴S△ABE=S△ACF,
∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC;
而S△ABC=12S菱形ABCD,
∴S=12S菱形ABCD.点评:
此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积,熟练利用全等三角形判定求出是解题关键.
解:
(1)BE=CF.
证明:
在△ABE和△ACF中,∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF
旋转型
1、如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。
求证:
①△BCG≌△DCE
②BH⊥DE
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.专题:
动点型.分析:
(1)根据正方形的边的性质和直角可通过SAS判定△BCG≌△DCE,从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC;
(2)连接BD,解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE,从而找到BD=2,CE=BE-BC=2
-1,根据全等三角形的性质求解即可.解答:
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD、GCEF都是正方形,
∴BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°,GC=EC
∴△BCG≌△DCE(3分)
∴∠BGC=∠DEC(4分)
(2)连接BD
如果BH垂直平分DE,则有BD=BE(6分)
∵BC=CD=1,
∴BD=2(8分)
∴CE=BE-BC=2-1(9分)
∴CG=CE=2-1
即当CG=2-1时,BH垂直平分DE.(10分)点评:
此题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.特殊图形的特殊性质要熟练掌握.
2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DC⊥BE.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
专题:
证明题.
分析:
(1)此题根据△ABC与△AED均为等腰直角三角形,容易得到全等条件证明△ABE≌△ACD;
(2)根据
(1)的结论和已知条件可以证明DC⊥BE.
解答:
证明:
(1)∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°.
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE.
即∠BAE=∠CAD,
在△ABE与△ACD中,
∵
AB=AC
∠BAE=∠CAD
AE=AD
∴△ABE≌△ACD.
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴∠ACD=∠ABE=45°.
又∵∠ACB=45°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°.
∴DC⊥BE.
点评:
此题是一个实际应用问题,利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题,关键是理解题意,得到所需要的已知条件.
3、
(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;
(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.
4、如图,AE⊥AB,AD⊥AC,AB=AE,∠B=∠E,
求证:
(1)BD=CE;
(2)BD⊥CE.
.证明:
(1)AE⊥AB,AD⊥AC∠BAE=∠CAD
∠BAD=∠CAE.而AB=AE,∠B=∠E,
∴△ABD≌△AEC.∴BD=CE.
(2)由△ABD≌△AEC知∠B=∠E.
而∠AGB=∠EGF,∴∠EFG=∠EAB=90°,∴BD⊥CE.
如图,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.求∠AEB的大小.考点:
等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:
计算题.分析:
由于△BOC和△ABO都是等边三角形,可得OD=DC=OC=OB=OA,进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系,则可求解∠AEB.解答:
解:
∵△DOC和△ABO都是等边三角形,
且点O是线段AD的中点,
∴OD=DC=OC=OB=OA,
∴△ACD≌△DBA,
∴∠BDA=∠CAD.
又∵∠BDA+∠OBD=∠BOA=60°,
而∠ODB=∠OBD,
∴∠BDA=30°.
∴∠CAD=30°.
∵∠AEB=∠BDA+∠CAD,
∴∠AEB=60°.点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;可围绕结论寻找全等三角形,运用全等三角形的性质判定线段相等,求得角的度数是正确解答本题的关键.
答题:
yeyue
5、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
6、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.分析:
延长EB使得BG=DF,易证△ABG≌△ADF(SAS)可得AF=AG,进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF,再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题.解答:
解:
延长EB使得BG=DF,
在△ABG和△ADF中,
由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF,
可得△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SSS),
∴∠EAG=∠EAF,
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°
∴∠EAG+∠EAF=90°,
∴∠EAF=45°.
答:
∠EAF的角度为45°.点评:
本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键.
7、D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
①当
绕点D转动时,求证DE=DF。
②若AB=2,求四边形DECF的面积。
10、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积
考点:
全等三角形的判定与性质.专题:
应用题.分析:
可延长DE
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