专题九 统计与概率.docx

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专题九统计与概率

专题九概　率

【知识梳理】

第一节随机事件的概率

一、事件

1．在条件S下，的事件，叫做相对于条件S的必然事件．

2．在条件S下，的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

3．在条件S下，的事件，叫做相对于条件S的随机事件．

二、概率和频率

1．用概率度量随机事件发生的能为我们决策提供关键性依据．

2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率．

3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加概率P（A），因此可以用来估计概率P（A）．

三、事件的关系与运算

文字表示

符号表示

包含关系

如果事件A，则事件B，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）

B⊇A（或A⊆B）

相等关系

若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等

并事件（和事件）

若某事件发生，则称此事件为事件A与事件B的（或和事件）

交事件（积事件）

若某事件发生发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）

互斥事件

若A∩B为事件，则事件A与事件B互斥

A∩B＝∅

对立事件

若A∩B为事件，A∪B为，那么称事件A与事件B互为对立事件

四、概率的几个基本性质

1．概率的取值范围：

2．必然事件的概率P（E）＝.

3．不可能事件的概率P（F）＝.

4．概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝

5．对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝，P（A）＝

第二节古典概型

一、基本事件的特点

1．任何两个基本事件是的．

2．任何事件（除不可能事件）都可以表示成．

二、古典概型的两个特点

1．试验中所有可能出现的基本事件只有个，即．

2．每个基本事件出现的可能性相等，即．

三、古典概型的概率公式

P（A）＝

第三节几何概型

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为．

2．几何概型的概率公式

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

P（A）＝.

【典例分析】

【例1】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

【例2】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顾客数（人）

x

30

25

y

10

结算时间

（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）．

【例3】　一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，求：

（1）取出的小球是红球或黑球的概率；

（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率．

【例4】分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

【练习】

1．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指（　　）

A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖

B．这人个每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元

C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001

D．以上说法都不正确

2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为（　　）

A.

　　　　B.

C.

D.

3.已知不等式组

表示平面区域M，若点P（x，y）在所给的平面区域M内，则点P落在M的内切圆内的概率为（　　）

A.

πB．（3－2

）π

C．（2

－2）πD.

π

4．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n则直线y＝

x与圆（x－3）2＋y2＝1相交的概率为________．

5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）＝

，P（B）＝

，则出现奇数点或2点的概率为________．

6．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：

元）关于当天需求量n（单位：

枝，n∈N）的函数解析式；

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：

枝），整理得下表：

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

频　数

10

20

16

16

15

13

10

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：

元）的平均数；

②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

7．（2012·福建高考）在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.

（1）求an和bn；

（2）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

统计、统计案例

第一节随机抽样

一、简单随机抽样：

1．简单随机抽样的概念：

设一个总体含有N个个体，从中逐个地抽取n个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．最常用的简单随机抽样方法有两种——和．

二、系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本：

（1）先将总体的N个个体；

（2）确定，对编号进行分段，当

是整数时，取k＝

；

（3）在第1段用确定第一个个体编号l（l≤k）；

（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．

三、分层抽样

1．分层抽样的概念：

在抽样时，将总体，然后按照，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．

2．当总体是由组成时，往往选用分层抽样的方法．

3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是的．

三种抽样方法的异同点：

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围

简单随机抽样

抽样过程中每个个体被抽取的机会均等

从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少

系统抽样

将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

总体中的个体数较多

分层抽样

将总体分成几层，分层进行抽取

各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

第2节用样本估计总体

一、作频率分布直方图的步骤

1．求极差（即一组数据中与的差）．

2．确定与．

3．将数据．

4．列．

5．画．

二、频率分布折线图和总体密度曲线

1．频率分布折线图：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．

2．总体密度曲线：

随着的增加，作图时增加，减小，相应的频率折线图会越来越接近于，即总体密度曲线．

三、样本的数字特征

数字特征

定　义

众数

中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据（或最中间两个数据的）叫做这组数据的中位数,在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积

平均数

样本数据的算术平均数．即

＝

（x1＋x2＋…＋xn）

方差

s2＝，

其中s为标准差

四、茎叶图

茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示．

第3节变量间的相关关系

一、变量间的相关关系

1．常见的两变量之间的关系有两类：

一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种关系．

2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为

二、两个变量的线性相关

1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有，这条直线叫

2．回归方程为

＝

x＋

，其中

＝

，

＝

－

.

3．通过求

的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

【典例分析】

【例1】　（2012·广东高考）

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．

（1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数.

分数段

[50,60）

[60,70）

[70,80）

[80,90）

x∶y

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

【例2】　（2012·福建高考）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

销量y（件）

90

84

83

80

75

68

（1）求回归直线方程

＝bx＋a，其中b＝－20，a＝

－b

；

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从

（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？

（利润＝销售收入－成本）

【练习】

1.

已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（　　）

A.

＝1.5x＋2B.

＝－1.5x＋2

C.

＝1.5x－2D.

＝－1.5x－2

2．已知x、y取值如下表：

x

0

1

4

5

6

8

y

1.3

1.8

5.6

6.1

7.4

9.3

从所得的散点图分析可知：

y与x线性相关，且

＝0.95x＋a，则a＝（　　）

A．1.30　　　　B．1.45C．1.65D．1.80

3.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝

x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）

A．－1　　　B．0C.

D．1

4．某学校在校学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下：

高一年级

高二年级

高三年级

跑步人数

a

b

c

登山人数

x

y

z

其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的

.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取（　　）

A．15个B．30人C．40人D．45人

5.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）．设甲、乙两组数据的平均数分别为

甲、

乙，中位数分别为m甲、m乙，则（　　）

A.

甲<

乙，m甲>m乙　　　　B.

甲<

乙，m甲

C.

甲>

乙，m甲>m乙D.

甲>

乙，m甲

6．已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点________.

x

1

2

3

4

5

y

1.2

1.8

2.5

3.2

3.8

7．将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝________.

8．调查某高中1000名学生的身高情况，得下表．已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏低男生的概率为0.15.

偏低

正常

偏高

女生

100

173

y

男生

x

177

z

（1）求x的值；

（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在偏高学生中抽多少名；

（3）已知y≥193，z≥193，求偏高学生中男生不少于女生的概率．