第四章_洛朗级数.ppt
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第三节洛朗级数,换句话说,如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.,从第二节,我们知道:
泰勒级数。
问:
问题:
(1)上式中的级数不同于第一节的幂级数(因为:
含有负幂项)这样一类级数有怎样的性质?
(2)上面的等式成立的范围?
仍是一个圆域么?
因为,?
3.1洛朗级数及其收敛圆环,形如,注:
与幂级数的区别:
多了关于的负幂项。
幂级数可看作洛朗级数的特殊情况。
解析部分,主要部分,对于
(1):
对于
(2):
洛朗级数在收敛圆环域内对应的和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.,定理3.1,洛朗级数,的和函数等于级数
(1),
(2)的和函数之和。
定义:
例:
的收敛圆环与和函数。
求洛朗级数,解:
洛朗级数可表示为,对于级数,级数变为,和函数:
所以,级数,即,和函数:
对于级数,即,和函数:
所以,洛朗级数的,和函数:
现在反问,在指定圆环域内解析的函数是否一定能够展开成洛朗级数?
3.2洛朗展开定理,C,注:
(1)一般地,洛朗级数中的系数不能利用高阶导数公式P40,公式(3.12)-表示.,C,
(2)唯一性,
(一)直接展开法,
(二)间接展开法,计算步骤:
解:
所求洛朗级数的形式:
由于,例3.2,解:
洛朗级数形式为:
(根据例题1.2的结论),所以,,?
所以,,?
所以,,解:
符合所求洛朗级数的形式,等式两端求导,得,?
所以,,所以,,两端求导,得,?
洛朗级数的应用:
离散信号:
等式成立的范围:
洛朗级数,-2-1012,(作用:
将差分方程转化为代数方程,简化计算),小结,1.了解定理3.2的结论,2.熟练掌握:
练习题,
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