第十三章 轴对称.docx

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第十三章轴对称

第十三章轴对称

13.1.1轴对称

素读检测

1.如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做，这条直线就是它的.

2.角是轴对称图形,它的对称轴是.

3.叫做线段的垂直平分线.

4.轴对称的性质：

⑴；

⑵.

5.轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系:

区别:

⑴轴对称是说个图形的位置关系,轴对称图形是说个具有特殊形状的图形;

⑵成轴对称的两个图形一定，但全等的两个图形不一点成轴对称.

联系:

⑴它们沿着某条直线翻折后，都能够;

⑵如果把轴对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个图形；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴.

问题思考

1.成轴对称的两个图形全等吗?

全等的两个图形一定成轴对称吗？

2.轴对称图形与两个图形成轴对称关系是什么？

3.观察图片，你发现了什么？

当堂检测

1.下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（）

A.

B.

C.

D.

2．⑴角是轴对称图形，它的对称轴是_____；⑵线段是轴对称图形，它的对称轴是_____；

⑶圆是轴对称图形，它的对称轴是_____.

3.观察如图所示的26个英文字母，其中是轴对称图形的有.

ABCDEFGHIJKLM

NOPQRSTUVWXYZ

巩固拓展

1.找出图中所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形．

2.如图，由４个全等的正方形组成L形图案，

（１）请你在图案中改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图案;

（２）请你在图中再添加一个小正方形，使它变成轴对称图案.

13.1.2线段的垂直平分线的性质

第一课时

素读检测

1.线段的垂直平分线上的点与相等.

2.的点在这条线段的垂直平分线上.

问题思考

1.如图13.1-1，直线

垂直平分线段AB，P为

上任意一点，

⑴PA与PB有怎样的数量关系？

你是如何得到的.

⑵通过上面的讨论可以得出怎样的结论？

2.⑴如图13.1-2，PA=PB，点P是否在线段AB的垂直平分线上？

为什么？

⑵通过上面的讨论可以得出怎样的结论？

3.如图13.1-3，已知：

直线AB和AB外一点C.

求作：

AB的垂线，使它经过点C.

根据下面的做法试一试.

作法：

⑴任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.

⑵以点C为圆心，CK长为半径画弧，交AB于点D和E.

⑶分别以点D和点E为圆心，大于

DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

⑷作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.

想一想：

⑴为什么点K和点C在AB的两旁？

⑵为什么要以大于

DE的长为半径画弧？

⑶为什么直线CF就是所求作的垂线？

当堂检测

1.到三角形三个顶点距离相等的点是（）

A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

2.点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．

3.如图13.1-4，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系?

并加以证明．

4.如图13.1-5，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：

OE是CD的垂直平分线．

巩固拓展

1.如图13.1-6

已知：

直线AB和AB上一点C

求作：

AB的垂线，使它经过点C.

2.如图13.1-7,AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.

求证：

BE=CF

3.证明两条线段相等常用的方法:

⑴证明三角形全等;⑵利用角平分线的性质;⑶利用线段的垂直平分线的性质.

4.由线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质可以直接得到线段相等的结论，比证三角形全等简单.

13.1.2线段的垂直平分线的性质

第二课时

素读检测

1.经过线段并且于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线；

2.如果两个图形关某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的线；

3.在这条线段的垂直平分线上.

4.如果两个图形成轴对称，其对称轴就是线，因此，我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的线就可以得到这两个图形的对称轴.

5.我们也可以用作线段的垂直平分线的方法确定线段的.

6.如图13.1-8,已知点A和点B关于某条直线成轴对称,作出对称轴.

问题思考

1.有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？

举例说明.不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？

说说你的理由.

2.怎样作已知线段AB的垂直平分线?

说出你的作图方法和依据.这种作图方法还有什么用途?

当堂检测

1.画出下列图形的对称轴．

2.如图13.1-9,某地由于居民增多,要在公路

上增加一个公共汽车站,A、B是路边两个新建小区,这个公共汽车站建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长.在图上作出来.

3.

如图13.1-10,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,E与F一定关于AD对称,为什么?

巩固拓展

如图13.1-11,已知△ABC.在图中用直尺和圆规作出边AB,BC的垂直平分线,交点为P.

（1）

猜想PA,PB,PC的大小关系,并说明理由.

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上?

说明理由.

13.2.1画轴对称图形

第一课时

素读检测

1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做_______，折叠后重合的点是对应点，叫做______.

2.经过线段______并且______这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的________.

4.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的____,____完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的_____；连接任意一对对应点的线段被_____垂直平分.

5.几何图形都可以看作由___组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_____，连接这些_____,就可以得到原图形的轴对称图形.

问题思考

1.如图13.2-1

（1）找到点A的对称点A′

（2）AA′与对称轴有什么关系？

（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还有上述关系吗？

连接任意一对对称点的线段被对称轴____________.

2.如图13.2-2,已知△ABC和直线

，画出与△ABC关于直线

对称的图形.并说出你的作法.

当堂检测

1.如图13.2-3，请画出三角形关于直线

对称的图形.　　

2.如图13.2-4,将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（　　）

A.15°B.20°C.25°D.30°

3.如图13.2-5,点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，求△PMN的周长.

4.如图13.2-6，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）

图13.2-6

巩固拓展

1.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC，请你画出格点△DEF（注：

三角形的顶点

在网格交点处），使△DEF与△ABC关于某直线对称（在下面给出的图中画出4个不同的

格点△DEF）．

图13.2-7

2.为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：

⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：

⑴分别作两条对角线（如图中的图1）；⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）．请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．（正确画图，不写画法）

13.2.2画轴对称图形

第二课时

素读检测

1.如图13.2-9，已知点A和一条直线MN，

（1）你能画出点A关于直线MN的对称点A′吗?

（2）直线MN与AA′交于点O,则直线MN与AA′有什么位置关

系？

线段AO与A′O有什么数量关系？

2.点P（x，y）关于x轴对称的点P1的坐标是；

点P（x，y）关于y轴对称的点P2的坐标是.

3.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标,纵坐标___________.

点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.关于y轴对称的点横坐标,纵坐标___________.点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.

4.在坐标平面上画轴对称图形的时候，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形

的）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。

问题思考

1．如图13.2-10

⑴观察上图中两个圆脸有什么关系？

⑵已知右边圆脸右眼B的坐标为（4，3），左眼A的坐

标为（2，3），端点，右端点C

的坐标为（4，1），左端点D的坐标为（2，1）．请根据

图形写出左边圆脸上左眼，右眼

及嘴角两端点的坐标A1_________;B1___________;C1__________;D1_________.

⑶A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称.

2.如图13.2-11中，每个小正方形的边长都是1，请你在图二中描出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律。

已知点

A（2,-3）

B（-1，2）

C（-4，-5）

D（

，1）

E（4，0）

关于x轴的对称点

A′（,）

B′（,）

C′（,）

D′（,）

E′（,）

关于y轴的对称点

A″（,）

B″（,）

C″（,）

D″（,）

E″（,）

3.如图13.2-12，四边形ABCD的顶点坐标为A（-5，1），B（-1，1），C（-1，6），D（-5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形。

当堂检测

1.将一个点的纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是；将一个点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是.

2．若点P（a，3）和P1（2，b）关于x轴对称，则方程ax+b=0的解为。

3．已知点A（2m+1，m-3）关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是。

4．若∣3a-2∣+（b+3）2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，

则点C的坐标是。

4.⑴请画出

关于

轴对称的

（其中

分别是

的对应点，不写画法）；

⑵直接写出

三点的坐标．

⑶△ABC的面积为.

巩固拓展

1.已知点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关于y轴对称，则m=，n=

2.已知点

，

，根据以下要求确定

的值.

⑴

两点关于

轴对称；

⑵

两点关于

轴对称；

⑶

∥

轴.

3.

（1）如图13.2-14，每个小正方形的边长都是1，分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=–1（记为n）对称的图形。

它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？

（2）若点P（a，b）、Q（c，d）两点关于直线x=2对称，则a、c间的关系是，b、d间的关系是；

若点P（a，b）、Q（c，d）两点关于直线y=–2对称，则a、c间的关系是，b、d间的关系是.

13.3.1等腰三角形

第一课时

素读检测

1.下列图形不一定是轴对称图形的是（）

A．圆B．长方形C．线段D．三角形

2.有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫,

两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫．

3.等腰三角形一个内角为80°,则它的底角为．

4.等腰三角形一个外角为70°,它的顶角为．

5.等腰三角形性质1:

等腰三角形的两个相等（简写成“”）

等腰三角形性质2:

等腰三角形、、

互相重合（简写）．

6.等腰三角形是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

问题思考

1.如图13.3-1，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？

把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

图13.3-1

2.你能用所学知识验证上述性质吗？

请说说你的方法.

3.如图13.3-2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，

且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．

当堂检测

1.填空：

如图12-3-3，在△ABC中

①∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=，⊥.

②∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=，⊥.

③∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=，BD=.

2．若等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则底边长为．

3.如图13.3-4，△ABC中，AD垂直平分边BC，且△ABC的周长为24，则AB+BD=；若∠CAB=60°，则∠CAD=度．

4.如图13.3-5,△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E．

求证：

DE＝DF．

巩固拓展

1.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为

，则

等于度．

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为

，则这个等腰三角形的顶角为度．

3.如图13.3-6，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M,

求证：

CM=DM

13.3.1等腰三角形

第二课时

素读检测

1.如果一个三角形有两个角相等，那么也相等.简写成.

2.求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．（分析:

这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．）

已知：

如图3.3-7，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（），

∠2=∠C（）．

又∵∠1=∠2，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC（）．

3.等腰三角形的判定方法有：

.

4.等腰三角形的性质是.

问题思考

1.如图13.3-8，在△ABC中，∠B=∠C，AB与AC有怎样的数量关系？

你是怎样得到的？

图13.3-8

2.已知等腰三角形底边长为a,底边上的高为h，请用尺规作图的方法作出

这个等腰三角形.

ah

当堂检测

1.如图13.3-9，其中△ABC是等腰三角形的是（）

2.△ABC中，

时，△ABC是等腰三角形．

3.如图13.3-10，在△ABC中，

则图中共有（）个等腰三角形

A．3个B．4个C．5个D．6个

4.如图13.3-11，CA和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，

求证：

OC=OD．

5.如图13.3-12，∠A＝∠B，CE∥DA交AB于点E.

求证：

△CEB是等腰三角形．

巩固拓展

1.如图13.3-13，在△ABC中，AB=AC，两条底角平分线BD，CE相交于点O，OB与OC相等吗？

请说明理由．

2.如图13.3-14，请思考一下，怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出裁剪的痕迹．

图13.3-14

13.3.2等边三角形

第一课时

素读检测

1.等边三角形的内角都相等,且等于.

2.等边三角形各边上,高和所对角的平分线都三线合一.

3.等边三角形是轴对称图形，有条对称轴.

4.三条边的三角形是等边三角形.

5.三个角都相等的是等边三角形.

6.有一个角是60°的是等边三角形.

等边三角形与等腰三角形的区别与联系:

定义

性质

判定

等腰

三角形

有二条边相等

1.两个底角相等.

2.三线合一.

3.对称轴一条.

1.定义.

2.等角对等边.

等边

三角形

有三条边相等

1.三个角都相等.

2.三线合一.

3.对称轴三条.

1.定义.

2.三个角都相等.

3.有一个角是60°的等腰三角形.

问题思考

1.一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？

如何证明？

3.

如图13.3-15，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E.

求证:

△ADE是等边三角形.

当堂检测

1.下列命题：

①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②不同顶点处的两个外

角相等的等腰三角形是等边三角形；有两个角都是60°的三角形是等边三角形；一边上

的中线与这边上的高线重合的等腰三角形是等边三角形.其中正确的命题有（）个.

A.1B.2C.3D.4.

2.等边三角形的两条中线相交所形成的锐角是度.

3.△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=_______.

4.点D，E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，若添加一个条件，能使

△ADE是等边三角形.

5.如图13.3-16，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E，使CE=CD,

求DE的长.

D

巩固拓展

1.如图13.3-17，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数.

2.如图13.3-18,等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．

⑴如图①，点P在△ABC内，h1，h2，h3之间有什么等量关系？

⑵如图②，点P在△ABC外，h1，h2，h3之间有怎样的关系，请写出你的猜想并证明．

图13.3-18

13.3.2等边三角形

第二课时

素读检测

1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么

2.填空：

如图13.3-19，在△ABC中，

∵∠C=90o，∠A=30o

∴BC=

（）

问题思考

1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

2.由1你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？

当堂检测

1.已知：

如图13.3-20，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．

求证：

BD=

AB．

2.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为.

3.如图13.3-21，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.

求证:

BP=2PF

巩固拓展

1.如图13.3-22,等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P.

⑴运动几秒后，△ADE为直角三角形？

⑵求证：

在运动过程中，点P始终为线段DE的中点.（提示：

过点D作AF的平行线）

课题学习最短路径问题

素读检测

1.两点的所有连线中，最短；

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短；

3.三角形三边关系是.

4.在解决最短路径问题时，我们通常利用，等变化把已知问题转化成容易解决的问题，从而做出最短路径的选择。

问题思考

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

当堂检测

1.如图所示，在一条河的同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A、B两村庄的距离和最短，试确定M的位置；若A与B在和的两侧，如图2，其他条件不变，又该如何确定M的位置？

·BA·

A·

·B

2.如图，D、E分别是△ABC中AC和BC上两点，求在AB上取一点P使△PDE周长最小？

3.如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（　　）A.4B.5C.6D.7

巩固拓展

已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（　　）

A.40°B.100°C.140°D.50°