数列通项与求和测试题含答案.docx
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数列通项与求和测试题含答案
数列通项及求和
一.选择题:
2.已知数列{an}满足a1=1,且,且n∈N),则数列{an}的通项公式为( )A. B.C.an=n+2 D.an=(n+2)·3n
3.数列的前项和记为,,则数列的通项公式是( )
A. B. C. D.
4.数列满足,且,则= ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
6.设各项均不为0的数列满足,若,则( )
A. B.2 C. D.4
二.填空题:
8.已知数列的前项和为,,且满足,则_________.
9.若数列的前n项和,则数列的通项公式
10.如果数列满足,则=_______.
11.若数列的前项和为,则该数列的通项公式 .
12.若数列的前项和为,则该数列的通项公式 .
13.已知数列的前项和为,且,则= .
15.在数列中,=____________.
16.已知数列的前n项和,则的通项公式
17.若数列的前n项和,则 。
18.已知数列满足,,则的最小值为________.
19.已知数列的前n项和为,且,则=___.
20.已知数列中,,前n项和为,且,则=_______
三.解答题:
25.已知等差数列的前n项和
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和。
30.等差数列中,
(1)求的通项公式
(2)设,求的前n项和
40.公差不为零的等差数列中,且成等比数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的通项公式
44.已知等差数列满足:
,,的前n项和为.
(1)求及;
(2)令bn=(),求数列的前n项和.
36.已知数列的前项和为,且;数列满足,..
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)记,.求数列的前项和.
28.已知数列的前项和为,且,
(1)求数列的通项公式
(Ⅱ)数列的通项公式,求其前项和为。
29.已知等比数列的公比且成等差数列.数列的前项和为,且.
(Ⅰ)分别求出数列和数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求其前项和为。
32.设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.
求数列的通项公式;
若,求数列的前项和.
33.设数列的前项和为,点在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,求数列的前n项和.
34.已知数列的前项和和通项满足,数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,求的前项和.
38.在数列中,是与的等差中项,设,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列前项的和为,若数列满足,试求数列前项的和.
39.设数列为等差数列,且;数列的前n项和为.
数列满足为其前项和。
(I)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
27.数列满足:
,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
41.已知数列,满足条件:
,.
(I)求证数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
45.已知数列中,点在直线上,其中.
(1)求证:
为等比数列并求出的通项公式;
(2)设数列的前且,令的前项和。
46.已知各项均为证书的数列前n项和为,首项为,且是和的等差中项。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前n项和。
47.已知数列的前项和为,且,数列中,,点在直线上.
(1)求数列的通项公式和;
(2)设,求数列的前n项和,并求的最小值.
48.已知数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,数列{an}的前n项和Sn=nbn.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{cn}的前n项和Tn.
49.数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)等差数列的各项为正,其前项和记为,且,又成等比数列求.
50.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log4||,求数列{}前n项和Tn.
22.已知是数列的前n项和,且
(1)求数列的通项公式;
(2)求的值。
23.若正项数列的前项和为,首项,点()在曲线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,表示数列的前项和,求.
26.已知数列的前项和为,且满足,,N.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
31.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
数列通项及求和试卷答案
1.A
2.B∵an=an-1+()n(n≥2)∴3n•an=3n-1•an-1+1
∴3n•an-3n-1•an-1=1∵a1=1,∴31•a1=3
∴{3n•an}是以3为首项,1为公差的等差数列∴3n•an=3+(n-1)×1=n+2,∴
3.C4.B5.B
6.【答案解析】D 解析:
由知数列是以为公比的等比数列,因为,所以,所以4,故选D.
7.278.64
解析:
∵Sn=an+1+1,∴当n=1时,a1=a2+1,解得a2=2,
当n≥2时,Sn﹣1=an+1,an=an+1﹣an,化为an+1=2an,∵,
∴数列{an}是从第二项开始的等比数列,首项为2,公比为2,∴=2n﹣1.
∴an=.∴a7=26=64.故答案为:
64.
9.
10.11.12. 13.4
15.3116.
17.【答案解析】当n2时,=2n-1,当n=1时==2
所以
18.10.5略19.
试题分析:
由得时,,两式相减得而,所以
20..略
21.(Ⅰ)设数列{an}公差为d,
由题设得 解得
∴数列{an}的通项公式为:
(n∈N*).…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
…………6分
①当为偶数,即时,奇数项和偶数项各项,
∴
; ……9分
②当为奇数,即时,为偶数.
∴
.
综上:
…………………………12分
22.
23.
(1)因为点在曲线上,所以.…………1分
由得.……3分且
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列 ……4分
所以, 即 ………5分
当时, ……6分
当时,也成立 …………7分
所以, ……………8分
(2)因为,所以, ……………9分
……………12分
……14分
24.解:
(Ⅰ)由Sn=an+1﹣,得,
两式作差得:
an=an+1﹣an,即2an=an+1(n≥2),∴,
又,得a2=1,∴,
∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列,则,
;
(Ⅱ)bn=log2(2Sn+1)﹣2=,
∴cn•bn+3•bn+4=1+n(n+1)(n+2)•2bn,
即
,
,
+(2﹣1+20+…+2n﹣2)
===.
由4Tn>2n+1﹣,得,即,n>2014.
∴使4Tn>2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015.
25.
26.
(1);
(2);(3)不存在正整数,使,,成等比数列.
试题解析:
(1)解:
∵,,
∴. …………………1分
∴. …………2分
∴. ……………3分
(2)解法1:
由,得. ……………………4分
∴数列是首项为,公差为的等差数列.
∴. . ……………6分
当时, ………7分
. ……8分
而适合上式,
∴. ……………9分
解法2:
由,得,
∴. ① ……………4分
当时,,②
①②得
,
∴. …………………5分
∴. …6分
∴数列从第2项开始是以为首项,公差为的等差数列.………7分
∴. ………………8分
而适合上式,∴. ……………9分
(3)解:
由
(2)知,.
假设存在正整数,使,,成等比数列,
则. …………………10分
即. …………11分
∵为正整数,∴.得或, …12分
解得或,与为正整数矛盾. ………………13分
∴不存在正整数,使,,成等比数列.……………14分
考点:
1、等差数列的通项公式;2、等比数列的性质.
27.(Ⅰ)
又,
数列是首项为4,公比为2的等比数列. 既
所以……………………6分
(Ⅱ).由(Ⅰ)知:
令
赋值累加得,
∴……………………12分
28.
(1)时, ……1分
时, ……3分
经检验时成立, ……4分综上 5分
(2)由
(1)可知
……7分
=
……9分
==
所以 ……12分
29.(Ⅰ)解:
∵且成等差数列,∴......................1分
,,∴ ......................2分
..............3分
当时, ............4分
当时,
...................5分
当时,满足上式, ∴ ...................6分
(Ⅱ) 若,对于恒成立,即的最大值
当时,即时,
当时,即,时,
当时,即,时,
∴的最大值为,即∴的最小值为
30.
31.
(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,①∴a1=,
a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2),②
①-②得3n-1an=-=(n≥2),化简得an=(n≥2).
显然a1=也满足上式,故an=(n∈N*).
(2)由①得bn=n·3n.
于是Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,③ 3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1,④
③-④得-2Sn=3+32+33+…+3n-n·3n+1,
即
32.点在直线上……………1分
当时,……………2分两式相减得:
即……3分又当时,
…4分
是首项,公比的等比数列……………5分
的通项公式为……………6分
由知,……………7分
……………8分
……………9分
两式相减得:
……………11分
……………13分
数列的前项和为……………14分
33.
34.
(1)由,得
当时,
即(由题意可知)
是公比为的等比数列,而
,
由,得
(2),设,则
由错位相减,化简得:
(12分)
35.(Ⅰ)当时,则
,
36.(Ⅰ)∵当时,②
①②得,().
∵当时,,且.
∴数列是以为首项,公比为的等比数列,
∴数列的通项公式为.…………………………………4分
又由题意知,,,即
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴数列的通项公式为.………………………2分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,……………………………………………………1分
∴
③
④
由③④得
………………1分
∴………………………………………1分
∴即
∴
∴数列的前项和………………………………3分
37.
(1)由条件,; ………………. 6分
(2),∵.………… 12分
38.
(1)
(2)
数列是以公比为2的等比数列
又是与的等差中项,
即
(2)由
39.解
(1)数列为等差数列,所以又因为
由
n=1时,
时,
所以为公比的等比数列
(2)由
(1)知,
+
==1-4+
40:
(Ⅰ). ……6分
(Ⅱ). ……12分
41.解:
(Ⅰ)∵
∴,∵,…………2分
∴数列是首项为2,公比为2的等比数列.
∴∴ …………5分
(Ⅱ)∵,…………7分
∴
. …………9分
∵
,又,
∴N*,即数列是递增数列.
∴当时,取得最小值. …………11分
要使得对任意N*都成立,结合(Ⅰ)的结果,只需,由此得.∴正整数的最小值是5. …………13分
42
(1)
b1=a2-a1=1,
当n≥2时,bn=an+1−an=−an=−(an−an−1)=−bn−1,
所以{bn}是以1为首项,−为公比的等比数列.
(2)解由
(1)知bn=an+1−an=(−)n−1,
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=1+1+(-)+…+(−)n−2
=1+=1+[1−]=−
当n=1时,−=1=a1.所以an=−(n∈N*).
43.(Ⅰ)解:
因为,
所以当时,,解得,
当时,,即,解得, 所以,解得;
则,数列的公差,
所以.
(Ⅱ)因为
.
因为所以
44.
(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,
所以;==。
(2)由(Ⅰ)知,所以bn===,
所以==,
即数列的前n项和=.
45.
(1)见解析;
(2)
解析:
(1)代入直线中,有+1=2,
……………4分
(2)
两式作差,
……………8分
; ………12分
46.解析:
(Ⅰ)由题意知, ……………………1分
当时,; ………………2分
当时,,
两式相减得,整理得:
, …5分
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列.
, ………………………………6分
(Ⅱ)由得, ………………………………9分
所以,,
所以数列是以2为首项,为公差的等差数列,
. ………………………………12分.
47.
(1)∵当时,解得
当时,得
又,所以 …………4分
∵点在直线上 ∴
即,所以数列是等差数列,又可得………6分
(II)∵
∴
两式相减得
即
因此:
……….11分
∵单调递增 ∴当时最小值为3………………………13分
48.解:
(1)由已知,. …………2分
所以.从而
当时,
,
又也适合上式,所以. ……………6分
(2)由
(1), …………8分
所以
. …………12分
49.
(1);
(2)
试题解析:
解:
因为,故当时,,所以当时,
,即当时,
又,故,即,于是有
而,故数列是首项为1公比3的等比数列,且
由题设知,解得(舍去)或
于是等差数列的公差
考点:
1、由得;2、等差数列的前项和
50.解:
(Ⅰ)当n=1时,a1=5S1+1,∴a1=﹣,…(2分)
又an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,an+1﹣an=5an+1,即=﹣,…(4分)
∴数列{an}是首项为a1=﹣,公比为q=﹣的等比数列,∴an=;…(6分)
(Ⅱ)bn=log4||=log4|(﹣4)n|=n,…(8分)
所以==﹣…(10分)
所以Tn=[(1﹣)+()+…+(﹣)]=…(12分)
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