流体力学习题及答案-第三章.doc
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第三章流体运动学
3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数?
答:
对于粘性流体定常平面流动,连续方程为:
;
存在函数:
和,
并且满足条件:
。
因此,存在流函数,且为:
。
3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?
答:
如果流体为不可压缩流体,流动为无旋流动,那么流函数为调和函数,满足拉普拉斯方程。
3-3就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。
(1)
(2),其中m,K为常数。
答:
(1)流场的加速度表达式为:
。
由速度分布,可以计算得到:
,因此:
,;
,。
代入到加速度表达式中:
(2)由速度分布函数可以得到:
,;
,。
代入到加速度表达式中:
3-4已知欧拉参数表示的速度场分布为,,试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。
已知时,。
答:
(1)流体质点的轨迹方程为:
,
将速度分布带入,得到:
两个方程除了自变量之外,完全一致,只需要解一个即可。
将第一个方程改写为:
该方程为一阶非齐次常微分方程,非齐次项为。
先求齐次方程的通解,齐次方程为:
,即;
两端同时积分得到:
,。
(2)令非齐次方程的特解为:
,
对其两端求导得到:
;
将上述和代入到原非齐次方程中,有:
。
整理得到:
,
两端同时积分:
代入到特解中得到:
。
(3)将初始条件时代入上式,得到:
,
因此:
,
同理可得:
。
轨迹方程为:
。
(4)用拉格朗日法表达的速度为:
。
3-5绘出下列流函数所表示的流动图形(标明流动方向),计算其速度、加速度,并求势函数,绘出等势线。
(1);
(2);(3);(4)。
答:
(1)
①流动图形:
流线方程为,流线和流动方向如图中实线所示;
②速度:
,,
,流场为均匀流动;
③加速度:
;
④求速度势函数:
由于平均旋转角速度:
,因此流场为无旋流场,势函数存在:
;
⑤等势线:
等势线如图中虚线所示(与流线垂直)。
(2)
①流动图形:
流线方程为,流线和流动方向如图中实线所示;
②速度:
,;
;
③加速度:
;
④求速度势函数:
由于平均旋转角速度,流场为无旋流场,势函数存在:
;
⑤等势线:
等势线如图中虚线所示(与流线垂直)。
(3)
①流动图形:
流线方程为,流线和流动方向如图中实线所示;
②速度:
,,
;
③加速度:
;
④求速度势函数:
由于,流场为有旋流场,势函数不存在。
(4)
①流动图形:
流线方程为,流线和流动方向如图中实线所示;
②速度:
,,
。
③加速度:
;
④求速度势函数:
,为有旋流场,势函数不存在。
3-6已知平面不可压缩流体的速度分布为
(1),;
(2),;(3),。
判断是否存在势函数和流函数,若存在,则求之。
答:
(1),
①求速度势函数:
,为有旋流动,势函数不存在。
②求流函数:
由于,满足不可压缩流体的连续方程,流函数存在:
。
(2),
①求速度势函数:
,为有旋流动,势函数不存在。
②求流函数:
由于,不满足不可压缩流体的连续方程,流函数不存在。
(3),
①求速度势函数:
,为无旋流动,势函数存在:
②求流函数:
由于,满足不可压缩流体的连续方程,流函数存在:
。
3-7已知欧拉参数表示的速度分布为,,求流体质点的轨迹。
答:
由轨迹方程,并将和代入得到:
或者写成:
两端同时积分,得到:
,即
3-8已知流场的速度分布为,,求时通过点的流线。
答:
将速度分布函数代入连续方程:
得到:
因此可知,速度分布与坐标无关,流动为二维流动。
由流函数定义式得到:
。
由于流函数为常数时表示流线,因此流线方程为:
。
将将条件:
当,、代入上式,得;因此该瞬时过的流线方程为:
。
3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为,,求时过点的流线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。
答:
(1)求流线方程:
由于,流函数存在,且为:
;
则流线方程为:
;
将条件:
当时,、代入,得;则该瞬时过将点的流线方程为:
。
(2)求加速度:
将条件:
时,、代入,得到该瞬时过将点的流体质点的加速度为:
(3)轨迹方程:
。
3-10设不可压缩流体的速度分布为
(1)
(2)。
其中a、b、c、d、e、f为常数,试求第三个速度分布。
答:
(1)将速度分布代入连续方程:
,得到:
,
两端同时积分得到:
。
(2)将速度分布代入连续方程:
,
由于:
,;
因此:
两端同时积分得到:
。
3-11有一扩大渠道,已知两壁面交角为1弧度,在两壁面相交处有一小缝,通过此缝隙流出的体积流量为(m/s),试求
(1)速度分布;
(2)时壁面上处的速度和加速度。
答:
(1)求速度分布:
设半径为处的径向速度为,周向速度为。
显然,且;其中:
,因此径向速度分布为:
;
(2)求加速度:
;
(3)当时,在处:
,。
3-12已知不可压缩平面势流的分速度为点上,试求通过及两点连线的体积流量。
答:
(1)求速度分布:
由平面不可压缩流体的连续方程,得到:
,
两端同时对积分:
;
将条件:
在点代入上式,得到:
,
因此:
。
流动的速度分布为:
,。
(2)求流函数:
。
(3)求流量:
利用流函数的性质:
流场中任意两点的流函数之差等于通过两点之间连线的体积流量。
由于:
,;因此流量为:
。
3-13设流场的速度分布为,其中为常数。
(1)求线变形速率,角变形速率,体积膨胀率;
(2)问该流场是否为无旋场?
若是无旋场求出速度势。
答:
(1)线形变速率为:
,,;
角形变速率为:
,,;
体积膨胀率为:
。
(2)求速度势:
由于平均角速度的三个分量分别为:
,,,
因此:
即流场为无旋流场,速度势函数存在,且为:
。
3-14设流场的速度分布为。
试求
(1)涡量及涡线方程;
(2)平面上通过横截面积mm2的涡通量。
答:
(1)求涡量和涡线方程:
流场的平均旋转角速度的三个分量分别为:
,
,
。
因此平均旋转角速度为:
;
则涡量为:
其三个分量分别为:
,,;
将其代入到涡线方程:
,得到:
两端同时积分得到涡线方程:
。
(2)涡通量:
将涡量在上积分,得到涡通量为:
其中:
,为平面的单位外法向量。
设,则:
,,;
平面外法向量在三个坐标轴上的分量为:
,
,
;
因此:
3-15已知流场的流线为同心圆族,速度分布为:
时,,;时,,。
试求沿圆周的速度环量,其中圆的半径分别为
(1),
(2),和(3)。
答:
(1)极坐标下的速度分布:
在半径为的圆周上,,;
当时:
,
,
;
当时:
,
;
。
(2)求速度环量:
速度环量。
其中,;分别为和方向上的单位向量。
因此:
。
当时:
,;
当时:
,;
当时:
,。
3-16设在点置有的旋涡,在点置有的旋涡,试求下列路线的速度环量:
(1),
(2),(3)的一个方形框,(4)的一个方形框。
答:
(1)
(2)
(3)
(4)
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