高中数学函数知识点总结经典收藏doc.docx
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高中数学函数知识点总结
1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:
集合Ax|ylgx,By|ylgx,C(x,y)|ylgx,A、B、C
中元素各表示什么?
A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹
2进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:
集合Ax|x22x30,Bx|ax1
若BA,则实数a的值构成的集合为
(答:
1,0,1)
3
显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。
故B只能是-1或者3。
根据条件,可以得到a=-1,a=1/3.但是,这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3.注意下列性质:
(1)集合a1,a2,,an的所有子集的个数是2n;
要知道它的来历:
若B为A的子集,则对于元素
a1来说,有2种选择(在或者不在)。
同样,对于元素a2,
a3,an,都有2种选择,所以,总共有2n种选择,
即集合A有2n个子集。
当然,我们也要注意到,这
2n种情况之中,包含了这
n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为
2n1,非空真子集个数为2n
2
(2)若ABAIB
A,AUB
B;
(3)德摩根定律:
CUAUBCUAI
CUB,CUAIB
CUAUCUB
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4.你会用补集思想解决问题吗?
(排除法、间接法)
如:
已知关于x的不等式ax
5
0的解集为M,若3
M且5M,求实数a
x2
a
的取值范围。
(∵
3
M,∴
a·
3
5
0
32
a
1,5
a
U9,25
)
∵5
M,∴
a·
5
5
0
3
52
a
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过;
如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)
在
(
1)上单调递减,在
(1,
)上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是
x=1.或者,我说在上,也应该马上
可以想到m,n实际上就是方程
的2个根
1
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(),“且”()和“非”().
若pq为真,当且仅当p、q均为真
若pq为真,当且仅当p、q至少有一个为真
若p为真,当且仅当p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。
)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)
A{x|x满足条件p},B{x|x满足条件q},
若;则p是q的充分非必要条件A_____B;
若;则p是q的必要非充分条件A_____B;
若;则p是q的充要条件A_____B;
若;则p是q的既非充分又非必要条件___________;
7.对映射的概念了解吗?
映射f:
A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。
)
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个。
如:
若A{1,2,3,4},B{a,b,c};问:
A到B的映射有个,B到A的映射有个;
A到B的函数有个,若A{1,2,3},则A到B的一一映射有个。
函数y(x)的图象与直线xa交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:
①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
x4
x
例:
函数y
2的定义域是
(答:
0,2U2,3U3,4)
lgx
3
函数定义域求法:
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
2
正切函数
余切函数
y
tanx
x
R,且x
k
k
2
y
cotx
x
R,且x
k
k
反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是,函数y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π]
,函数y=arctgx的定义域是R,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,
就得到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域?
如:
函数f(x)的定义域是
a,b
,b
a
0,则函数F(x)
f(x)f(x)的定
义域是_____________。
(答:
a,
a)
复合函数定义域的求法:
已知
y
f(x)的定义域为
m,n,求y
fg(x)的定义域,可由
mg(x)
n解出x的范围,即为y
f
g(x)的定义域。
若函数y
f(x)的定义域为
1
,则f(log2x)的定义域为
例
2
。
2
分析:
由函数y
f(x)的定义域为
1,2
可知:
1
x2;所以y
f(log2x)中有
2
2
1
log2x
2。
2
1
解:
依题意知:
log
2x
2
2
解之,得
2
x
4
∴
f
(log
2
)的定义域为
x|
2
x
4
x
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=1的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5,x
[-1,2]的值域。
3、判别式法
3
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,
不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
a.
y
b
型:
直接用不等式性质
k+
2
x
b.
y
x2
bx
型,先化简,再用均值不等式
mx
n
1
例:
y
x
2
1
1+x
1
2
x+
x2
x
c..
y
2
mx
n型
通常用判别式
x
mx
n
d.
y
x2
mx
n
x
n
型
法一:
用判别式
法二:
用换元法,把分母替换掉
例:
y
x2
x1(x+1)2(x+1)+1
(x+1
)1
1
11
x
1
x1
2
x
1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=3x4值域。
5x6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
ex
1
2sin
1,y
2sin
1的值域。
例求函数y=
,y
ex
1
1
sin
1
cos
y
ex
1
ex
1
y
0
ex
1
1
y
y
2sin
1
|
sin
|
|1
y
|
1,
1
sin
2
y
y
2sin
1
2sin
1
y(1
cos
)
1
cos
2sin
y
cos
1
y
4
y2
sin(
x)
1
y,即sin(
x)
1
y
4
y2
又由知
sin(
x)
1
1
y
1
4
y2
解不等式,求出,就是要求的答y案
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=2
x5
log3
x1(2≤x≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
4
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+x1的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:
已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,
(1)y的取值范围
x2
(2)y-2x的取值范围
y
解:
(1)令则是一条k过,(y-2,k0)(x的直2),线.
x2
dR(d为圆心到直线的距离,R为半径)
xb,即也y是2直x线b
0,
R
(2)令y-2
dd
2
2
例求函数y=(x2)+(x
8)的值域。
解:
原函数可化简得:
y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:
[10,+∞)
2
6x
13+
2
例求函数y=x
x
4x
5的值域
(x
2
(0
2
2
2
解:
原函数可变形为:
y=
3)
2)+(x
2)
(01)
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
2
2
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,ymin
=∣AB∣=
(3
2)
(2
1)
=
43,
故所求函数的值域为[43,+∞)。
注:
求两距离之和时,要将函数
9、不等式法
利用基本不等式
a+b≥2ab,a+b+c≥3
3
abc(a,b,c∈
R
),求函数的
最值,其题型特2征解析2式是和式时要求积为定值,解析式是积时
x
(x
0)
x
5
1
1
1
1
=x2
33x2
3
x
x
x
x
(应用公式
a+b+c
33
abc时,注意使者的乘积3变成常数)
要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例求函数y=x2的值域
x3
x2(3-
2x)
(0 1. 5) =x x (3- 2x) (x x+ 3-2x )3 1 3 (应用公式 abc (a b c)3时,应注意使 3者之和变成常数) 3 y x 2 x 3 x 2 0时, 1 x 2 1 2 1 2 0 1 y x2 x x y 2 2 x 2 0时, y=0 0 y 1 2 多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 切记: 做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错 误,与到手的满分失之交臂 如: f x1 ex x,求f(x). 令t x 1,则t 0 ∴x t2 1 ∴f(t)et21 t2 1 ∴f(x) x2 1 x 2 1x0 e 13.反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? 6 (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 1 x x 0 如: 求函数f(x) 2 x 的反函数 x 0 (答: f1 x1x 1 (x) ) xx0 在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。 请看这个例题: (2004.全国理)函数yx11(x1)的反函数是(B) A.y=x2-2x+2(x<1)B.y=x2-2x+2(x≥1) C.y=x2-2x(x<1)D.y=x2-2x(x≥1) 当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做 出来的。 可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。 下面请看一下我的思路: 原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。 原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B. 我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。 思路能不能明白呢? 14.反函数的性质有哪些? 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x对应原函数中的 y) 2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y对应原函数中的 x) 3、 反函数的图像和原函数关于直线 =x对称(难怪点( x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称 ①互为反函数的图象关于直线 y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; ③设yf(x)的定义域为A,值域为C,a A,b C,则f(a)=bf1(b)a f1f(a)f1(b) a,ff1(b) f(a) b 由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 (04.上海春季高考)已知函数 f(x)log3(4 2),则方程f 1(x)4的解x__________. x 15.如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 f(x1) f(x2) 的正负号或者 f(x1) 可以变形为求 与1的关系 x1 x2 f(x2) (2)参照图象: ①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;(特例: 奇 函数) ②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。 (特例: 偶函数) (3)利用单调函数的性质: 7 ①函数f(x) 与f(x) +c(c 是常数)是同向变化的 ②函数f(x) 与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当 c<0时,它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x) ,f2(x) 同向变化,则函数 f1(x) +f2(x)和它们同向变化;(函数相加) ④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化;如果负值函数 f1 (2)与f2(x) 同向 变化,则函数f1(x)f2(x) 和它们反向变化;(函数相乘) ⑤函数f(x) 与 1 在f(x) 的同号区间里反向变化。 f(x) ⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)] 同向变化,则在 [α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是递增的;若函数 u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)] 或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是递减的。 (同增异减) ⑦若函数y=f(x) 是严格单调的,则其反函数 x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。 f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减 如: 求y log1 x2 2x的单调区间 2 (设u x2 2x,由u 0则0x2 且log1 u,u x1 2 1,如图: 2 u O12x 当x (0,1]时,u ,又log1 u ,∴y 2 当x [1,2)时,u ,又log1 u ,∴y 2 ∴) 16.如何利用导数判断函数的单调性? 在区间a,b内,若总有f'(x)0则f(x)为增函数。 (在个别点上导数等于 零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)0呢? 如: 已知a0,函数f(x)x3ax在1,上是单调增函数,则a的最大 值是__________。 8 (令f'(x)3x2 a3x a x a 0 3 3 则x a或x a 3 3 由已知f(x)在[1, )上为增函数,则 a 1,即a3 3
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