直线平面平行的判定及性质.docx
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直线平面平行的判定及性质
直线、平面平行的判定及性质
1.[2015·福州质检]已知m、n、l为三条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
B.l∥β,α∥β⇒l∥α
C.m∥α,m∥n⇒n∥α
D.α∥β,l∥α且l⊄β⇒l∥β
答案 D
解析 对于选项A,m、n可能平行或异面;对于选项B,还可能出现l⊂α这种情形;对于选项C,还可能出现n⊂α这种情形.
由α∥β,l∥α可得l∥β或l⊂β,又知l⊄β,
所以只有l∥β.故选项D正确.故选D.
2.[2016·武汉调研]已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,则n∥α
D.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
答案 D
解析 选项A中α和β也可能相交,选项B中α和β也可能相交,选项C中也可能n⊂α,只有选项D是正确的.
3.[2016·潍坊模拟]已知m,n,l1,l2表示直线,α,β表示平面.若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是( )
A.m∥β且l1∥αB.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2D.m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行”可得,由选项D可推知α∥β,因此选D.
4.[2016·江西盟校联考]设l表示直线,α,β表示平面.给出四个结论:
①如果l∥α,则α内有无数条直线与l平行;
②如果l∥α,则α内任意的直线与l平行;
③如果α∥β,则α内任意的直线与β平行;
④如果α∥β,对于α内的一条确定的直线a,在β内仅有唯一的直线与a平行.
以上四个结论中,正确结论的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 C
解析 ②中α内的直线与l可异面,④中可有无数条.
5.[2015·南开模拟]下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案 C
解析 若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面内不共线且在平面同侧的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面,两平面可以平行,也可以相交,故D错;故选项C正确.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,若A1M=AN=
,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.垂直D.不能确定
答案 B
解析 连接CD1,在CD1上取点P,使D1P=
,∴MP∥BC,PN∥AD1.
∴MP∥面BB1C1C,PN∥面AA1D1D.
∴面MNP∥面BB1C1C,∴MN∥面BB1C1C.
7.[2015·郑州模拟]设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有( )
A.①或②B.②或③
C.①或③D.①或②或③
答案 C
解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.
8.[2016·济宁模拟]过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
答案 6
解析 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
9.[2016·南京模拟]已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题:
①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β;
②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;
③若α∥β,l∥α,则l∥β;
④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.
其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号).
答案 ②④
解析 当l∥m时,平面α与平面β不一定平行,①错误;由直线与平面平行的性质定理,知②正确;若α∥β,l∥α,则l⊂β或l∥β,③错误;∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α,又α∥β,∴m⊥β,④正确,故填②④.
10.如图,已知矩形ABCD,ED⊥平面ABCD,EF∥DC,EF=DE=AD=
AB=2,O为BD的中点.求证:
EO∥平面BCF.
证明 证法一:
如图,在矩形ABCD中,取BC的中点G,连接FG,OG.
由O为BD的中点,知OG∥DC,OG=
DC,又EF∥DC,EF=
AB=
DC,所以OG∥EF且OG=EF,所以四边形OGFE是平行四边形.
所以EO∥FG.又FG⊂平面BCF,所以EO∥平面BCF.
证法二:
如图,过点O作BC的平行线分别交AB,CD于点M,N,连接EM,EN.因为O为BD的中点,则M,N分别为AB,CD的中点.又EF=
AB,所以EF綊BM綊CN.故四边形EFBM与四边形EFCN均为平行四边形.所以EM∥FB,EN∥FC,所以平面EMN∥平面BCF.
又EO⊂平面EMN,所以EO∥平面BCF.
11.如图所示,点P为▱ABCD所在平面外一点,点M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:
BC∥l;
(2)MN与平面PAD是否平行?
证明你的结论.
解
(1)证明:
因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD.
又因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,BC⊂平面PBC,
所以BC∥l.
(2)MN∥平面PAD.
证明如下:
如图所示,取PD的中点E,连接NE,AE,则NE∥CD,NE=
CD.
而CD綊AB,M为AB的中点,
所以NE∥AM,NE=AM,所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE.
又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.
(1)求证:
直线AF∥平面PEC;
(2)求三棱锥P-BEF的表面积.
解
(1)证明:
作FM∥CD交PC于M,连接ME.
∵点F为PD的中点,
∴FM綊
CD,
又AE綊
CD,
∴AE綊FM,∴四边形AEMF为平行四边形,∴AF∥EM,
∵AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,
∴直线AF∥平面PEC.
(2)连接ED,BD,可知ED⊥AB,
⇒AB⊥PE,AB⊥FE,
故S△PEF=
PF·ED=
×
×
=
;
S△PBF=
PF·BD=
×
×1=
;
S△PBE=
PE·BE=
×
×
=
;
S△BEF=
EF·EB=
×1×
=
.
因此三棱锥P-BEF的表面积SP-BEF=S△PEF+S△PBF+S△PBE+S△BEF=
.
[B级 知能提升](时间:
20分钟)
1.有互不相同的直线m,n,l和平面α,β,给出下列四个命题:
①若m⊂α,l∩α=A,A∉m,则l与m不共面;
②若m,l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;
③若m,n是相交直线,m⊂α,m∥β,n⊂α,n∥β,则α∥β;
④若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m.
其中真命题有( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
答案 B
解析 由异面直线的判定定理,易知①是真命题;由线面平行的性质知,存在直线l′⊂α,m′⊂α,使得l∥l′,m∥m′,∵m,l是异面直线,∴l′与m′是相交直线,又n⊥l,n⊥m,∴n⊥l′,n⊥m′,故n⊥α,②是真命题;由线面平行的性质和判定知③是真命题;满足条件l∥α,m∥β,α∥β的直线m,l或相交或平行或异面,故④是假命题,于是选B.
2.[2016·温州一测]如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是________.
①|BM|是定值;
②点M在圆上运动;
③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;
④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.
答案 ①②④
解析 取DC中点N,连接MN,NB,则MN∥A1D,NB∥DE,
∴平面MNB∥平面A1DE,
∵MB⊂平面MNB,
∴MB∥平面A1DE,④正确;
∠A1DE=∠MNB,MN=
A1D=定值,NB=DE=定值,根据余弦定理得,MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos∠MNB,所以MB是定值.①正确;
B是定点,所以M是在以B为圆心,MB为半径的圆上,②正确;
当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在,其他情况不存在,③不正确.所以①②④正确.
3.如图,在底面是正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=2,D是BC的中点.
(1)求证:
A1C∥平面AB1D;
(2)求点A1到平面AB1D的距离.
解
(1)证明:
连接A1B,交AB1于点O,连接OD.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴四边形ABB1A1是平行四边形,
∴O是A1B的中点.
又D是BC的中点,∴OD∥A1C,
∵OD⊂平面AB1D,A1C⊄平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)由
(1)知,O是A1B的中点,
∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,
∴平面BCC1B1⊥平面ABC,
∵△ABC是正三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴AD⊥平面BCC1B1,
∴AD⊥B1D,
设点B到平面AB1D的距离为d,∵VB1-ABD=VB-AB1D,
∴S△ABD·BB1=S△AB1D·d,
∴d=
=
=
=
,∴点A1到平面AB1D的距离为
.
4.[2015·成都调研]一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M是AB的中点,G是DF上的一动点.
(1)求该多面体的体积与表面积;
(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.
解
(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为
a3,表面积为
a2×2+
a2+a2+a2=(3+
)a2.
(2)点P与点A重合时,GP∥平面FMC.
如图,取FC的中点H,连接GH,GA,MH.
∵G是DF的中点,∴GH綊
CD.
又M是AB的中点,∴AM綊
CD.
∴GH∥AM且GH=AM,
∴四边形GHMA是平行四边形,
∴GA∥MH.
又∵MH⊂平面FMC,GA⊄平面FMC,
∴GA∥平面FMC,
即当点P与点A重合时,GP∥平面FMC.
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