82立体图形的直观图.docx
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82立体图形的直观图
&2立体图形的直观图
考点
学习目标
核心素养
平面图形的直观图
会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
直观想象
简单几何体的直观图
会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图
直观想象
直观图的还原与计算
会根据斜二测画法规则进行相关运算
直观想象、数学运算
1•画简单几何体的直观图的步骤是什么?
2.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则?
3•用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么?
《[新知初探
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)建系:
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x轴与y轴,两轴交于点0',且使/xOy=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)平行不变:
已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴或
y>的线段.
⑶长度规则:
已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
2.空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z轴.
(2)直观图中平面x0y表示水平平面,平面yOz和x,0,z,表示竖直平面.
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.
⑷成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
■名师点拨
(1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.
(2)
45°(或135°.
用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变,垂线长减半,直角画
,自我检厠》
O判断(正确的打“V”,错误的打“X”)
(1)用斜二测画法画水平放置的/A时,若/A的两边分别平行于x轴和y轴,且/A=
90°,则在直观图中,/A=45°.()
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行.
⑶相等的角在直观图中仍相等.()
答案:
(1)X⑵V⑶X
Oz;则/x'Oy与/x'Oz的度数分别为(
立体图形时的横轴与竖轴的夹角,所以度数为90°
&下列关于直观图的说法不正确的是()
A•原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y轴,长度不变
B•原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x轴,长度不变
C.画与直角坐标系xOy对应的xOy时,/x'O'y'可以画成45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同
解析:
选A.平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一半,故A错.
@如图所示的直观图△
答案:
6
画水平放置的平面图形的直观图
【解】⑴在已知的直角梯形OBCD中,以底边0B所在直线为
于0B的腰0D所在直线为y轴建立平面直角坐标系•如图①所示.
⑵画相应的x轴和y轴,使/xOy=45°,在x轴上截取O'B=0B,在y轴上截取O'D'
=2°D,过点D作x轴的平行线I,在I上沿x轴正方向取点C使得DC=DC.连接BC',如图②.
⑶所得四边形OBCD'就是直角梯形OBCD的直观图•如图③.
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使平
面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行,以便于画图.
⑵画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化.
图.(其中O,E分别为线段AB,DC的中点)
解:
⑴画对应的坐标系xoy',使/xoy=45°.
1
⑵以0为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=2°E,以E'为中点画CD'//x'轴,并使CD=CD.
⑶连接BC',DA',所得的四边形A'B'CD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图.
画简单几何体的直观图
瑟口已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法
画出此正四棱台的直观图.
【解】⑴画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点0,使/x°y=45°,/
xOz=90°
使得GH=3,再过G,H分别作AB綊EF,CD綊EF,且使得AB的中点为G,CD的中点
为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
(3)画上底面.在z轴上截取线段OOi=4,过Oi作Oix'Ox,Oiy'Oy,使/xOiy'=45建立坐标系x'Oiy',在x'Oiy'中仿照2)的步骤画出上底面AiBiCiDi的直观图.
⑷连接AAi、BBi、CCi、DDi,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图
(如图②).
画空间图形的直观图的原则
⑴用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观
图中应分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段.
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来
的2.
由如图所示几何体的三视图画出直观图.
解:
⑴画轴.如图①,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使/xOy=45°,JxOz
(3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA;
BB',CC',且AA'=BB=CC;如图①.
⑷成图,顺次连接A',B',C',并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得
到的图形就是所求的几何体的直观图,如图②.
直观图的还原与计算
例可如图所示,梯形AiBiCiDi是一平面图形ABCD的直观图.若AiDi//O'y',
A1B1//C1D1,AiBi=3ciDi=2,AiDi=O'Di=1•试画出原四边形,并求原图形的面积.
【解】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=ODi
=1,OC=OCi=2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2DiAi=2.在过点A与x
轴平行的直线上截取AB=AiBi=2.连接BC,便得到了原图形(如图).
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角
腰长度为AD=2.
2+3
所以面积为S=—厂X2=5.
(i)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段,且平行于x轴的线
段还原时长度不变,平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定
图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为s,其直观图的面积为S',则有S'=¥s或S=町2s'•利用
I®'站鋼
这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△ABC的面
积为()
B./
解析:
选D.如图①②所示为实际图形和直观图.
由②可知,BC,=BC=a,OA,goA^^a,在图②中作A'D丄BC于点D',贝UA,D,
2;6116'62~O'A'=fa.所以Bc'=2B'C'AD'=xax〒a=花a2
i•用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是()
A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点
答案:
B
2.
如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是选项中的(
解析:
选C.由斜二测画法的规则可知,该平面图形为直角梯形,又因为第一象限内的边平行于y轴,故选C.
解析:
选C.法一:
设O'C'=h,则原梯形是一个直角梯形且高为2h,C'B'=CB,O'A'
=OA•过C作C'D丄OA于点D(图略),
则C'D'=¥h.由题意知
1C'D(CB'+O'A)=S,即:
^2h(C'B'+OA)=S.
又原直角梯形面积为
14Sl
S7=2h(CB+OA)=h(CB'+OA)=強=2^2S.
所以梯形OABC的面积为2.2S.故选C.
4S厂
可得S梯形OABC=2=2.2S,故选C.
4.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在xOy平面上,则圆柱的高应画成()
A.平行于z轴且大小为10cm
B.平行于z轴且大小为5cm
C.与z轴成45°且大小为10cm
D.与z轴成45°且大小为5cm
解析:
选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持致.
5.画一个正四棱锥(底面为正方形,侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定).
解:
步骤:
(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使/xOy=45°,*Oz=90°.
⑵画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.
⑶画顶点.在Oz轴上截取OS,使OS等于已知正四棱锥的高.
⑷画棱.连接SA,SB,SC,SD,擦去辅助线(坐标轴),得到正四棱锥S-ABCD的直观
图,如图②所示.
[A基础达标]
1•对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()
A•等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B•正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D•正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析:
选B.根据斜二测画法的要求知,正方形的直观图为平行四边形.
2•如图,A'B'//O'y',B'C'//O'x',则直观图所示的平面图形是()
A•任意三角形
B•锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析:
选C.因为AB'//Oy',且BC'//Ox:
所以原平面图形中AB丄BC.所以△ABC为直角三角形.
3.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()
A•2cmB.3cm
C.2.5cmD.5cm
解析:
选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直
观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm,故选D.
4.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面
积是()
A.
B.64
D.都不对
16
C.16或64
解析:
选C•根据直观图的画法,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段变为
原来的一半,于是长为4的边如果平行于x轴,则正方形边长为4,面积为16,边长为4
的边如果平行于y轴,则正方形边长为8,面积是64.
5•正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是()
A.6cmB.8cm
C.(2+3.'2)cm
解析:
选B.如图,OA=1cm,
在Rt△OAB中,0B=2;2cm,所以AB=■;OA2+0B2=3(cm).
所以四边形OABC的周长为8cm.
6.如图所示为一个平面图形的直观图,
D.(2+2;:
3)cm
则它的原图形四边形ABCD的形状为
/X2flJ
解析:
因为/DAB=45°,由斜二测画法规则知/DAB=90°,又因四边形ABCD'为平行四边形,且AB=2BC',所以AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
答案:
正方形
7.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD',则原四边形ABCD的面积是
解析:
因为AD'//y'轴,
A'B'/D',A'B'宅'D'
又AD'=4,
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8,故其面积为S=2^(2+5)X8=28.
答案:
28
8•如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,丸川
点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'
到x'轴的距离为.—\d一c.
解析:
在直观图中四边形A'B'C'O是有一个角为45°且长边为2,短边为1的平行四边形,所以顶点B到x轴的距离为¥•
答案:
孑
(1)线段ABi在图中、实物中长度各为多少?
/AB1A1在图中、实物
中的度数各为多少?
⑵在实物中,/ABC、/AEB、/BEC、/ABD、/CBD的度数是多少?
⑶线段BC在图中、实物中的长度各是多少?
/AD1A1、/CB1C1在实物中的度数是多
少?
解:
(1)平面AA1B1B处在铅直状态下,其内部的图形为真实图形,由已知AA1=A1B1=2
cm,AA1丄A1B1,所以AB1=J22+22=2.'2(cm).所以线段AB1在图中,实物中的长度都是2.'2cm,/AB1A1在图中、实物中度数都是45°
(2)在实物中,/ABC=/AEB=/BEC=90°,/BD=/CBD=45°.
(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1cm,2cm,/AD1A1、/CB1C1在实物中的度数都是45°
10.如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD//AB,CD=BO=1,三角形AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
解:
法一:
在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1,由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变,如图所示,
1W2
于是梯形AB'CD的面积为2X(1+2)X才=〒■
法二:
梯形ABCD的面积S=^(DC+AB)XOD
=-x(1+2)x1=3
2、)2
所以梯形ABCD直观图的面积为
S“2=哮
11•如图所示的是水平放置的三角形是AC的中点,在原三角形ABC中,BD的长相等的线段有()
A•0条
C.2条
解析:
选C•先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形,然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段.把三角形A'B'C还原后为直角三角形,则D为斜边AC的中点,所以AD=DC=BD.故选C.
12.如图所示,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面
积是()
1:
2J2
B.1+2
C.1+.-'2D.2+'2
解析:
选D.因为AD'//BC',所以AD//BC.
因为/ABC=45°,
所以/ABC=90°
所以AB丄BC.所以四边形ABCD是直角梯形,如图所示.
其中,AD=AD=1,BC=BC=1+2,AB=2,
即S梯形ABCD=2+,'2.
13.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,B'
B..73
5d・5
解析:
选A.由斜二测画法规则知AC丄BC,即△ABC为直角三角形,其中AC=3,BC
=8,所以AB=73,AB边上的中线长度为一^3,故选A.
14.如图是一个边长为1的正方形A'B'C'D',已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
解:
四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为AC在水平位置,
A'B'C'D'为正方形,
所以/DAC=/ACB=45
所以在原四边形ABCD中,AD丄AC,AC丄BC,
因为AD=2DA=2,
AC=AC=;2,
所以S四边形abcd=ACAD=2詁2.
[C拓展探究]
15.已知某几何体的三视图如下,请画出它的直观图(单位:
cm).
解:
画法:
⑴建系:
如图①,画x轴,y轴,z轴,三轴相交于点0,使/xOy=45°,&Oz=90°.
⑵画底:
在x轴上取线段OB=8cm,在y轴上取线段OA'=2cm,以OB和OA为邻边作平行四边形OBBA'.
(3)定点:
在z轴上取线段OC=4cm,过C分别作x轴,y轴的平行线,并在平行线上
分别截取CD=4cm,CC'=cm.以CD和CC为邻边作平行四边形CDDC'
(4)成图:
连接AC',BD,B'D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),
就得到该几何体的直观图(如图②)•
AH
②
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