高中教案模板.doc
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学科教案
章节
第二章第4节
课时数
2
主备人
课题
平面向量的数量级
第几课时
1
讲课时间
45分钟
课的类型
新授课
教学方法
观察分析、类比归纳
教具
三角板、投影仪
教学目标
知识与技能:
(1)通过物理中“功”等实例理解平面向量数量积的含义和物理意义
(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系
(3)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
(4)了解平面向量的数量积可以处理长度、角度和垂直的问题。
过程与方法:
(1)通过物理中“功”等实例引出向量数量积的概念
(2)运用几何直观引导学生理解定义的实质
(3)进一步结合具体例题,加强对数量积性质的运用
情感、态度与价值观:
对本课采用探究性学习,初步尝试数学研究的过程,
的能力,有助于发展我们的创新意识。
学情分析
学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及线性运算,具备了功等物理知识,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接受的,因而本节课教学的难点在于数量积的概念。
教学重点
平面向量的数量积定义、性质的理解和应用
教学难点
平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用
教学过程设计(内含学法指导内容)
教学内容
教师活动
学生活动
二次备课
1、向量的概念及加减、数乘运算。
2、向量的夹角的定义。
已知两个非零向量,作,,则∠AOB=θ()叫做向量的夹角
当时同向;
当时垂直,记为;
当时反向
一、情境引入
我们学习过功的概念,一个物体在力的作用下产生位移(如图)
则力所做的功W可用下式计算
W=,其中夹角
三、讲授新课
(一)平面向量数量积的定义
已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做的数量积(或內积),记做,即=。
规定:
零向量与任一向量的数量积为0,即。
注:
①中间的“”不可省略,也不可用“×”代替;
②数量积的结果是一个数量,而不是向量。
θ为锐角时,﹥0;
θ为直角时,=0,反之亦成立;
θ为钝角时,﹤0.
分析定义:
投影的概念:
叫做向量上面的投影。
的几何意义:
等于与在方向上的投影的乘积。
(二)、例题讲解
例1:
已知=5,=4,的夹角
θ=,求。
解:
==5×4×cos
=5×4×()=-10
变式一:
已知等边三角形ABC的边长为2,求
解:
平移,则的夹角为
θ=
∴=
=2×2×cos=-2
变式二:
设=12,=9,=-,求的夹角。
解:
∵=
∴12×9×=-
∴==-
∴θ=
(三)探究:
向量数量积的性质
(1)(判断两向量垂直的依据)
(2)当同向时,=;
当反向时,=;
,,;
(3)≤
(4)=。
总结如何求向量的模
(四)数量积的运算律
(1)=
(2)==
(3)=+
其中、、是任意三个向量,。
注:
为数,方向与相同,
为数,方向与相同。
例2:
求证:
(1)=
(2)=
证明:
(1)=
=
=
例3:
已知=6,=4,的夹角θ=,求
(1)
(2)
解:
(1)
=
=
=
=-72
(2)
=
=
=
=44
例4:
已知=3,=4,判断向量与的位置关系。
解:
=
==0
∴互相垂直。
变式一:
若不共线,则k为何值时,向量与互相垂直?
解:
若与垂直,则有
=0
∴=0即
∴
∴k=
∴k=时,与互相垂直。
变式三:
若向量与互相垂直,且,求。
解:
∵=0
∴
∴
五、课堂练习
思考:
已知=6,=4,的夹角为θ=,求和。
解:
∵=
=
=
=76
∴
同理:
=
=
=
变式:
已知=4,=3,=6,求的夹角的余弦值。
解:
设的夹角为θ,
∵=6
∴
∴
∴
∴
∴
六、课堂小结
夹角的范围:
数量积:
=
性质:
,
运算律:
(1)(交换律)
(2)
(3)=+(分配律)
教师提问
出示投影
强调:
求向量的夹角,应保证两个向量有公共起点,若没有,须平移
提问学生
引导学生观察并发现,为向量,W为标量,为夹角
从力所做的功出发,我们引入“数量积”的概念
思考1:
向量的数量积与向量加减法及数乘运算的区别是什么?
思考2:
既然向量的数量积是一个数量,那么它的正负由谁决定呢?
定义中的
那一部分长度?
如果没有该如何作出,
思考:
方向上的投影该如何作出
教师提问
教师引导提示,夹角须起点相同,若不同,须平移
公式的运用及θ的范围
教师巡视并给予指导
教师板书
引导学生回答
、如何求
带领学生简单口述,
验证
(1),
(2)
第(3)个学生感兴趣自己证明。
思考:
教师提问
提醒学生不可落掉“·”
口头叙述证明
(2)
教师提问
教师巡视,指出不规范之处。
教师提问
教师巡视
教师提问
引导学生回忆探究过的性质,并进一步做答。
教师提示
教师板书
教师引导回忆
学生回答
学生回忆功的概念及计算公式
学生回答
学生回忆夹角定义,得出结论
学生分析
=从向量的终点往做垂线。
学生回答
学生板书
学生思考并尝试
学生板书
学生分三组讨论
一组
(1)、
(2)
二组(3)
三组(4)
派代表回答
学生二次回忆,有学生说,老师板书
学生分析回答不等
学生板书
(1)
学生板书
集体回答
学生板书
学生思考
学生回答
两名学生板书
学生思考
学生集体回答
学生集体回答
作业布置
书:
P108:
1-4、7、8
板书设计
平面向量的数量积
一、数量积四、性质探究例1变式六、大课堂小结
=
(1)例2变式
二、投影
(2)例3变式
三、几何意义(3)例4变式
(4)
五、运算律七、作业布置
教学反馈
1、目标达成情况:
2、满意之处:
3、不足之处及改进措施:
- 配套讲稿:
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