高等数学教学教案函数的微分.docx
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高等数学教学教案函数的微分
2.5函数的微分
授课次序15
教学基本指标
教学课题
§2.5函数的微分
教学方法
当堂讲授,辅以多媒体教学
教学重点
微分的概念,函数的微分法则
教学难点
微分的四则运算法则;一阶微分形
式的不变性
参考教材
同济大学编《高等数学(第6版)》自编教材《高等数学习题课教程》
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
导数:
derivative;连续性:
continuity;连续函数:
continuousfunction;斜率:
slope;微分:
differentialcalculus;阶:
order;
切线:
tangentline;切线方程:
tangentialequation;法线:
normalline
课堂教学目标
1.了解微分的四则运算法则,会求函数的微分;
2.一阶微分形式的不变性,
3.初步了解微分在近似计算中的应用
教学过程
1.函数极限的定义(35min),着重介绍两种不同的趋势下极限的不同形式;
2.应用定义证明极限(20min)介绍几种极限的证明过程,让学生明白基本过程。
3.左右极限的定义及与函数极限的关系(10min)
4.收敛数列的性质(唯一性、有界性)(25min)
本节教学设计
微分定义
1本知识点的背景知识
微分的概念从萌发到完整,其严格化经历了几个世纪.即使在微积分蓬勃发展的牛顿—莱布尼茨—欧拉时代,数学家们尽管能用微分进行近似计算、布列并求解微分方程,但由于无穷小量的概念尚未精确化,微分的概念并不明晰;直到19世纪,数学的严格性发展到了新的高度,微分的概念才被确切地理解.2本知识点的多种讲解方法讲解方法一
从纯分析的角度来研究函数的改变量y与自变量的增量x的依赖关系,而引出微分定义.
设y=f(x),a 则函数有改变量y=f(x0+x)f(x0),y依赖于三个要素: 函数f,点x0及x. 当取定函数f,固定x0,则y依赖于x. 一般依赖关系复杂、多样.但是在局部范围内,当|x|很小时,则可用一个线性化 来近似.即y=Ax+o(x). 定义: 设函数y=f(x),a y=f(x0+x)f(x0)=Ax+o(x)⋯⋯(*) 成立(其中,A与x无关).则称函数y=f(x)在点x0可微,称Ax为函数在点x0的微分,即为dy=Ax;若(*)不成立,则称y=f(x)在点x0不可微.规定: 自变量的微分,就是它的增量,即: dx=xdy=Adx. 讲解方法二 由于导数与微分都是研究函数增量y与自变量增量x之间的运算关系,在已有导数概念的前提下,利用导数作为变化量之比极限的数量表现,而进行函数关系的运算引出微分定义. 由函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)limy,得到 0x0x f(x0)(x) x 其中lim(x)0,于是y=fˊ(x0)x+xα(x),记o(x)=xα(x),则 x0 yf(x0)xo(x). 当f(x)在x0处可导时,y是f'(x0)x与o(x)之和,记dyf(x0)x,则 ydy与x相比为高阶无穷小(x→0),这里把dyf(x0)x叫做微分. 定义: 设y=f(x)在区间I有定义,x0I,若存在关于x的线性函数Ax(A是与x无关的常数),使yf(x0x)f(x0)Axo(x),则称f在x0处可微,称Ax为f在x0处的微分,记作 dy|xx0或df(x0)Ax. 若f在区间I的每一点可微,则称f在I上可微. 讲解方法三 切线存在. 切线在切点P(x,y)附近与曲线密合,并且在相当靠近切点的地方,密合得难以区分.这在分析上意味着 在点x的小邻域内,函数值y=f(x)可用切线上相应点的纵坐标值来近似.而在x充分小的邻域内,近似误 差R与x相比是微不足道的. 事实上, Ryf'(x)x, 由于f'(x)存在,就有 R 0(x0),yf(x)xo(x)(xx y就被分解成了两部分之和,其中第一项线性地依赖于 近似值.这一项被称为y的线性主要部分. 定义: 自变量x的变化量x与x是无关的,称为自变量的微分,记为dx;而因变量相应的变化量y的 线性主要部分f(x)xf(x)dy则称为函数y=f(x)在点x处相应于自变量的变化量x的微分,用df(x)或dy表示,即: dydf(x)f(x)dx. 讲解方法四 引进实际问题,由研究函数的改变量y=f(x0+x)f(x0)与自变量改变量x之间的关系,计 算函数改变量的大小,引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.例如: 计算正方形面积增量S=2xx+(x)2计算圆面积增量S=2rr+(r)2计算球体积增量V4πr2r4πr(r)24π(r)3 3计算自由落体路程增量Sgttg(t)2 以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和,第一部分是函数关于自变量增量的线性函数,第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小,当自变量的增量很微小时,函数的增量可近似地用第一部分代替 定义: 设y=f(x)在某区向内有定义,x0及x0+x在这区间内.如果函数的增量 y=f(x0+x)f(x) 可表示为 y=Ax+o(x) 其中A是不依赖于x的常数,则称函数y=f(x)在点x0是可微的,而Ax叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量x的微分,记作dy,即dy=Ax. 3与其它知识点的关联 1)导数与微分,都是讨论y与x的关系,它们的内在联系,表现在下面的定理.定理: (可微即可导) 函数y=f(x)在x0可微它在x0可导;且有dyf(x0)dx 2)由于dyf'(x0)dx,所以微分有与导数计算安全一致的微分运算法则.由复合函数的微分法,一阶微分又具形式不变性 3)由微分的几何意义而衍生的微分三角形 dx 4)高阶微分可以归纳地定义.设y 微分三角形包含了微分学的全部要素: dx,dy, ydytan,其中斜边dx ds(dx)2(dy)2称为弧微分. f(x),如d2yd(dy)f"(x)dx2,一般 (n1)(n)(n1)n1 dyd(dy)f(x)dx. 注意高阶微分不再具有形式不变性. 教学基本内容 备注栏 §2.5函数的微分 一、微分的定义 引例函数增量的计算及增量的构成 一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x0变到x0x问此薄片的面积改变了多少? 设此正方形的边长为x面积为A则A是x的函数Ax2金属薄片的面积改变量为A(x0x)2(x0)22x0x(x)2 几何意义2x0x表示两个长为x0宽为x的长方形面积(x)2表示边长为x的正方形的面积数学意义当x0时(x)2是比x高阶的无穷小即(x)2o(x)2x0x是x的线性函数是A的主要部分可以近似地代替A 定义设函数yf(x)在某区间内有定义x0及x0x在这区间内如果函数的增量yf(x0x)f(x0) 可表示为 yAxo(x) 其中A是不依赖于x的常数那么称函数yf(x)在点x0是可微的而Ax叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量x的微分记作dy即dyAx 函数可微的条件函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导且当函数f(x) 在点x0可微时其微分一定是dyf(x0)x 证明设函数f(x)在点x0可微则按定义有yAxo(x) 上式两边除以x得yAo( x x)x 于是 当x0时由上式就得到 Alimyf(x0)x0x 因此 如果函数f(x)在点x0可微 则f(x)在点 x0也一定可导且Af(x0) 反之如果f(x)在点x0可导 即 limyf(x0) x0x 存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成 yf(x0) x 其中 0(当x0)且Af(x0)是常数x o(x)由此又有 yf(x0)xx因且f(x0)不依赖于x故上式相当于 yAxo(x)所以f(x)在点x0也是可导的 简要证明一方面 yAx o(x)yAo(x)lim y x f(x0)A x xx0 别一方面 limyf(x0)yf(x0) yf(x0) x x x0x x 以微分dy近似代替函数增量 y的合理性 当f(x0)0时 有 limy limy 1limy1 x0dy x0f(x0)x f(x0)x0dx ydy o(dy) 结论在f(x0)0的条件下 以微分dyf(x0) x近似代替增量 yf(x0x)f(x0)时其误差为 o(dy)因此在|x|很小时有近似等式ydy 函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即 dyf(x)x 例如dcosx(cosx)xsinxxdex(ex)xexx 例1求函数yx2在x1和x3处的微分 解函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1x2x 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例2.求函数yx3当x2x0.02时的微分 解先求函数在任意点x的微分dy(x3)x3x2x 再求函数当x2x0.02时的微分22 dy|x2x0.023x2|x2,x0.023220.020.24自变量的微分 因为当yx时dydx(x)xx所以通常把自变量x的增量x称为自变量的微分记作dx即dxx于是函数yf(x)的微分又可记作 dyf(x)dx从而有dyf(x) dx 这就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数因此导数也叫做“微商” 二、微分的几何意义 当y是曲线yf(x)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x| 很小时|ydy|比|x|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式 dyf(x)dx 因此可得如果下 可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分的微分公式和微分运算法则 1 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式 (x) 1 x d(x) 1 xdx (sinx) cosx d(sinx) cosxdx (cosx) sinx d(cosx) sinxdx (tanx) 2secx d(tanx) sec2xdx (cotx) csc2x d(cotx) 2 cscxdx (secx) secxtanx d(secx) secxtanxdx (cscx) cscxcotx d(cscx) cscxcotxdx (ax)a xlna d(ax)a xlnadx (ex)ex d(ex)e xdx (logax) 1 xlna d(logax) xl1nadxxlna (lnx)x1 d(lnx)1dx x 微分法则 d(uv)dudv d(Cu)Cdu d(uv)vduudvd(u)vdu2udvdx(v0) vv2 d(uv)(uv)dx再根据乘积的求导法则有 (uv)uvuv 于是d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 由于udxduvdxdv 所以d(uv)vduudv 3复合函数的微分法则 设yf(u)及u(x)都可导则复合函数yf[(x)]的微分为 dyyxdxf(u)(x)dx 于由(x)dxdu所以复合函数yf[(x)]的微分公式也可以写成 dyf(u)du或dyyudu 由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时 例3.ysin(2x1)求dy 解把2x1看成中间变量u则 dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量 微分形式dyf(u)du保持不变微分形式dyf(u)du并不改变 这一性质 例4yln(1ex2)求dy 解dydln(1ex2)11ex2d(1ex2) x2 12ex2d(x2)12ex22xdx2xe2dx 1ex21ex21ex2 例5.ye13xcosx求dy解应用积的微分法则得 dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e13xd(cosx)(cosx)e13x(3dx)e13x(sinxdx)e13x(3cosxsinx)dx 例6.在括号中填入适当的函数使等式成立 (1)d()xdx (2)d()costdt解 (1)因为d(x2)2xdx所以 111 xdxd(x2)d(x2)即d(x2)xdx 一般地有d(21x2C)xdx(C为任意常数) (2)因为d(sint)costdt所以 11 costdt1d(sint)d(1sint) 1 因此d(1sintC)costdt(C为任意常数) 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 在工程问题中经常会遇到一些复杂的计算公式如果直接用这些公式进行计算力的利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替 那是很费 如果函数yf(x)在点x0处的导数f(x)0且x|很小时我们有 ydyf(x0)x yf(x0x)f(x0)dyf(x0)xf(x0x)f(x0)f(x0)x若令xx0x即xxx0那么又有f(x)f(x0)f(x0)(xx0)特别当x00时有f(x)f(0)f(0)x这些都是近似计算公式 例1.有一批半径为1cm的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为001cm估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm3)? 解已知球体体积为V34R3R01cmR0.01cm 3 镀层的体积为 VV(R0R)V(R0)V(R0)R4R02R43.14120.010.13(cm3)于是镀每只球需用的铜约为 0.138.91.16(g)例2.利用微分计算sin3030的近似值 |x|是较小的数值) 即sin30300.5076常用的近似公式(假定 (1)n1x1xn (2)sinxx(x用弧度作单位来表达 (3)tanxx(x用弧度作单位来表达 (4)ex1x (5) ln(1x)x 证明 (2)取f(x)sinx那么f(0)0f(0)sinxx 例3.计算1.05的近似值 解已知n1x11x n cosx|x01代入f(x)f(0)f(0)x便得 1.0510.051 差我们把它叫做间接测量误差 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差 绝对误差与相对误差如果某个量的精确值为A它的近似值为a那么|Aa|叫做a的绝对误差而 绝对误差|Aa|与|a|的比值|Aa|叫做a的相对误差 |a| 在实际工作中某个量的精确值往往是无法知道的于是绝对误差和相对误差也就无法求得但是根据测量仪器的精度等因素有时能够确定误差在某一个范围内如果某个量的精确值是A测得它的近似值是a又知道它的误差不超过A: |Aa|A则A叫做测量A的绝对误差限 A叫做测量A的相对误差限(简称绝对误差) |a| 例4.设测得圆钢截面的直径D60.03mm测量D的 绝对误差限D005利用公式AD2计算圆钢的截面 4 积时试估计面积的误差 解 AdAA DDD 2 A||dA| D 2 |D|2DD 已知 D 60.03D 0.05所以 A2DD 2 60.030.054.715(mm2) A 2DD 2D20.05 0.17% A D2 2D260.03 4 若已知A由函数y=f(x)确定A=y测量x的绝对误差是x那么测量y的y=? 由ydyyx有 y||dy||y||x||y|x 所以测量y的绝对误差y=|y|x测量y的相对误差为
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