东北农业大学版离散数学网上作业题及答案汇总.docx
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东北农业大学版离散数学网上作业题及答案汇总
东北农业大学网络教育学院
离散数学复习题
复习题一
、证明
1对任意两个集合A和B,证明A-B一A'Bi=A
答.证明.A-B!
.IA-B=A"1B「.A-B=A”.B■」B=AE=A
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三,那么我有一次英语或数学测验;如果数学老师有事,那么没有数学测验;今天是星期三且数学老师有事,所以我有一次英语测验。
答:
符号化为:
P—QR,SrR,PS=Q
证明:
(1)PSp
⑵
P
T
(1)I
⑶
S
T
(1)I
⑷
P>
QRp
Q
RT
(2)(4)l
⑹
S>
—Rp
⑺
-R,
T(3)(6)l
(8)
Q
T(5X7)1
二、计算
1
(1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
(2)画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图
(3)
画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图答:
三种图如下:
2、
设Px,y为x整除y,Qx为x:
:
:
2,个体域为12,求公式:
-XyPx,y>Qx的真值。
-XyPx,y>Q^-xPx,1>QxPx,2>Qx
答:
P1,1>Q1P1,2>Q1P2,1>Q2P2,2>Q2
=T>TT>TF>FT>F
:
=TT\iTFTTT
3、一棵树有门2个结点度数为2,门3个结点度数为3,…,m个结点度数为k,问它有几个度数为1的结点。
答:
设它有ni个度数为1的结点,则:
1*
n+2*n2+3*n3+…+k*nk=2*(m+n2+%+•••+nk-1)
得:
口=门3+2*n+…+(k-2)*nk+2
4、设集合A」1,2,3,4【A上的关系R」订,1,1,2,2,1,2,3,3,4I求出它的自反闭包,对称闭包和
传递闭包。
答:
r(R)=「1,1.,1,2,2,1,2,3,3,4,2,2,3,3,4,4?
s(R)二「1,1.,1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,4,3:
?
t(R)二<1,i,1,2,2,1,2,3,3,4,1,3,2,2,2,4,1,4】
三、设A=1,2,3,5,6,9,15,27,36,451上的整除关系R=订1@怙耳•A,®整除a?
1
R是否为A上的偏序关系?
若是,
则:
1、画出R的哈斯图;
答:
R是A上的偏序关系。
R的哈斯图:
36
2、求5,9的最小上界lubS,9:
和最大下界gib9,9二答:
〈2,9的最小上界lub〈2,9;=36,最大下界glbf2,9〕=1。
四、用推导法求公式P>Q>R的主析取范式和主合取范式。
P>Q>--PQR二P-QR
PR-QR]「ii:
PQ-QR]iiP-P-QR
答:
PQRi(P_QR][P_QRii
PQRP_QRP-Q-R]iPQR-P-QRji
五、设实数集R2上的关系—a,b,ca「*a,b,c,dR2,ad=bc』,
证明:
r是R2上的等价关系。
答:
证明:
-]x,y•R2有xyx,所以.x,y,x,yP
因此t是自反的
-:
a,b,c,d/P有a+d=b+c,即c+b=d+a,所以彳c,d),(a,b)〉EP
因此t是对称的
-a,b,c,d.,c,d,ef:
.:
•e匸有ad二bc,cf=de,
即c—d=a—b=e—f,得af=be,所以•a,b,e,f':
三P
因此「是传递的。
综上:
「是R2上的等价关系。
六、设R和R•分别是实数集和正实数集,+和x分别是普通加法和乘法,定义函数f:
R>R为
f(r)=2r,证明f是从(R,)到(R,)的同构映射。
答:
证明:
-x,y•R,且x=y,有2x=2y,所以f是入射
-z-R:
r・R使2r二z,即r=log2z,所以f是满射
因此f是双射。
-x,厂R,有fy=2x^2x2^fxfy,所以f是从(R,)至到(R,)的同构映射。
七、设R是实数集合,R=R-{0},在R*R上定义二元运算•为:
a,bc,d二ac,bcd,试证
明:
R*R/是一个群。
:
:
:
R*R/是否阿贝尔群?
答:
证明:
_a,b,c,dRR,有a,b,c,dR,且a=O,c=O,贝V:
acR且ac=O,bcdR
*因此,运算是封
所以a,bl〔c,d=ac,bcdRR
闭的
-a,b,c,d,e,fR*R
iia,b]tGd]]i「e,f=ac,bcd]\e,f=ace,bcedef
a,b「[ic,d][e,f二a,b][ce,def=ace,bcedef
所以a,b•c,d『[e,fi=:
〔a,b]:
igde,f因此,运算是可结合的
-a,bR*R,有a,b1,0=1,0a,b=ab,且1,0R*R因此1,0是幺元
*flb^flb、fib、*
W(a,b声rxR,有(a,b一,一一|=一,一一广(a,b)=(1,0)且.一,一一卢rxr
2a丿£a丿laa丿
因此P(a,b有逆元,逆元为丄,-■一;
2a丿
综上:
:
:
R*R/是一个群。
:
:
:
R*R/不是阿贝尔群。
复习题二
一、设L={123412}上的整除关系
二1©,a^-|ai,a^L,ai整除a?
'
完成下列各小题。
1、证明r是L上的偏序关系。
答:
证明-a•L,因为a整除a,所以]a,a;^匕因此「是自反的。
设有(a1,a2),(a2,aj旨P,即a整除a2,a2整除aj,则印=a2,因此P是反对称的设有(a1,a2),(a2,a3)旨P,即a一整除a2,a2整除a3,则a一整除a3,即〈^代庐卩,因此P是传递的。
综上,「是L上的偏序关系。
2、画出偏序集:
:
:
L,t-的哈斯图。
答:
偏序集:
:
:
L,t•的哈斯图如右图所示。
3、在L上定义两个二元运算和:
对任意a,b:
=L,ab=glb(a,b),ab=lub(a,b)。
请填空(在
横线上填是或不是):
①代数系统:
:
:
L,,,•是格。
②代数系统:
:
:
L,,,•是有界格。
③代数系统:
:
:
L,,.是有补格。
④代数系统:
:
:
L,,.不是分配格。
二、求布尔函数的析取范式和合取范式
设E(xi,x2,x3)=(x(x2)(x2x3)(x2x3)是布尔代数:
:
{0,1},,丿上的一个布尔表达式。
试写出E(x),X2,x3)的析取范式和合取范式(用推导法或列函数表的方法均可)
答:
方法1推导法
析取范式为:
E(M,X2,X3)=(XiX2)(x?
X3)(X2X3)
=((XiX2)(X3X3))((X2X3)(XiXi))((X2X3)(XiXi)
(x1x2x3)(xix2x3)
=(X!
X2X3)(xiX2X3)(x-iX2X3)(xiX2X3)(x-ix2x3)
合取范式为:
E(为,x2,x3)=(%x2X3)(x-!
x2X3)(x-!
x2x3)
方法2列函数表法
布尔表达式对应的函数表为:
f
<0,0,0>
0
<0,0,1>
1
<0,1,0>
0
<0,1,1>
1
<1,0,0>
0
<1,0,1>
1
<1,1,0>
1
<1,1,1>
1
析取范式为:
E(xi,x2,x3^(X!
X2X3)(XjX2X3)(xiX2X3)(xiX2X3)(xix2X3)合取范式为:
E(Xi,X2,X3)X2X3)aX2X3)(XjX2X3)
三、画出满足下列要求的图
1有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。
2有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。
3没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。
4既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。
四、证明在完全二叉树中,边的总数等于2(n-1),这里n是叶子数。
又因为在
答:
证明设分枝点数为i。
因为在完全m叉树中,有(m-1)i=n-1,所以,当m=2时有i=n-1
完全二叉树中,每个分枝点射出两条边,所以边的总数是2i,即边的总数是2(n-1)。
五、计算
求带权2、3、5、7、11、
答:
解23571113
5571113
1071113
171113
1724
41
六、证明
在一个连通平面图中,若它有n个结点,m条边,且每个面由k条边围成。
试证
k(n-2)m
k-2
答:
在一个连通平面图中,若它有n个结点,m条边,且每个面由k条边围成。
试证
k(n-2)
k一2
证明
deg(rj二k设此平面图有r个面。
.二deg(n)=kr
又”.
deg(rj=k
-kr=2m,从而有r
爭。
将其代入欧拉公式
n-mr=2得n-m细=2k
整理得口2)
k—2
三V,建立V到时,f是同构映射。
=n,f是:
:
V*,;
一个同构映射。
七、证明
设V是有限字母表,给定代数系统:
:
:
V*j,其中是串的连接运算。
对于任一串
N的映射f,f(〉)=|〉|。
证明f是:
:
:
V*,7到:
:
:
N,•.的一个满同态,且当|V1=1
答:
证明对于V中任意两字符串:
•和:
,因为|:
|=|〉|•|:
|,所以
f(:
':
:
)*I|■HfC-)f(:
)
n.nr
f()=0,对于任一正整数n・N,取a・V,则|aa|"a|=:
n,所以,f(aalHa)
到:
:
:
N,:
:
;■*的一个满同态。
n
当|V|=[时,设V={a},f(aa|)(a)=n,f(■)=0,f是双射,因此,f是-
给定有限状态机Ms=(Q,S,R,f,h,A),它的状态图如附图所示。
1、求状态A的011010的后继以及可接受状态序列。
答:
因为A—0》E—1》C—」》A—。
、£—■>C—》D
所以状态A的011010的后继状态是D,可接受状态序列是AECAECD。
2、求Ms对于激励010110的响应。
答:
Ms对于激励010110的响应是ecdcae。
3、构造一台与Ms相似的转换赋值机Mt,画出Mt的状态图。
答:
与Ms相似的转换赋值机Mt=(Q,S,R,f,g,qj,其中:
Q二{A,B,C,D,E},S二{0,1},
R二{a,b,c,d,e},qi二A
Mt的状态图为:
f(代0)二E,f(A,1)=Bf(B,0)二D,f(B,1)=Bf(C,0)二D,f(C,1)=Af(D,0)二E,f(D,1)=Cf(E,0)二B,f(E,1)=Cg:
g(A,0)=e,g(代1)二bg(B,0)二d,g(B,1)二bg(C,0)二d,g(C,1)=ag(D,0)二e,g(D,1)二cg(E,0)二b,g(E,1)=c
九、证明
考察一个(8,4)码C,它的校验位a5,a6,a?
as满足下列方程
a5=a〔+a2+a4
a6=ai+a3+a4
a7=ai+a2+a3
a8=a2+a3+a4
其中ai,a2,a3,a4为信息位。
求出这个码的一致校验矩阵。
证明
minW(x)=4。
X0
答:
证明一致校验矩阵为:
“1011000、
10110100H=
11100010
(01110001J
矩阵H中无零列向量,且任意两个、三个列向量之和不等于零向量。
而第一、二、六、八列向量之和为零
向量,所以,
mmw(x)=4
x=0
复习题三
一、设集合s—a,b,c:
完成下列各小题。
1求S的幕集P(S)。
答:
P(S)二{•一,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
2证明:
:
:
P(S),二〉是偏序集。
答:
-AP(S),因为AA,因此关系是自反的。
对任意A,BP(S),若有A匚B,B5A,则A=B,因此关系匚是反对称的。
对任意A,B,C・P(S),若有AB,BC,则AC,因此关系冬是传递的综上,:
:
:
P(S),•是偏序集。
3画出偏序集:
:
:
P(S)「-的哈斯图。
答:
偏序集:
:
:
P(S),5的哈斯图如图1。
{a.b,c}
4在P(S)上定义两个二元运算入和对任意ABEP(S),A,%B=AcB,A\rB=AuB。
请填空
(在横线上填是或不是并回答为什么):
1代数系统:
:
:
P(S),■是格,因为P(S)中任意两个元素都有最小上界和最大下界。
。
2代数系统:
:
:
P(S),二,是有界格,因为疳P(S),.有全上界,为{a,b,c};有全下界,为
-。
。
3代数系统:
:
:
P(S),二,是—有补格,因为疳P(S),•是有界格且疳P(S),•中每一元素都有补元
素。
。
4代数系统:
:
:
P(S)「-是分配格,因为对于任意A,B,8P(S),有
A_(BC)=(A一B)_•(A一C)
A(B-C)=(AB)'(A_.C)
成立。
⑤代数系统:
:
:
P(S),-,_.,〜■是布尔代数,因为疳P(S),.是有补分配格,即疳P(S),.是布尔格,.Pk),',-,〜.是由布尔格P(S),.诱导的代数系统。
二、计算
设E(X1,X2,X3)=(XiX2)(X2X3)(X2X3)是布尔代数:
{0,1},,丿上的一个布尔表达式。
试写出〔(为兀必)的析取范式和合取范式(用列函数表的方法)
答:
解
布尔表达式对应的函数表为:
f
<0,0,0>
0
<0,0,1>
1
<0,1,0>
0
<0,1,1>
1
<1,0,0>
0
<1,0,1>
1
<1,1,0>
1
<1,1,1>
1
析取范式为:
E(X4,X2,X3)=(%x2x3)(xx2x3)(x1x2x3)(x1x2X3)(x1x2x3)合取范式为:
E(x「%,X3)=(XjX2X3)(Xjx2X3)(Nx2x3)
三、回答问题
完全图Kn是否是欧拉图?
是否是哈密尔顿图?
为什么?
答:
解因为欧拉图和哈密尔顿图分别要求有欧拉回路和哈密尔顿回路,所以要求n_3。
该图为欧拉图,所以当
完全图Kn的每个结点的度数为n-1,而当一个图的所有结点度数均为偶数时,n-1为偶数,即n(n_3)为奇数时Kn是欧拉图。
Kn的任意两个结点的度数和为2(n-1),当n—3时,有2(n-1)_n,此时Kn是哈密尔顿图。
四、画图
对于下图,利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。
答:
最小生成树为
五、计算
。
问该树有
一棵树有两个结点度数为2,1个结点度数为3,3个结点度数为4,其余结点度数为1几个度数为1的结点。
答:
解该树有n个度数为1的结点。
则有
n22343=2(n213-1)
解之,得n=9
答:
该树有9个度数为1的结点。
六、证明
图G=(V,E)是无向简单图,其中|V|=n,|E|=m,证明:
m一»。
2
n(n-1)
2
证明因为G是简单图,所以图G中没有环和平行边,任意两结点间最多有一条边,故m乞C;
答:
证明因为G是简单图,所以图G中没有环和平行边,任意两结点间最多有一条边,故
n(n-1)
2
七、证明
已知
G=(VnWPF),Vn十,B,C},V二{a,b,c},P:
(1)「>a;「BC
⑵匚>aBC(3)CB>BC(4)aB>ab(5)bB>bb(6)bC>bc(7)cC>cc
求证
n-1
答:
证明
二an(BC)n
匚anBnCn
=anbBn°Cn
(用生成式
(1))
(用生成式
(2))
(用生成式(3))
=anbnCn
(用生成式(5))
=anbncCn」(用生成式(6))
nnn
=abc(用生成式(7))
八、设计
3数(即设计模3计数器)。
设计一台有限状态机M,它的输出是已经输入符号数的模
答:
解M=(Q,S,R,f,g,A)
其中Q={代B,C},S{a},R{0,1
f(代a)二B,f(B,a)=C,f(C,a)二ag(A,a)=1,g(B,a)=2,g(C,a)=0状态图为:
九、计算
给定码C={00000,10001,01100,10101},求码C中任两个码字的海明距和dmin(C)。
答:
解H(00000,10001)=2,H(00000,01100)=2,H(00000,10101)=3,
H(10001,01100)=4,H(10001,10101)=1,H(01100,10101)=3
dmin(C)=1
复习题四
一、填空
1、设A和B为有限集,|A|=m,|B|=n,则有个从A到B的关系,有个从A到B
的函数,其中当m_n时有匸—w、个入射,当m=n时,有个双射。
2、集合A={n?
|n-N}是(是/不是)可数的。
二、计算
1用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式:
((-PQ)>R)
答:
-PQ》R=PQR=P-QR
二PR|[QR二PQ_QR|I[P■P_QR11
:
=PQRiiP_QRriP_QR11
=PQRP—QRP—Q—R_PQR_P-QR
2设A={1,2,3,4},A上二元关系R={:
:
:
1,2.,:
:
:
2,2.,:
:
:
2,4•,:
:
:
3,4},求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。
答:
自反闭包r(R)={:
:
:
1,2,:
:
:
2,2,:
:
:
2,4,:
:
:
3,4,:
:
:
1,1,:
:
:
3,3,:
:
:
4,4}
对称闭包s(R)={:
:
:
1,2,:
:
2,2,:
:
2,4,:
:
3,4,:
:
:
2,1,:
:
:
4,2,:
:
4,3}
传递闭包r(R)={:
:
:
1,2,:
:
:
2,2,:
:
:
2,4,:
:
:
3,4,:
:
:
1,4}
三、证明
1、设A,B,C是三个集合,证明:
(A*B)-C=(A-C)、B答:
(A-B)_C=(A-B)[JC=(A-C)-B=(A_C)-B
2证明等价式:
(x)(A(x)>B(x)):
=(-x)A(x)>(Tx)B(x)答:
(x)(A(x)>B(x))=(x)(—A(x)B(x))=(x)—A(x)(x)B(x)
二一(-x)A(x)(x)B(x)=(-x)A(x)>(x)B(x)
四、将下列命题推理符号化并给出形式证明:
已知张三或李四的彩票中奖了;如果张三的彩票中奖了,那么你是知道的;如果李四的彩票中奖了,那么王五的彩票也中奖了;现在你不知道张三的彩票中奖。
所以李四和王五的彩票都中奖了。
答:
P:
张三的彩票中奖了。
Q:
李四的彩票中奖了。
R:
你知道张三的彩票中奖。
S:
王五的彩票中奖了。
PQ,P—R,Q—S,—R=QS
证明:
(1)「RP
⑵P>R
P
⑶-P
T
(1)
(2)I
⑷PQ
P
⑸Q
T(3"4)l
⑹Q>S
P
⑺S
T(5)(6)I
(8)QS
T(5)(7)I
五、设复数集合C={abi|a,^R,a=0},定义C上二元关系R:
:
:
:
abi,cd^R当且仅当ac0,证明:
R为等价关系。
答:
证明:
对于_a•bi,c•di,e•fi•C,有a,c,e=0
因为aa.0,所以:
:
:
a•bi,a•bi沁R,故R是自反的。
若:
:
:
abi,c•di三R,则ac0且ce-0,即aCce0,得ae0,所以:
:
:
cdi,ab^^R,故r是对称的。
若:
:
:
abi,c•di孵R,:
:
:
c•di,e•fiMR则ac0,即ca.0,所以:
:
:
a•bi,e•fi》三R,故R是传递的。
综上:
R为等价关系。
六、证明:
若A|_|B和C_D,贝VAB_CD。
答:
证明:
因为ALIB和C_D,所以可作双射f:
A>B,g:
C>D。
定义h:
AB-;CD,对于-:
:
:
a,b.AB,有c=f(a),d=g(b),:
:
:
c,d.CD
对-:
:
:
a1,b1,:
:
:
a2,b2.AB,:
:
:
a1,b1:
=:
.a2,b2.,
设c仁f(a1),c2二f(a2),d仁g(b1),d2二g(b2),
当a1=a2时,由于f:
A>B是双射,所以c仁f(a1)=f(a2)二c2,得:
:
:
c1,d1.=:
:
c2,d2•;当
bl=b2时,由于g:
C>D是双射,所以di二g(c1)=g(c2)=d2,得:
:
:
c1,d1=:
c2,d2-。
故h:
AB—CD是入射。
对-:
:
:
c,d••CD,因为f:
A>B,g:
C>D均为双射,所以a・A,bB使得c二f(a),d=g(b),:
:
:
a,b••AB。
故h:
AB—;CD是满射。
综上,故h:
AB-;CD是双射。
有ABLCD。
七、设集合G={2m3n|m,1},是普通乘法,证明:
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G,•是一个群。
答:
对-a,b•G
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