《概率论与数理统计》习题及答案第一章解析.docx
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《概率论与数理统计》习题及答案第一章解析
《概率论与数理统计》习题及答案
第一章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
(1)掷一颗骰子,记录出现的点数•A二’出现奇数点’;
(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数•A='两次点数之和为10',B二’第
一次的点数,比第二次的点数大2
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为123,4,5;从中同时
取出3只球,观察其结果,A='球的最小号码为1';
(4)将a,b两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,
A='甲盒中至少有一球’;
(5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A='通过汽车不足5台’,
B二’通过的汽车不少于3台’。
解
(1)S={0,62,03®,€56}其中e=‘出现i点’i=1211丨,6,
A={e1,e3,65}。
S
二{(1,1),
(1,2),
(1,3),(
:
1,4),(
1,5),(
1,6)
(2,1),
(2,2),
(2,3),
(2,4),
(2,5),
(2,6)
(3,1),
(3,2),
(3,3),
(3,4),
(3,5),
(3,6)
(4,1),
(4,2),
(4,3),
(4,4),
(4,5),
(4,6)
(5,1),
(5,2),
(5,3),
(5,4),
(5,5),
(5,6)
(6,1),
(6,2),
(6,3),
(6,4),
(6,5),
(6,6)};
A
={(4,6),
(5,5),
(6,4)}
;
B
二{(3,1),
(4,2),
(5,3),
(6,4)}
。
(3)S={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)
(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
A二{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}
(4)S={(ab,-,-),(-,ab,-),(-,-,ab),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),
(b,-a),(-a,b,),(-,b,a)},其中’-’表示空盒;
A二{(ab,-,-),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),(b,-,a)}。
(5)S二{0,1,2,|l},A二{0,1,2,3,4},B二{3,4,川}。
2•设A,B,C是随机试验E的三个事件,试用代B,C表示下列事件:
(1)仅A发生;
(2)A,B,C中至少有两个发生;
(3)A,B,C中不多于两个发生;
(4)A,B,C中恰有两个发生;
(5)A,B,C中至多有一个发生。
解
(1)ABC
(2)abuacubc或abcIJabCIJaBcUAbc;
(3)AUBIJC或abC[JaBcIJAbcJaBCUAbCUABcUABC;
(4)abCUaBcUAbc;
(5)abijacijbc或ABCUABCUAbCUABc;
3•一个工人生产了三件产品,以A(i=1,2,3)表示第i件产品是正品,试
用A表示下列事件:
(1)没有一件产品是次品;
(2)至少有一件产品是次品;
(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。
解
(1)A1A2A3;
(2)AlUA2UA3;(3)AqA2A3UA1A2A3UA1A2A3;
(4)A1A2UAAsUA2A3。
4
•在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求
(1)5只全是好的的概率;
(2)5只中有两只坏的的概率。
解
(1)设A二‘5只全是好的’,则
C5
P(A)乎U0.662;
C40
设B=‘5只中有两只坏的’,则
C2C3
P(B)=0.0354.
C40
6•袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求
(1)3个球的最小号码为5的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率.
解
(1)设A=‘最小号码为5则
6个人的生日都集中在一个星
&设一个人的生日在星期几是等可能的,求期中的某两天,但不是都在同一天的概率•
解设A='生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天’,则
P(A)二。
7(;6-2)=0.01107.?
?
?
?
为什么
9•将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少?
解1设A='恰好排成SCIENCE'
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法:
2
字母C在7个位置中占两个位置,共有C7种占法,字母E在余下的5个位置中占两个位置,共有C2种占法,字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22
共3!
种,故基本事件总数为C7C53^1260,而A中的基本事件只有一个,
解2七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。
一般地,设有n个元素,其中第一种元素有山个,第二种元素
有n2个…,第k种元素有nk个(ni5k二n),将这n个元素排成一排
称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为
n!
ni!
n?
!
入!
’
对于本题有
2!
2!
10•从0,1,2,|||,9等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率:
A二,三个数字中不含0和5'A2二,三个数字中不含0或5'A3二
'三个数字中含0但不含5'
每堆各成一双共有
n!
种情况,故
2nn!
P(A)二
(2n)!
12•设事件A与B互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.3,求P(AB)与
P(AUB)
解P(入1-P(以B尸1P(A)P(B)0.3因为代B不相容,所以A二B,于是
p(AUb)二p(A)=0.6
13•若P(AB)=P(AB)且P(A)=P,求P(B).
解P(A_E^^仁P(以B>1P(A)P(B)P(AB)由P(AE)二P(AB)得
P(B)=1-P(A)=1-p
14•设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r,求P(AB)及P(AUB)
解P(AB)=P(A)P(B)_P(AUB)=pq_r
P(AUB)=P(A)P(B)_P(aB)=P(A)1_P(B)_P(A)P(AB)=1_qpq_r=1p_r.
15•设P(A)P(B)=0.7,且A,B仅发生一个的概率为0.5,求代B都发生的概率。
解1由题意有____
0.5=P(aBAb)=P(aB)P(Ab)
=P(A)_P(AB)P(B)_P(AB)
=0.7-2P(AB),
所以
P(AB)=0.1.
解2A,B仅发生一个可表示为AUB-AB,故
0.5二P(aUB)-P(AB)二P(A)P(B)-2P(AB),
所以
P(AB)=0.1.
16•设P(A)=0.7,RA-B)毛.3PB#0.2,求P(AB)与P(AB).
解0.PA-B>P(A)P(AB=)0.—7P,B
所以
P(AB)=0.4,
故
p(AE)=0.6;
0.2二P(B)-P(AB)二P(B)-0.4.
所以
P(B)=0.6
p(AB)=1-p(aUb)=1-p(a)-p(b)p(ab)=0.1
17•设ABC,试证明P(A)P(B)—P(C)乞1
[证]因为ABC,所以
P(C)_P(AB)=P(A)P(B)_P(AUB)_P(A)P(B)_1
故
P(A)P(B)-P(C)叮.证毕.
18.对任意三事件A,B,C,试证
P(AB)P(AC)-P(BC)_P(A).
[证]P(AB)P(AC)-P(BC)乞P(AB)P(AC)-P(ABC)
二P(ABUAC)二P{A(BUC)}乞P(A).证毕.
1
19.设A,B,C是三个事件,且P(A)=P(B)=P(C),P(AB)=P(BC)=0,
4
1
P(AC),求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
解P(川BC=PAPBPCPABPAC(PB)C(PABC因为OeP(ABC)乞P(AE^,0所以P(ABC)=0,于是
p(aUbUc)=?
-」5
488
20.随机地向半圆0:
:
:
y:
:
:
、2ax-x2(a为正常数)内掷一点,点落在园
内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与x轴的夹角小于
设A二‘原点与该点连线与x轴夹角小于■:
/4'
1212aa二42
12a
2
21.把长为a的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率解1设A='三段可构成三角形’,又三段的长分别为x,y,a:
:
:
x•y:
:
:
a,不等式构成平面域S.
aa
A发生0:
:
x,0:
:
y,
不等式确定S的子域A,所以
A的面积1
P(A)=丽面积=4
22
解2设三段长分别为x,y,z,贝U0:
:
:
x”:
a,0”:
y:
:
:
a,0”:
z:
:
:
a且
不等式确定S的子域A,所以
A的面积1
P(A)=丽面积G
22•随机地取两个正数x和y,这两个数中的每一个都不超过1,试求x与
y之和不超过1,积不小于0.09的概率.
解O_x_1,0y_,1不等式确定平面域S.
y
A
0
0.1
0.91
*y
A二‘Xy_1,xy_0.09'贝UA发生的
充要条件为0_xy_1,1_xy_0.09不
等式确定了S的子域A,故
P(A)二
A的面积
S的面积
0.9
0.1(1一
0.9
x-——)dx
x
=0.4-0.181n3=0.2
23•(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a(a0)的一些平行线,向平面
上随机地投掷一根长丨(1:
:
:
a)的针,求针与任一平行线相交的概率.
解设A二‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,
设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
「为针与平行线的夹角,则
0■x:
:
a,0"八,不等式确定了平面上
2
的一个区域S.
A发生x一Lsin',不等式确定S的子域A
2
1二I21
故P(A)——sin「d——
_aJ02a兀
2
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