二次函数面积之铅垂高.docx
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二次函数面积之铅垂高
二次函数与面积之铅垂高
—教学目的
1.让学生经历探索的过程,观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,促进培养学生解决问题的能力.
2•理解用“鉛锤高,水平宽”求不规则三角形面积的方法,并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。
二重点难点
1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。
2铅垂高的寻找方法,以及用坐标表示线段
三•教学方法
先让学生阅读理解,自主探究,引导学生掌握方法,讲练结合
四.教学过程
图12-1
sjah,即
ABC
2
例1阅读材料:
如图12-1,aAABC的三个顶点分别作出与水平线垂
直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水
平宽”⑻,中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△
ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(l,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.⑴求抛物线和直线AB的解析式;
⑵点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点
图12-2
C时,求厶CAB的铅垂高CD及Scab;⑶是否存在一枭使Sa二cab
8
说明理由•
•1•分
例1解:
⑴设抛物线的解析式为:
yia(xl)24
把A(3,0)代入解析式求得a2
22
所以y】(xI)24x22x3
设直线AB的解析式为:
y2kxb
2
由yix22x3求得B点的坐标为(0,3)4•分
把A(3,0),B(0,3)代入yzkxb中
解得:
kl,b3
所以y2X36•分•
(2)因为C点坐标为(1,4)
所以当x=1时,yi=4,y2=2
所以CD二4-2二28分
Scab2323(平方单位)
⑶假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为X,APAB的铅垂高为h,
则hyiy2(x2x3)(x3)x3x12份…由Sapab二9Sacab
8
129
得:
3(x23x)3
28
2
化简得:
4/12x90
3
解得,x
2
32
7匀\/X%/、2O\zOr+i
覚求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。
铅垂高的表示方法是解决问题的关键,要学会•用坐标表示线段
例2(2010r东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中,二次函数yox2bxc(a0)的图象的顶
点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B
1
点的坐标为(3,0),OB二OC,tanZACO二.
3
(1)求这个二次函数的表达式•
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使
以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存
在,请说明理由•
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相
切,求该圆半径的长度.
(4)如图11,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一
y_
y_
动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?
求出此时P点的坐标和△APG的
最大面积
1)方法一:
由已知得:
C(0,-3),A(-1,0)
abc09a3bc0c3
将A、B、c三点的坐标代入得c3alb2c3解得:
2
所以这个二次函数的表达式为:
方法二:
由已知得:
C(0,-3),A(-1,0)
设该表达式为:
ya(x1)(x3)
将C点的坐标代入得:
2
所以这个二次函数的表达式yX22x3
为注:
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
2)方法一:
存在,F点的坐标为(2,-3)
理由:
易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
•••E点的坐标为(-3,0)
由A、C、E、F四点的坐标得:
AE二CF二2,AE〃CF
・••以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
・••存在点F,坐标为(2,-3)
方法二:
易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
x.・.E点的坐
标为(-3,0)
•・•以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
・••F点的坐标为(2,-3)或(一2,—3)或(-4,3)
代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合
・••存在点F,坐标为(2,-3)
3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为
112[<
代入抛物线的表达式,解得
②当直线MN在x轴下方时,
117
代入抛物线的表达式,解得
设圆的半径为「(r>0),
117
4)
过点P作y轴的平行线与
AG交于点Q,
易得
G(2,-3),直线AG为
SAPG
2
x.x2x3).0110
12
SS(xx2)3
APQGPQ2
x,-X-1),PQ
2
2y2
X
当2时,AAPG的面积最大
2,4Sapg的最大值为27
此时P点的坐标为2“,8
随堂练习1•(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(・4,0)和
(2,0),BC=23•设直线AC与直线X二4交于点E•
(1)求以直线x二4为对称轴,且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一
定过点E;
2)设
(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于C、N之间
的一动点,求厶CMN面积的最人值.
ya(x4)m.
283(x4尸
4kb0
ykxb,*
・••所求抛物线的函数关系式为
设直线AC的函数关系式为
3x43(4,于)
溥舅堀的函倒关會芒的坐标纽设扌直物纟霸盘姜釁'为为
word
y6(44)277
把x=4代入①式,得633,•••此抛物线过E点•
2)
(1)中抛物线与x轴的另一个交点为N(8,0),设M(x,y),过M作MG丄x
轴于G,贝IJSACMN二S△MNG+S梯形MGBC—SA
1(8x)y\y23)(x2)1(82)23CBN=222
324332
3y3<833:
x*X|3<83x*5^83
632
梟29拓
—(x—5)+
=22
93
•••当X二5时,SACMN有最大值2
课下练习1.(本题满分12分)已知:
如图一次函数y二;x+1的图象与x轴交于点A,与y
轴交于点B;二次函数y二;x2+bx+c的图象与一次函数y二食x+1的图象交于B、C
两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出
所有的点P,若不存在,请说明理由.
第24题图
两点,且与,轴交于点c.
1)求该抛物线的解析式,并判断A"的形状;
2)在%轴上方的抛物线上有一点D,且以A、"。
"四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直
接写出°点的坐标;
3)在此抛物线上是否存在点P,使得以八、C'B、卩四点为顶点的四边形是直角梯形?
1
【答案】解:
根据题意,将A(Jo),B(2,0)代入y二・x2+ax+b中,
11
ab0,
42
w42ab0.
3
a,
a.
2
解这个方程,得全品中考网
3所以抛物线的解析式为y二・x2+'+1.
当x二0时,y二1.所以点C的坐标为(0,1)o
5所以在△AOC札心。
AOC.2.
在△BOC中,-OB2OC2-5.
15
2
AB二OA+OB二22
1252
因为AC2+BC2二44
所以AABC是直角三角形。
3,1
(2)点D的坐标是2.
(3)存在。
若以BC为底边,则BC〃AP,如图
(1)所示,可求得
直线BC的解析式为
直线AP的解析式为
111
1
yx将A(2,0)代入直线AP的解析式求得b二4,所以直线AP的解析式为
2
4.
2点A的坐标为
因为点P既在抛物线上,又在直线AP上,所以点P的纵坐标相等,即
311x・x2+2x+l=24.
图2
51
解得"2”2(不合题意,舍去)
53
当X二彳时,y二2.
53
所以点P的坐标为(I
②若以AC为底边,则BP〃AC,如图
(2)所示,可求得直线AC的解析式为
y2x1.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设
直线BP的解析式为心b,
将B(2,0)代入直线BP的解析式求得b二・4,所以直线
因为点P既在抛物线上,
BP的解析式为y=2x-4.
23x4
$的图象与y轴交于点A,与x轴
又在直线BP上,所以点P的纵坐标相等’即-x2+2x+l=2x-4
xi5,X22
解得
2(不合题意,
舍去)
5
当x=・
'时,y二・9.
5
所以点
P的坐标为(・彳,
-9).
535
综上所述,满足题目的点P的坐标为LJ或(J,_9)
1X2(本题10分)如图,已知二次函数y二
交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
点C的坐标为
求出所有符合条件的
⑵线段AC上是否存在点E,使得AEDC为等腰三角形?
若存在,
点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连PA、PC,若所得APAC的面积为S,接
则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
2)易得D(3,0),CD=5•设直线AC对应的函数关系式为ykxb,
②当ED=EC时,可得E2(%*)•5分
224
③当CD二CE时,如图,过点E作EG丄CD,
3)如图,过P作PH丄OC,垂足为H,交直线AC于点Q.
设P(m,
1
m4)
2
①当0m8时,
123
112
PQ=(m2
m4)(m4)二
m22m,
42
24
'APCCPQ
APQ8(
22
(mAY1
...7分
•••os16;
8-分…
②当2m0时,
1
12312
c〜八'帖E
2
1122
SapcScpqSapq8(m2m)(m4)16
e0S20
分…•故S16时,相应的点P有且只有两个•
117
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- 二次 函数 面积 铅垂高
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