高考数学总复习直通车课件计数原理.ppt
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数学直通车数学直通车-计数原理计数原理知识体系知识体系第一节第一节两个基本计数原理两个基本计数原理基础梳理基础梳理1.分类加法计数原理(加法原理)完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.典例分析典例分析题型一题型一分类加法计数原理和分步乘法计数原理的简单应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的简单应用【例1】甲同学有若干本课外参考书,其中有5本不同的数学书,4本不同的物理书,3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借书,试问:
(1)若借一本书,则有多少种不同的借法?
(2)若每科各借一本,则有多少种不同的借法?
(3)若借两本不同学科的书,则有多少种不同的借法?
分析仔细区分是“分类”还是“分步”.解
(1)因为需完成的事情是“借一本书”,所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本,都可以完成这件事情.故用分类加法计数原理,共有5+4+3=12(种)不同的借法.
(2)需完成的事情是“每科各借一本书”,意味着要借给乙3本书,只有从数学、物理、化学三科中各借一本,才能完成这件事情.故用分步乘法计数原理,共有543=60(种)不同的借法.(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”,要分三种情况:
借一本数学书和一本物理书,只有两本书都借,事情才能完成.由分步乘法计数原理知,有54=20(种)借法;借一本数学书和一本化学书,同理由分步乘法计数原理知,有53=15(种)借法;借一本物理书和一本化学书,同理由分步乘法计数原理知,有43=12(种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情,由分类加法计数原理知,共有20+15+12=47(种)不同的借法.学后反思正确区分和使用两个原理是学好本章的关键.区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成.若能“一次性”完成,则不需“分步”,只需分类;否则就分步处理.举一反三举一反三1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种解析:
5位同学中,每位同学均有2种报名方法,所以由分步乘法计数原理得,报名方法共有=32(种).答案:
D题型二题型二两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【例2】(12分)现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
分析
(1)是从四个班的34人中选一人,应分类求解;
(2)从各班中选一人,共选4人,应分步求解;(3)是先根据不同班级分类,再分步从两个班级中各选1人.解
(1)分四类,第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.所以,不同的选法共有N=7+8+9+10=34(种)3
(2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以,不同的选法共有N=78910=5040(种)6(3)分六类,每类又分两步,从一班、二班学生中各选1人,有78种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法.10所以,不同的选法共有N=78+79+710+89+810+910=431(种).12学后反思对于复杂问题,不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时,可以综合应用两个原理,可以先分类,在某一类中再分步;也可先分步,在某一步中再分类.举一反三举一反三2.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定:
凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为()A.2000B.4006C.5904D.8320解析:
10000个号码中不含4、7的有=4096(个),故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904.答案:
C【例3】(2009沈阳模拟)一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有()A.24种B.36种C.48种D.72种分析首先根据第一道工序将问题分为两类,对两类问题分别求解,再由分步计数原理求解.解依题意知,若第一道工序由甲来完成,则第四道工序必由丙来完成,故完成方案共有43=12(种);若第一道工序由乙来完成,则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成,故完成方案共有1243=24(种).所以不同的安排方案共有12+24=36(种).学后反思有些较复杂的问题,既要“分类”又要“分步”,应明确按标准“分类”、“分步”,不同的标准可以有不同的解法,解题时应择优而行.举一反三举一反三3.(2008重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A、B、C、上各装一个灯泡.要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种(用数字作答).解析:
处4种,处3种,处2种,则底面共432=24(种).根据点A和点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:
(1)若A,相同,则B处有3种,C处有1种,则共有3种;
(2)若A,不同,则A处有3种,B处有2种,C处有1种,则共有32=6(种).由分类计数原理得上底面共9种,再由分步计数原理得共有249=216(种).答案:
216易错警示易错警示【例1】植树节那天,四位同学植树,现有三棵不同的树,则不同的植法结果为()A.3!
B.4!
C.D.错解C错解分析在利用分步计数原理解决此题时,不少同学搞错了事件的主体,这里应该是把树植完,对植的树分步,而不是对人分步.有很多同学分四步,即得3333=(种),错选C.正解完成这件事分三步,即第一步植第一棵树,共4种不同的方法;第二步,植第二棵树,共4种不同的方法;第三步,植第三棵树,共4种不同的方法.由分步计数原理得N=444=(种).故选D.【例2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况种数为()A.B.C.D.错解把4个冠军排在甲、乙、丙三个位置上,故选A.错解分析错解是没有理解乘法原理的概念,盲目地套用公式.正解4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有3种选取方法,由乘法原理共有3333=(种).故选C.说明:
本题还有这样的错解,甲、乙、丙夺冠均有4种情况,由乘法原理得.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后,其他人就不再有4种夺冠可能.考点演练考点演练10.某公共汽车上有10名乘客,要求在沿途的5个车站全部下完,乘客下车的可能方式有种.解析:
由题意易知每名乘客都有5种不同的下法,依据乘法计数原理共有(种).答案:
11.(改编题)由1,2,3,4可以组成多少个自然数?
(数字可以重复,最多只能是四位)解析:
组成的自然数可分以下四类:
第一类:
组成一位自然数共有4个;第二类:
组成二位自然数,可分两步来完成,先取十位上的数字,再取出个位上的数字,共有44=16(个);第三类:
组成三位自然数,可分三步来完成,先取百位,再取十位,最后取个位,共有444=64(个);第四类:
组成四位自然数,方法同上,共有4444=256(个).由分类计数原理可组成的不同自然数的个数为4+16+64+256=340.12.用5种不同的颜色给图中4个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?
解析:
第一类:
1号区域与3号区域同色时,有541480(种)涂法;第二类:
1号区域与3号区域异色时,有5433180(种)涂法.依据分类加法计数原理知不同的涂色方法有80180260(种).第二节第二节排列组合排列组合基础梳理基础梳理排列与排列数组合与组合数定义1.排列的概念:
从n个不同元素中取出m(mn)个元素,,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.排列数的概念:
从n个不同元素中取出m(mn)个元素的叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.1.组合的概念:
一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数的概念:
从n个不同元素中取出m(mn)个元素的,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.公式排列数公式:
组合数公式:
性质
(1)0!
=1;
(2)=.
(1)规定:
备注m,nN*,mn.n(n-1)21典例分析典例分析题型一题型一基本排列问题基本排列问题【例1】从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_种(用数字作答).分析先选甲、乙以外的人担任文娱委员,然后再选其他委员.解先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,3=343=36(种).学后反思解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题,主要方法是将这些特殊元素排在其他位置,或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.举一反三举一反三1.(2008全国)如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块地里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为()A.96B.84C.60D.48解析:
分三类:
种两种花有种种法;种三种花有2种种法;种四种花有种种法.故共有+2+=84(种).答案:
B题型二题型二有限制条件的排列有限制条件的排列【例2】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有()A.1440种B.960种C.720种D.480种分析解决本题的关键是将2位老人相邻捆绑,作为一个特殊元素排列.解5名志愿者先排成一排,有种方法,2位老人作为一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有24=960(种)不同的排法.学后反思解决要求几个元素相邻的问题,一般是将这几个元素进行捆绑看成一个“元素”参与排列,然后这个“元素”的内部再进行排列.举一反三举一反三2.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有()A.40种B.60种C.100种D.120种解析:
星期五有2人参加,则从5人中选2人的组合数为,星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列,有种,则共有=60(种).答案:
B题型三题型三基本组合问题基本组合问题【例3】(12分)男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.分析
(1)分步.
(2)可分类也可用间接法.(3)可分类也可用间接法.(4)分类.解
(1)第一步:
选3名男运动员,有种选法.第二步:
选2名女运动员,有种选法.共有=120(种)选法3
(2)方法一:
“至少有1名女运动员”包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为.6方法二:
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