第2章 点直线与平面的投影.docx
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第2章 点直线与平面的投影.docx
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第2章点直线与平面的投影
广东技术师范学院天河学院
教案
2012年10月日第周
第2章点、直线和平面的投影
本章教学目的及基本要求:
掌握点、直线和平面的投影特性,两点的相对位置及重影点。
直线上点的投影,平面上的直线和点投影。
了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。
本章教学内容的重点和难点:
一、本章重点:
1.点的坐标与投影,重影点;
2.直线在三面投影体系中的投影特性;
3.平面的投影特性,平面上的直线和点。
二、本章难点:
1.求线段的实长及其对投影面的倾角;
2.两直线的相对位置;
3.直线上的点和平面上的线。
本章教学内容的深化和拓宽:
养成良好的习惯,严谨的工作作风
本章教学方法、方式:
讲授法,演示法教学、习题集作业、手工绘图
本章主要参考资料:
1.机械制图(第六版)大连理工大学编
高等教育出版社出版
2.机械制图(第三版)刘力主编
高等教育出版社出版
3.画法几何学(第六版)大连理工大学编
高等教育出版社出版
广东技术师范学院天河学院
单元教案首页
2012年10月日第周
课题:
2.1投影法的基本知识2.2点的投影课次:
4
教学方法:
讲授法,演示法教具:
尺,规
教学目的:
掌握点、直线和平面的投影特性,两点的相对位置及重影点
教学重点:
重点:
点、直线和平面的投影特性
教学难点:
两点的相对位置及重影点
教学过程时间分配(包括组织教学:
复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业)
讲授新课:
80分钟
小结、布置作业:
10分钟
课后记:
第2章点、直线和平面的投影
一、本章重点:
1.点的坐标与投影,重影点;
2.直线在三面投影体系中的投影特性;
3.平面的投影特性,平面上的直线和点。
二、本章难点:
1.求线段的实长及其对投影面的倾角;
2.两直线的相对位置;
3.直线上的点和平面上的线。
三、本章要求:
掌握点、直线和平面的投影特性,两点的相对位置及重影点。
直线上点的投影,平面上的直线和点投影。
了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。
四、教学手段
讲授法,演示法教学、习题集作业
五、本章内容:
2.1投影法的基本知识
2.1.1投影法概述
在日常生活中,我们经常看到物体在日光或灯光照射下,在地面或墙上产生影子,这种现象叫投射。
人们根据这种自然现象,经过科学的抽象提出了投影法。
将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线,投射线通过物体,向选定的平面投射,并在该面上得到图形的方法称为投影法。
投射线的方向称为投射方向,选定的平面称为投影面,投射所得到的图形称为投影。
图2.1中心投影法图2.2平行投影法
1.中心投影法
该投影法的特点是,物体距离投影面的距离不同时,得到的投影的大小不同。
因此,中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小,所以机械制图不采用这种投影法绘制。
但中心投影法具有立体感强的特点,常用于绘制建筑物的外观图,也称为透视图。
2.平行投影法
投影线相互平行,在投影面上作出物体投影的方法,就称为平行投影法。
平行投影法的特点是,物体的投影与物体距投影面的距离无关,投影都能够真实地反映物体的形状和大小。
平行投影法中又可分为两种,一种是正投影,投影线方向垂直于投影面。
另一种是斜投影,投影线方向倾斜于投影面。
在机械制图中应用的是正投影法,它是我们学习的重点。
3.正投影法的基本特性
⑴实形性
当直线或平面图形平行于投影面时,其投影反映直线的实长或平面的实形,如图2.5(a)所示。
⑵积聚性
当直线或平面图形垂直于投影面时,直线的投影积聚成一点,平面的投影积聚成一直线,如图2.5(b)所示。
⑶类似性
当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。
另外,平行投影法还有这样的规律:
(1)平行两直线的投影仍互相平行。
(2)属于直线的点,其投影仍属于直线的投影
(3)点分线段之比,投射后保持不变。
(a)(b)(c)
图2.5正投影法的基本特性
2.1.2三视图的形成
根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定,用正投影法所绘制的物体的图形,称为视图。
1.三投影面体系
图2.6三投影面体系图2.7三视图的形成过程
三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。
其中V面称为正立投影面,简称正面;H面称为水平投影面,简称水平面;W面称为侧立投影面,简称侧面。
在三投影面体系中,两投影面的交线称为投影轴,V面与H面的交线为OX轴,H面与W面的交线为OY轴,V面与W面的交线称OZ轴。
三根投影轴的交点为原点,记为O。
2.三视图的形成
(a)(b)(c)
图2.8三视图的形成
如图2.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。
为了使所得的三个投影处于同一平面上,保持V面不动,将H面绕OX轴向下旋转90°,W面绕OZ轴向右旋转90°,与V面处于同一平面上,如图2.8(a)所示。
这样便得到物体的三个视图。
V面上的视图称为主视图,H面上的视图称为俯视图,W面上的视图称为左视图,如图2.8(b)所示。
在画视图时,投影面的边框及投影轴不必画出,三个视图的相对位置不能变动,即俯视图在主视图的下边,左视图在主视图的右边,三个视图的配置如图2.8(c)所示,不必标注三个视图的名称。
3.三视图之间的对应关系
三视图之间的对应关系是:
主视图:
反映物体的上、下、左、右四个方位,同时反映了其高度、长度;
俯视图:
反映物体的左、右、前、后四个方位,同时反映了其长度、宽度;
左视图:
反映物体的上、下、前、后四个方位,同时反映了其高度、宽度。
三视图之间的投影规律:
主、俯视图长对正,主、左视图高平齐,俯、左视图宽相等。
简言之:
长对正;高平齐;宽相等。
图2.9三视图之间的对应关系
2.2点的投影
2.2.1点的两面投影图的性质
1.一点的两面投影连线垂直于投影轴(aa'⊥OX),且aa'到点O的距离反映x坐标。
2.一点的水平投影到OX轴的距离(aax)等于该点到V面的距离(Aa'),都反映其y坐标(aax=Aa'=y);其正面投影到OX轴的距离(a'ax)等于该点到H面的距离(Aa),都反映其z坐标(a'ax=Aa=z)。
2.2.1点的三面投影规律
组成物体的基本元素是点、线、面。
图2.10(a)所示的三棱锥是由四个面、六条线、四个点组成。
点是最基本的几何元素,下面分析锥顶A点的投影规律。
点的投影规律如下:
⒈点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴,即a'a⊥OX;
⒉点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴,即a'a〃⊥OZ;
⒊点的H面投影到OX轴的距离等于其W面投影到OZ轴的距离,即aaX=a〃aZ。
(a)(b)(c)
图2.10点的三面投影规律
2.2.2点的三面投影与直角坐标的关系
如图2.12(a)所示,点在空间的位置可由点到三个投影面的距离来确定。
如果将三个投影面作为坐标面,投影轴作为坐标轴,则点的投影与点的坐标关系如下:
(a)(b)
图2.12点的三面投影与直角坐标的关系
⒈点到W面的距离为Aa〃=a'aZ=aay=OaX=X轴坐标;
⒉点到V面的距离为Aa'=aaX=a〃aZ=Oay=Y轴坐标;
⒊点到H面的距离为Aa=a'aX=a〃ay=OaZ=Z轴坐标。
例已知空间点B的坐标为:
X=15,Y=20,Z=25(单位为mm,)也可写成B(15,20,25)。
求作B点的三面投影。
(a)(b)(c)
图2.13已知点的坐标作投影图
分析已知空间点的三个坐标,便可作出该点的两个投影,再求作另一投影。
作图⒈在OX轴上向左量取15,得bX,如图2.13(a);
⒉过bX作OX轴的垂线,在此垂线上向下量取20得b;向上量取25得b',如图2.13(b);
⒊由b、b'作出b〃,如图2.13(c)。
2.2.3两点的相对位置
两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。
(a)(b)
图2.14两点的相对位置
根据两点的坐标,可判断空间两点间的相对位置。
两点中,X坐标值大的在左;Y坐标值大的在前;Z坐标值大的在上。
图2.14中,XA>XB,A点在B点之左;YA>YB,A点在B点之前;ZB>ZA,B点在A点之上。
属于同一条投射线上的点,在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。
空间的这些点,称为该投影面的重影点。
重影点在标注时,将不可见的投影加括号,如C点在上,遮住了下面的A点,所以A点的水平投影用(a)表示。
(a)(b)
图2.15重影点的投影
2.2.4其他分角的点
由于,投影平面是没有边际的,两投影面把空间分为四个部分,每部分称为分角。
分别以第一、二、三、四分角命名之,三个投影面将空间分成八个角,如图所示。
我国标准规定工程图样采用第一角画法。
作业:
《机械制图习题集》P6——7
广东技术师范学院天河学院
单元教案首页
2012年10月日第周
课题:
2.3直线的投影课次:
5
教学方法:
讲授法,演示法教具:
尺,规
教学目的:
掌握直线的投影特性,两直线的相对位置,直角投影定理
教学重点:
重点:
直线的投影特性
直角投影定理
教学难点:
两直线的相对位置
直角投影定理
教学过程时间分配(包括组织教学:
复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业)
讲授新课:
80分钟
小结、布置作业:
10分钟
课后记:
2.3直线的投影
2.3.1一般位置直线
一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长,而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。
(a)(b)
图2.16一般位置直线的投影
2.3.2投影面平行线
直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时,称为投影面平行线。
正平线——平行于V面倾斜于H、W面;
水平线——平行于H面倾斜于V、W面;
侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性:
平行于那个投影面,在那个投影面上的投影反映该直线的实长,而且投影与投影轴的夹角,也反映了该直线对另两个投影面的夹角,而另外两个投影都是类似形,比实长要短。
它们的投影特性如表2.1所示。
3.3.3投影面垂直线
直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时,称为投影面垂直线。
正垂线——垂直于V面平行于H、W面;
铅垂线——垂直于H面平行于V、W面;
侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性:
垂直于那个投影面,在那个投影面上的投影积聚成一个点,而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。
它们的投影特性如表2.2所示。
例分析正三棱锥各棱线相对于投影面的位置,如图2.17。
⑴棱线SBsb和s'b'分别平行于OYH和OZ,可确定SB为侧平线,侧面投影s〃b〃反映实长,如图2.17(a)。
⑵棱线AC侧面投影a〃c〃重影,可判断AC为侧垂线,a'c'=ac=AC,如图2.17(b)。
⑶棱线SA三个投影sa、s'a'、s〃a〃对投影轴倾斜,所以必定是一般位置直线,如图2.17(c)。
(a)(b)(c)
图2.17分析直线相对于投影面的位置
2.3.4直线上的点
直线上点的投影具有从属关系。
⒈如果点在直线上,则点的各个投影必在该直线的同面投影上。
反之,若点的各个投影都在直线的同面投影上,则点一定在该直线上。
如图2.18(a)所示,若C点在直线AB上,则c在ab上,c'在a'b'上,c〃在a〃
b〃上。
如果已知直线AB上C点的一个投影c',可按图3.18(b)所示方法作出c和c〃。
⒉从属于直线的点分割线段长度之比,在投影图上保持不变。
(a)(b)
图2.18直线上点的投影
如图2.18所示,点C将线段AB分为AC、CB两段,则AC∶CB=ac∶cb=a'c'∶c'b'=a〃c〃∶c〃b〃。
例已知侧平线AB的两投影a'b'和ab,以及AB上点C的V面投影c',求作H面投影c,如图2.19(a)所示。
(a)(b)(c)
图2.19求作侧平线上点C的水平投影
分析
由于直线AB是侧平线,因此由c'不能直接作出c,但根据点在直线上的投影性质,c〃必定在a〃b〃上,如图2.19(b)所示。
作图
⑴作出AB的W面投影a〃b〃,同时求出C点的W面投影c〃。
⑵根据点的投影规律,由c'、c〃求作c,如图2.19(c)所示。
2.3.5一般位置直线的实长及倾角——直角三角形法
一般位置直线的投影不反映实长及其对投影面的真实倾角。
为了求得其实长及其对投影面的真实倾角,现介绍一种图解方法——直角三角形法。
如图2.3-6(a)所示,AB为一般位置直线,图2.3-6(b)为利用一般位置直线AB的水平投影a′b′求实长及与其对H面真实倾角α的空间模型。
自点A作AC∥ab,则△ABC为直角三角形。
在这个直角三角形中:
斜边AB=直线的实长
∠BAC=直线AB对H面的真实倾角α
一个直角边AC=ab
另一直角边BC=zB-zA(两点到H面的距离差)
由此可见,直线段AB的实长和对投影面的真实倾角均可利用直角三角形△ABC求出。
所以称此法为直角三角形法。
其作图步骤为:
(1)过水平投影b或a作ab的垂线bT。
(2)在bT上量取bBO=△z,则aBO即为AB实长,∠baBO即为直线AB对H面的真实倾角α。
应该特别注意的是,在求直线对某投影面的倾角时,所作直角三角形必须以直线在该投影面的投影为一直角边,如图所示。
(a)求对H的倾角α
(b)求对V的倾角β
(c)求对W的倾角γ
图2.3-7求直线对某投影面的倾角
2.3-5直线的迹点
直线与投影面的交点称为该直线的迹点。
它是属于直线的特殊点。
在三投影面体系中,一般位置的直线倾斜于三个投影面,所以有三个迹点。
直线与H面的交点称为水平迹点,常以M标记;与V面的交点称为正面迹点,常以N标记;与W面的交点称为侧面迹点,常以S标记
按照迹点的定义,就可从直线的投影图确定直线的各个迹点。
如图3-13所示,由于点M属于H面,故z坐标为零,即m'必在OX轴上;又由于点M属于直线AB,故m'必在a'b'上,m在ab上。
因此,求直线AB的水平迹点M的作图过程为:
1.?
延长直线AB的正面投影a'b'与OX轴相交于m'。
2.?
自m'引OX轴的垂线,与直线的水平投影ab的延长线相交,即确定m的位置。
同理,求正面迹点N的作图过程为:
1.延长直线AB的水平投影ab与OX轴相交于n。
2.自n引OX轴的垂线,与直线的正面投影a'b'的延长线相交,即确定n'的位置。
2.3.6两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种:
平行、相交和交叉(异面)。
(一)两直线平行
若空间两直线平行,则其同名投影必平行。
反之,若空间两直线的各组同名投影平行,则该两直线必平行。
如图所示,AB∥CD,则ab∥cd,a′b′∥c′d′,a″b″∥c″d″。
一般情况下,判断两直线是否平行,只需检查两面投影即可判定,但若二直线为某投影面平行线,则需视其在所平行的投影面上的投影是否平行而判定。
(二)两直线相交
若空间两直线相交,则其同名投影必相交,且交点的投影符合点的投影规律,反之亦然。
如图2.3-12所示,直线AB、CD相交于K,由于点K是两直线的共有点,因此,两直线水平投影ab与cd,正面投影a′b′与c′d′应分别相交于k,k′,且kk′⊥OX。
判断两直线是否相交,在一般情况下,只需判断两面同名投影相交,且交点符合点的投影规律即可,但如果两直线中有一条直线是投影面的平行线,则需进一步判断。
(三)两直线交叉
既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。
在投影图上,若两直线的各同名投影既不具有平行两直线的投影性质,又不具有相交两直线的投影性质,即可判定为交叉两直线。
交叉两直线可能有一个或两个投影平行,但不会有三个同名投影平行。
交叉两直线的同名投影也可能会相交,但它们的交点不符合点的投影规律,交点实际上是两直线上对投影面的一对重影点的投影。
如图2.3-14所示,直线AB和CD的水平投影的交点是直线CD上的点Ⅳ和AB上的点Ⅲ(对H面的重影点)的水平投影,直线AB和CD的正面投影的交点是直线AB上的点Ⅰ和CD上的点Ⅱ(对V面的重影点)的正面投影。
2.3-7直角投影定理
当互相垂直的两直线同时平行于同一投影面时,在该投影面的投影仍为直角。
当互相垂直的两直线都不平行于投影面时,投影不是直角。
除以上两种情况外,这里将要讨论的情况,作图时是经常遇到的,它是处理一般垂直问题的基础。
定理I:
垂直相交(或交叉)的两直线,其中有一条直线平行于一投影面时,则两直线在该投影面的投影仍反映直角。
证明如下:
设相交两直线AB⊥AC,且AB∥H面,AC不平行H面。
显然,直线AB垂直于平面AacC(因AB⊥Aa,AB⊥AC)。
今ab∥AB,则ab⊥平面AacC,因此ab⊥ac,亦即∠bac=90°。
它们的投影图,其中a'b'∥OX轴(AB为水平线),∠bac=90°。
定理II(逆):
相交两直线在同一投影面的投影成直角,且有一条直线平行于该投影面,则空间两直线的夹角必是直角
右图中,∠DEF的
正面投影∠d'e'f'=90°
,又de∥OX轴,即
DE为正平线。
根据
定理II,∠DEF必为直角
例已知定点A及正平线CD。
试过点A作直线与已知直线CD垂直相交。
作业:
《机械制图习题集》P8——12
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2012年10月日第周
课题:
2.4平面的投影课次:
6
教学方法:
讲授法,演示法教具:
尺,规
教学目的:
掌握平面的投影特性
了解平面内的点和直线,最大斜度线
教学重点:
重点:
平面的投影特性
教学难点:
平面内的点和直线,最大斜度线
教学过程时间分配(包括组织教学:
复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业)
讲授新课:
80分钟
小结、布置作业:
10分钟
课后记:
2.4平面的投影
2.4.1投影面平行面
投影面平行面是指平行于一个投影面而与另外两个投影面垂直的平面。
它有三种:
水平面(//H面)、正平面(//V面)、侧平面(//W面)。
它们的投影特性如表2.3所示。
投影面平行面的投影特性:
1.平面在所平行的投影面上的投影表达实形;
2.其余投影均为直线,有积聚性,且平行于相应的投影轴。
2.4.2投影面垂直面
投影面垂直面是指垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。
按与其垂直的投影面的不同可分为:
铅垂面(H)、正垂面(V)、侧垂面(W)三种,它们的投影特性如表2.4所示。
投影面垂直面的投影特性:
1.在所垂直的投影面上的投影,为倾斜于相应投影轴的直线,有积聚性,它和相应投影轴的夹角,即平面对相应投影面的倾角。
2.平面多边形的其余投影均为类似形。
2.4.3一般位置平面
与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面,如图2.20所示,△ABC与三个投影面都倾斜,所以它的三个投影都不反映实形,但具有类似性。
例2.5分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置,如图2.21。
(a)(b)(c)
图2.22分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置
⑴底面ABCV面和W面投影分别积聚为平行于OX轴和OYW轴的直线段,可确定底面ABC是水平面,水平投影反映实形,如图2.21(a)。
⑵棱面SAB三个投影sab、s'a'b'、s〃a〃b〃都没有积聚性,均为棱面SAB的类似形,可判定棱面SAB是一般位置平面,如图2.21(b)。
⑶棱面SAC从W面投影中的重影点a〃(c〃)可知,棱面SAC的一边AC是侧垂线。
根据几何定理,一个平面上的任一直线垂直于另一平面,则两平面互相垂直。
因此,可判定棱面SAC是侧垂面,W面投影积聚成一直线,如图2.21(c)
3.4.4平面内的点和线
1.平面内的点
点在平面内时,该点必在平面内的一已知直线上。
因此,在平面内找点时,一般要在平面内作辅助线,然后在所作直线上取点。
例已知△ABC平面内点K的正面投影k,求水平投影k,如图2.22(a)。
作图过K点可作任意直线,一般为了作图简便,往往可过平面上已知点作直线,如图2.22(b)所示,可过k作ad,则点K的水平投影必在AD的水平投影上,即求出K点的水平投影k。
(a)(b)
图2.22求作一般位置平面上点的投影
2.平面内的线
直线在平面内的几何条件如下:
⑴直线通过平面内的已知两点;
⑵直线含平面内的已知点,又平行于平面内的一已知直线。
例2.7判断点D是否在△ABC确定的平面内,如图2.24所示。
分析
如果点D在平面内,则与平面内的任意点的连线应满足直线在平面内的几何条件。
作图
⑴连ad,交bc于l点。
⑵连a1并延长,不和dd交于d点,可见1不在AD的水平投影上,所以D不在平面内。
(a)(b)
图2.24判断点D是否在平面内
3.最大斜度线的定义
属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线,称为该平面的最大斜度线。
它是属于并垂直于该平面的投影面平行线的直线。
平面上垂直于水平线的直线,称为对水平投影面的最大斜度线。
平面上垂直于正平线的直线,称为对正立投影面的最大斜度线。
平面上垂直于侧平线的直线,称为对侧立投影面的最大斜度线。
作业:
《机械制图习题集》P13——14
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课题:
2.5直线与平面、平面与平面的相对位置课次:
教学方法:
讲授法,演示法教具:
尺,规
教学目的:
掌握直线与平面、平面与平面的相对位置
教学重点:
重点:
直线与平面、平面与平面的相对位置
教学难点直线与平面、平面与平面的相对位置
教学过程时间分配(包括组织教学:
复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业)
讲授新课:
80分钟
小结、布置作业:
10分钟
课后记:
2.5直线与平面的相对位置·两平面的相对位置
直线与平面之间和两平面之
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