整理高二数学函数的极值与导数测试题.docx
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整理高二数学函数的极值与导数测试题
选修2-21.3.2函数的极值与导数
一、选择题
1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中,正确的是( )
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极小值
C.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值
D.如果在点x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点,故A错;由极值的定义可知C正确,故应选C.
2.函数y=1+3x-x3有( )
A.极小值-2,极大值2
B.极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值1
D.极小值-1,极大值3
[答案] D
[解析] y′=3-3x2=3(1-x)(1+x)
令y′=0,解得x1=-1,x2=1
当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数,
当-1
当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数,
∴当x=-1时,函数有极小值,y极小=-1.
当x=1时,函数有极大值,y极大=3.
3.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是( )
A.必有f′(x0)=0
B.f′(x0)不存在
C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在
D.f′(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如:
y=|x|,在x=0时取得极小值,但f′(0)不存在.
4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.
5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2);
④f(0)=0是极大值,f
(2)=-4是极小值.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
[答案] B
[解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)>0,得x>2或x<0,令f′(x)<0,得0 6.函数f(x)=x+ 的极值情况是( ) A.当x=1时,极小值为2,但无极大值 B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值 C.当x=-1时,极小值为-2;当x=1时,极大值为2 D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2 [答案] D [解析] f′(x)=1- ,令f′(x)=0,得x=±1, 函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, ∴当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2. 7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 [答案] A [解析] 由f′(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 8.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是( ) A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D [解析] ∵y′=1- (x2+1)′ =1- = 令y′=0得x=1,当x>1时,y′>0, 当x<1时,y′>0, ∴函数无极值,故应选D. 9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是( ) A.极大值为 ,极小值为0 B.极大值为0,极小值为 C.极大值为0,极小值为- D.极大值为- ,极小值为0 [答案] A [解析] 由题意得,f (1)=0,∴p+q=1① f′ (1)=0,∴2p+q=3② 由①②得p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1 =(3x-1)(x-1), 令f′(x)=0,得x= 或x=1,极大值f = ,极小值f (1)=0. 10.下列函数中,x=0是极值点的是( ) A.y=-x3B.y=cos2x C.y=tanx-xD.y= [答案] B [解析] y=cos2x= ,y′=-sin2x, x=0是y′=0的根且在x=0附近,y′左正右负, ∴x=0是函数的极大值点. 二、填空题 11.函数y= 的极大值为______,极小值为______. [答案] 1-1 [解析] y′= , 令y′>0得-1 ∴当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1. 12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+4 a-4 [解析] y′=3x2-6=3(x+ )(x- ), 令y′>0,得x> 或x<- , 令y′<0,得- , ∴当x=- 时取极大值a+4 , 当x= 时取极小值a-4 . 13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=______,b=________. [答案] -3-9 [解析] y′=3x2+2ax+b,方程y′=0有根-1及3,由韦达定理应有 14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________. [答案] (-2,2) [解析] 令f′(x)=3x2-3=0得x=±1, 可得极大值为f(-1)=2,极小值为f (1)=-2, y=f(x)的大致图象如图
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