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纯距离法激光跟踪坐标测量系统的布局与仿真胡朝晖
DOI:
10.13741/ki.11-1879/o4.2000.05.004
第26卷第5期Vol.26No.5
2000年9月OPTICALTECHNIQUESept. 2000
光学技术
1002-1582(2000)05-0395-05 文章编号:
纯距离法激光跟踪坐标测量系统的布局与仿真
胡朝晖,王佳,刘永东,梁晋文
(清华大学精密仪器与机械学系精密测试技术与仪器国家重点实验室,北京 100084)
摘要:
一般激光跟踪测量系统通过测量距离变化量和跟踪镜转角来确定目标的位置坐标。
而纯距离法激光跟踪测量系统只测量距离和距离变化量,而不用测量角度量,即可进行坐标测量,因此可得到较高的测量精度。
其系统几何参数可以不借助外界实物标准尺进行自标定,并建立虚拟坐标测量参考系。
多站测量系统的布局、测量点选择、计算的收敛性与误差等必须进行分析。
从激光跟踪测量系统自标定的数学模型出发,分析其方程组的雅可比矩阵,推导出在自标定时测量系统中各站点和测量点的布局限制,并用计算机进行了仿真验证。
关
键
词:
激光跟踪;自标定;坐标测量;Gauss-Newton法;Levenberg-Marguardt方法
中图分类号:
TN247 文献标识码:
A
Thearrangementandsimulationoflasertrackingsystemformeasuring
coordinatewithdistance-measured-only
HUZhao-hui,WANGJia,LIUYong-dong,LIANGJin-wen
(Statekeylaboratoryofprecisionmeasurementtechnologyandinstruments,Departmentofprecisioninstruments,
TsinghuaUniversity,Beijing 100084,China)
Abstract:
Inordinarylasertrackingandmeasuringsystem,thetargetcoordinatesaredeterminedbymeasuringthevaria-tionofdistanceandtheturningangle.Inthelasertrackingandmeasuringsystemwithdistance-measured-only,thecoordinatemeasurementcanbemadeonlybymeasuringthedistanceandvariationofdistancewithoutmeasuringtheangle,sothemea-surementprecisionishigh.Thegeometricparametersofthissystemmayself-calibratewithoutstandardruler,andthereferencesystemformeasuringvirtualcoordinateissetup.Thereforethearrangementofmulti-stationmeasuringsystem,theselectionofmeasuredpoints,theconvergenceanderrorofthecomputation,andsoon,mustbeanalyzed.Themathematicalmodelofself-calibrationinlasertrackingandmeasuringsystemispresentedatfirst.ThentheJacobianmatrixoftheequationsisanalyzed.Andtherestrictiononthearrangementofstationsandmeasuredpointsinthemeasuringsystembyself-calibrationisdeducted.Finallytheconclusionisvalidatedbythecomputersimulation.
Keywords:
lasertracking;self-calibration;coordinatemeasurement;Gauss-Newtonmethod;Levenberg-Marguardtmethod
1 概述(系统组成与原理)
随着机器人技术和其它大型工件测量技术的发展,激光跟踪测量技术逐步应用于许多工业部门和计量领域。
除了传统的基于角度距离法的经纬仪式激光
测量系统外,新发展的纯距离法激光跟踪测量技术可以仅利用距离及其变化量测量动态目标的位置坐标[1]。
动态目标可以是机器人终端或大型机床上的某个运动部件等。
利用激光干涉仪测量距离可得到很高的精度,因此纯距离法所测的目标位置坐标理论精度也较高。
这种方法有着很大的应用潜力和较好的发展前景。
纯距离法空间坐标测量系统的如图1所示,四个跟踪站同时跟踪一个目标,目标可以为“猫眼”逆反射镜,固定在被测物体(如机器人执行端)上,并可在空间运动。
每个跟踪站的功能框图见图2。
激光器发出的光束经跟踪镜反射到“猫
图1 四站纯距离法激光
跟踪测量系统
眼”上,“猫眼”将光束按原光路反射回跟踪镜,再经分
收稿日期:
2000-01-31
作者简介:
胡朝晖(1975-),男,重庆人,清华大学博士研究生,从事激光跟踪测量研究。
光 学 技 术 第26卷
束镜反射到光电位敏传感器PSD上。
PSD的输出信号通过跟踪反馈控制单元控制跟踪镜旋转,从而跟踪目标镜。
返回到分束镜上的一部分光透射后返回激光干涉仪,从而能够测量目标到跟踪镜旋转中心的距离增量。
四个跟踪站分别测量出各跟踪镜旋转中心到目标的多个空间位置的距离增量dlji(跟踪站j=1,2,3,4,目标位置i=1,2,……,n),再利用自标定计算出各站点的位置坐标rsj和各站点到目标初始点的初始距离l0j,由此即可实时跟踪测量出目标点任意时刻的位置坐标ri。
上述方法已在文献[1]中讨论过,然而自标定的数学方法、布站方法、计算的收敛性与误差等对所提出的纯距离法测量系统的精度具有相当大的影响。
本文从自标定的数学模型出发,分析了其方程组的雅可比矩阵,
图2 激光跟踪测量站
功能框图
心置于x-y平面内,而第四个跟踪站中心放在x-y平面外,如图1所示。
P为被测目标的中心,A、B、C和D分别表示四个跟踪站中心。
A点坐标为(0,0,0),B点坐标为(xB,0,0),C点坐标为(xC,yC,0),D点坐标为(xD,yD,zD)。
此时,系统几何参数中的未知量减少为10,总的未知量数目减为3n+10,而公式
(1)代表的方程数为4n。
当4n≥3n+10时,可求解式
(1)所表示的方程组,即要求测量点数n≥10。
同理,在平面测量系统中,被测目标点数n≥6,即可进行自标定。
进行自标定的数学方法是将式
(1)所表示的超定方程组用最小二乘法求解出未知量。
式
(1)表示mn个方程,等式左边用fk(x)表示,k=1,2,…,mn,可令k=m·(i-1)+j,x表示所有未知量组成的向量,并定义评价函数为
n
m
φ(x)=
i=1j=1
x)∑∑fm(i-1)+j(
(2)
推导出在自标定时测量系统中各站点和目标点的布局
方法和限制,并用计算机进行了仿真验证。
当评价函数取得最小值时,所对应的x即为所求的值。
在使用最小二乘法求解时比较常用的方法是Gauss-Newton法和Levenberg-Marguardt方法[2、3]。
当利用Gauss-Newton法求解最小二乘问题时,其雅可比矩阵J(x)必须满秩,否则解方程时会出现严重病态,甚至是退化的,这将严重影响收敛达到的精度,甚至因不收敛而得不出结果。
为解决此问题,对Gauss-Newton法进行了改进,采用了Levenberg-Marguardt方法。
此方法减弱了病态性,但并不能完全消除。
所以,即使在使用此方法时也应尽可能保证雅可比矩阵满秩,进一步减少产生病态的可能性。
从这一角度出发,下文对自标定的雅可比矩阵进行了分析,研究使其满秩时系统中各几何量应该满足的条件,从而得到纯距离法激光跟踪坐标测量系统自标定时跟踪站和测量点的布局限制。
2 自标定的数学模型
设第j个跟踪站干涉仪的旋转中心Sj,用矢量表示为rsj,目标点第i个位置中心Pi,用矢量表示为ri。
l0j表示第j个跟踪站干涉仪中心到目标初始点P0的距离,dlji表示由第j个跟踪干涉仪测得的第i个被测点与干涉仪之间的相对距离变化量,dlji可由干涉仪测量得到。
由此可列出如下方程
(ri-rsj)·(ri-rsj)-(l0j+dlji)=0
(1)
(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)
在自标定中,只有dlji为已知量,其他皆为未知量。
为叙述方便,本文将跟踪站旋转中心位置坐标rsj
和跟踪站到目标初始点距离l0j合称为系统几何参数。
当m≥4时,系统可在三维空间对rsj和l0j进行自标定,同时也可计算出ri,一般取m=4。
当m≥3时,系统可在二维平面内进行自标定,一般取m=3。
为了减少未知量,应合理建立坐标系。
以空间测量系统为例,将其坐标原点建立在第一个跟踪站中心,x正半轴过第二个跟踪站中心,并将第三个跟踪站中
3 雅可比矩阵分析
由于雅可比矩阵分析比较复杂,本文以二维平面测量系统为例,分析平面测量系统的布局限制。
空间
测量系统也可以以此为例进行分析。
在平面测量中,跟踪测量站个数m=3。
平面内自标定对应的3n个方程可表示为
222
f3i-2=(xPi-Xs1)+(yPi-Ys1)-(l01+dl1i)
222f3i-1=(xPi-Xs2)+(yPi-Ys2)-(l02+dl2i) (i=1,2,…,n)222f3i=(xPi-Xs3)+(yPi-Ys3)-(l03+dl3i)
(3)
其中(xPi,yPi)为目标点坐标;(XSj,YSj)(j=1,2,3)为站点坐标;l01、l02、l03为初始距离,dl1i、dl2i、dl3i为干涉仪所测量的距离增量。
其中,已知量仅为干涉仪测量的距离增量dl1i、dl2i、dl3i。
未知量共2n+6个,即
x=[x1,x2,x3,x4,…,x2n-1,x2n,x2n+1,x2n+2,x2n+3,x2n+4,x2n+5,x2n+6]
T
第5期 胡朝晖,等:
纯距离法激光跟踪坐标测量系统的布局与仿真
=[xP1,yP1,xP2,yP2,…,xPn,yPn,XS2,XS3,Y
另有三个系统几何参数(XS1、Y
a1,1a2,1a3,1
J(x0
00…
a1,2a2,2a3,2000
S1
S3
l01,l02,l03]a1,2n+4
00a4,2n+4
00
T
(4)
00a3,2n+6
00a6,2n+6
…
(5)
、YS2)在定义坐标系时已定义为零。
此方程组的雅可比矩阵为
000a4,4a5,4a6,4
……………
000a5,2n+1
0…
00a3,2n+2
00a6,2n+2
00a3,2n+3
00a6,2n+3
…0a2,2n+1
a2,2n+5
00a5,2n+5
000a4,3a5,3a6,3
…………
fk(x)
矩阵中各元素ak,h,其中下列元素为
xh
a3(i-1)+j,2i-1=2(xPi-XXj)
a3(i-1)+j,2i=2(yPi-YSj)a3i-1,2n+1=-2(xPi-XS2)a3i,2n+2=-2(xPi-XS3)a3i,2n+3=-2(yPi-YS3)a3(i-1)+j,2n+3+j=-2(l0j+dlji)
…………
3.2 任意两列间线性无关值不能同时满足下式
当第2i-1列和第2i列线性无关时,对不同的j
2(xPi-XSj)=k·2(yPi-YSj)
即
yPi-YSj (j=1,2,3)
xPi-XSjk
(10)
其中,k是与j无关的常数。
这说明,对于某目标点Pi到三个站点的连线不能具有相同的斜率,即三站不能
共线且过目标的某一测量点。
当第2n+2列和第2n+3列线性无关时,对不同的i不能同时满足
-2(xPi-XS3)=k[-2(yPi-YS3)]
即
yPi-YS3 (i=1,2,…,n)
xPi-XS3k
(11)
(i=1,2,…,n,j=1,2,3)(6)
其它元素值为零,见式(5)。
现分类分析雅可比矩阵中各列间的线性无关性,以确保J(x)满秩。
3.1 各列不为零向量
当第2i-1列不为零向量时,对于j=1,2,3不能同时满足下式
a3(i-1)+j,2i-1=2(xPi-XSj)=0即
xPi=XSj (j=1,2,3)
(7)
这说明,某个目标点横坐标不能同时等于三个站点的横坐标,即在该参考坐标系中不能三站和某一目标点
共线且连线平行于y轴。
同理,当第2i列不为零向量时,在该参考坐标系中不能三站和某一目标点共线且连线平行于x轴。
当第2n+3+j列不为零向量时,对于不同的i值,不能同时满足下式
a3(i-1)+j,2n+3+j=-2(l0j+dlji)=0
(i=1,2,…,n)
(8)
其意为,站点Sj到目标点距离不能恒为零。
显然始终成立,即对系统无限制。
当第2n+1列不为零向量时,对不同的i下式不能同时满足
a3i-1,2n+1=-2(xPi-XS2)=0
即
xPi=XS2 (i=1,2,…,n)
(9)
即目标点轨迹不能是过站点S2的直线且平行于y轴。
同理,当第2n+2列(或第2n+3列)不为零向量时,目标点轨迹不能是过站点S3的直线且平行于y轴(或x轴)。
其中,k是与i无关的常数。
这说明,目标运动轨迹不能是过站点S3的直线。
同理,当第2n+2列和第2n+6列线性无关(或第2n+3列和第2n+6列线性无
关)时,可得到同样的要求,在此不再重复。
当第2n+1列和第2n+5列线性无关时,对所有的i不能均满足下式
-2(xPi-XS2)=k[-2(l02+dl2i)]
即
k=
xPi-XS2
cosθ(i=1,2,…,n)(12)2i l02+dl2i
其中,k是与i无关的常数;θ2i是站点S2到目标点Pi的连线与x正半轴的夹角。
这说明,目标运动轨迹不能是过站点S2的直线。
3.3 三列间线性无关
当第2n+2、2n+3、2n+6列线性无关时,对所有的i下式不能同时满足
-2(l03+dl3i)=k1[-2(xPi-XS3)]
+k2[-2(yPi-YS3)]
即
1=k1
xPi-XS3yPi-YS3
+k2
l03+dl3il03+dl3i
(13)
1=k1cosθ(i=1,2,…,n)3i+k2sinθ3i 式中θ3i表示站点S3到目标点Pi连线与x轴正半轴
光 学 技 术 第26卷
的夹角,k1、k2为与i无关的常数。
若此式对所有的i均成立,则表示θ和β3i最多只能取两个值,如图3中α两角所示。
这说明,若这三列线性无关,则目标点的运动轨迹不能是过站点S3的一条或两条直线。
3.4 最后六列中的一列与前2n列线性无关
当第2n+1列与第1列至第2n列线性无关时,对于不同的i不能同时满足下式
0=k2i-1·2(xPi-XS1)+k2i·2(yPi-YS1)
-2(xPi-XS2)=k2i-1·2(xPi-XS2)+k2i·2(yPi-YS2) (i=1,2,…,n)0=k2i-1·2(xPi-XS3)+k2i·2(yPi-YS3)
其中,k2i-1和k2i分别表示线性相关时第2i-1列和第
2i列的系数。
当k2i-1和k2i的比值满足下式
yPi-YS1yPi-YS3k2i-1
==
xPi-XS1xPi-XS3k2i
(i=1,2,…,n)
时,方程(14)中的第1、3两式恒成立。
这样,必然存在适当的两值k2i-1和k2i使方程(14)的第2式也成立。
上式表明,目标点运动轨迹不能是S1和S3的连线。
同理,当第2n+2列至第2n+6列分别与前2n
(15)
列线性无关时,系统要求分别满
足目标点轨迹不能是过两站点的的连线,这5组中对应的两站点连线依次是S1S2、S1S2、S2S3、S1S3、S1S2。
3.5 最后六列中的两列与前2n列线性无关图3 θ3i的取值示意图
第2n+1、2n+5列与前2n列线性无关时,所对应的相关的方程组如下
(16)(14)
0=k2i-1·2(xPi-XS1)+k2i·2(yPi-YS1)
-2(l02+dl2i)=k2i-1·2(xPi-XS2)+k2i·2(yPi-YS2)+k2n-1·[-2(xPi-XS2)]0=k2i-1·2(xPi-XS3)+k2i·2(yPi-YS3)
同样,当满足
yPi-YS1yPi-YS3k2i-1
==-xPi-XS1xPi-XS3k2i
(17)
同理,当第2n+2、2n+3、2n+6列中的任意两列或全部与前2n列线性无关时,可知,目标点轨迹不
能是同时过两站点S1和S2的直线。
当第2n+1、2n+2列与前2n列线性无关时,对应的线性相关的方程组为
时,一定存在k2i-1、k2i、k2n+1使(16)式成立。
所以由
(17)式可知,目标点轨迹不能是过两站点S1和S3的直线。
0=k2i-1·2(xPi-XS1)+k2i·2(yPi-YS1)
0=k2i-1·2(xPi-XS2)+k2i·2(yPi-YS2)+k2n-1·[-2(xPi-XS2)] (i=1,2,…,n)(18)-2(xPi-XS3)=k2i-1·2(xPi-XS3)+k2i·2(yPi-YS3)
由此这三个方程可消掉k2i-1和k2i,把k2n+1表示为与目标点位置Pi有关的表达式K(Pi)。
又由于k2n+1与i无关,为常数,则K(Pi)的值为常数,故分析表达式K(Pi)的值为常数时对系统的限制,再对结果取反即得这几列线性无关的条件。
这种方法是可行的,但由于K(Pi)比较复杂,不易看出其几何含义,所以本文不对此表达式进行阐述。
对于此雅可比矩阵的最后六列中的其它两列(或两列以上)与前2n列线性无关的矩阵分析,公式比较复杂,不易看出其几何含义。
这就决定了本矩阵分析所得到的限制条件是必要的,但不是充分的,有待寻求更好的分析方法。
3.6 总 结
综上所述,纯距离法激光跟踪二维坐标测量系统在自标定系统几何参数时,目标点运动轨迹不能为两跟踪站点的连线,不能是过站点S2的直线或过站点S3的两条或一条直线;另外,三个跟踪站也不能共线同时过某一目标测量点。
4 计算机仿真验证
上文已提出,对雅可比矩阵的分析是为了避免方程的病态性和迭代收敛时发散的可能性,从而提高系统标定时的迭代收敛精度。
但并没有提出对迭代收敛精度的影响程度。
特别是,在使用Levenberg-Mar-guardt方法后,从理论上讲避免了雅可比矩阵不满秩对迭代收敛的影响,但实际迭代时也会存在接近奇异的矩阵,因而影响迭代收敛精度。
故有必要对上文中雅可比矩阵分析的结果进行计算机仿真,并用以验证这种雅可比矩阵分析方法的正确性。
在计算机仿真时,所用的就是Levenberg-Marguardt方法。
设三个站点坐标分别为A(0,0),B(1000,0),C(500,300),单位为mm。
当三站共线时,站点C为
第5期 胡朝晖,等:
纯距离法激光跟踪坐标测量系统的布局与仿真
(500,0)。
测量的目标点数取n=30。
迭代初始值最大偏差ε=10mm,所谓迭代初始值最大偏差,是指利用最小二乘法进行计算前,对各未知量所赋的迭代初始值与其真实值之间偏差的最大值,为叙述方便本文将其简称为初始偏差,用ε表示。
激光干涉仪误差分别取Eg=0和Eg=1μm两种情况进行计算机仿真。
根据上文分析的结果,我们就以下八种布局进行了仿真。
布局一为一般情况,布局二中轨迹是两站点连线(以AC连线为例),布局三中轨迹是过站点B的直线,布局四中轨迹是过站点C的直线,布局五中轨迹是过站点C的两条直线,布局六中三站共线且连线过某一测量点。
另外,我们还猜测了两种可能会影响迭代结果的布局。
布局七中轨迹是过站点A的直线,布局八中三站点共线而不过任何测量点。
结果见表1。
其中,终值偏差是指用最小二乘法迭代计算的未知量终值与真实值之间的最大偏差,迭代残差为迭代所得的评价函数(如公式
(2)所示)的终值。
终值偏差只在仿真时有意义,在实际测量中因不知道真实值而无法计算,只有迭代残差在实际测量中也同样有意义。
表1 仿真验证自标定的矩阵分析结论的数据表
Eg=0
终值偏差/mm
迭代残差/mm4
Eg=1μm
终值偏差/mm0.1623434.114568.330813.896650.39158813.95651.213231.32414
迭代残差
/mm438.439595.537891.514867.607639.954523.164155.473944.6329
义,才能得出系统布局的所有限制条件。
当然,从本表也发现:
当干涉仪有误差时,即使在非特殊情况下,终值偏差和迭代残差也比较大。
这是由于自标定本身受
外界的系统几何参数的影响较大所引起的,这将在以后的文章中加以讨论。
5 结 论
自标定方法是纯距离法激光跟踪测量系统中建立在数学建模和数值计算基础上的重要方法,具有许多新特点。
经过矩阵分析和仿真验证,我们得出纯距离法激光跟踪二维坐标测量系统在自标定系统几何参数时布局所要满足的条件。
这比矩阵分析所得的结论更全面,增加了经过仿真验证的两个猜测。
平面自标定所要满足的条件是:
“目标点运动轨迹不能为两跟踪站点的连线,不能是过站点S1、S2的直线或过站点S3的两条或一条直线;另外,三个跟踪站也不能共线。
”这一布局限制在自标定时必须满足,以得到正确标定结果。
本文所提到的矩阵分析方法不仅适用于本系统的平面测量的自标定,对于空间测量和其他应用Gauss-Newton法和Levenberg-Marguardt方法的场合也同样适用。
通过雅可比矩阵分析,便可求得系统的参数限制。
这一方法的正确性已通过仿真得以证实。
本文的结果对于空间测量也是有重要参考价值的。
纯距离法激光跟踪测量系统通过自标定能够建立虚拟测量坐标系,为大型工业激光跟踪高精度测量提供了方便、全新的方法和系统。
布局一1.03228e-107.76560e-18布局二布局三布局四布局五布局六布局七布局八
2.776536.915254.414940.0366750.5473930.7205341.12617
5.00844e-054.25985e-031.39891e-101.56032e-083.79276e-092.16691e-111.37384e-06
参考文献:
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北京工业大学
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- 距离 激光 跟踪 坐标 测量 系统 布局 仿真 朝晖