中考数学第二轮复习整点好点等问题50道.docx
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中考数学第二轮复习整点好点等问题50道
整点、美点、好点、优点问题
50题
2
x24
3
2
A【解答】Q当
x1时,y
C.
0k,
D.1剟k2
111
4
33
3;
当x
2时,
4832;当x
3时,
在第一象限内在二次函数
4的图象上和图象下方的整点有
6个,
坐标为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)
,(3,1).Q111,122,133,2
224,313,且在反比例函数y
k
(k
x
0,x0)的图象上和上方的整点有5个,
.选择题(共6小题)
1.在平面直角坐标系中,我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点,已知二次函数y
k
和反比例函数yk(k0,x0)的图象如图所示,它们围成的阴影部分(包括边界)
x
整点(1,1)不在阴影区域内,1k,2.
2.如图,点P在直线yx1上,若存在过点
P的直线交抛物线
B两点,且
A.直线
y
x
P为“优点”,下列结论中正确的是(
1上的所有点都是“优点”
B.直线
1上仅有有限个点是“优点”
C.直线
1上的所有点都不是“优点”
D.直线
1上有无穷多个点(不是所有的点)是“优点”
点,若该抛物线在A,B之间的部分与线段
AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,
2222
nm2,2nx1(2mx)2,消去n,整理得关于x的方程:
x2(4m1)x2m210
①,Q△(4m1)24(2m21)8m28m50恒成立,方程
(1)恒有实数解,QP点
的随意性,直线yx1上的所有点都是“优点”.
3.若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”,例如
2
P(1,0)、Q(2,2)都是“整点”.抛物线y
mx26mx9m2(m0)与x轴交于点A、B两
则m的取值范围是(
A.2m,1
B.2,m
C.1m
1
D.1,m
2
D【解答】由已知可得
ymx26mx9m
2
2m(x3)22,
函数的顶点是(3,2),点
(3,2),(3,1),(3,0)三点必在抛物线在
A,B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边
界)的区域内,又Q在此区域内有7个整点,必有点(2,0),(4,0),(2,1),(4,1),当点
2
(2,1)在边界上时,m1,m⋯1,ym(x3)22与x轴的交点A的横坐标1xA2,
11
2m,综上所述,1,m.
22
1
4.已知点A在函数y1(x0)的图象上,点B在直线y2kx1k(k为常数,且k⋯0)
x
上.若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1,y2图象上的一对“友好点”.请
问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为()
A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对
11
A【解答】设A(a,),由题意知,点A关于原点的对称点B(a,)在直线y2kx1k上,aa
SPOASPBCSPABSPOC,就称格点P(注:
所谓“格点”,是指平面直角坐标系中横、纵
B.197
,则正方形OABC
内部“好点”的个数为(
C.198
D.200
B【解答】设该P点的坐标为(x、
y),且0
x100、0y100并为正整数.
由题意得
2
x(100x)y(100y),x2
2
y2100(x
y)(xy)(xy100)0,
xy1000,当xy时,解得满足条件的
P点坐标有99个;当xy100
0时,解得
满足条件的P点坐标由99个;又Q(50,50)为公共交点.正方形OABC内部“好点”的个
数为99991197.
6.我们定义:
若点A在某一个函数的图象上,且点
A的横纵坐标相等,我们称点
A为这个
函数的“好点”.若关于x的二次函数
2ax
tx
2t对于任意的常数
t恒有两个
好点”,
则a的取值范围为(
A.0a1
B.0a12
C.
D.
A的横纵坐标相等,
即:
2
ax
tx
2t(a
0),△
(t
1)2
8at0,
整理得:
t2(2
8a)t10,△
(2
2
8a)2
0,解得:
二.填空题(共
6小题)
7.在平面直角坐标系中,直线y
c过y轴上的动点C,直线:
y
1
x、
4
1xc的
4
4
点B,横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象
图象分别与函数y4(x0)交于点A、
x
4
y(x0)在点B和点C之间的部分与线段OA、BC、OC围成的区域(不含边界)为S.若x
区域S内恰有4个整点,则c的取值范围是
444
c
1时,区域S内
15
的整点有(1,0),(2,0),(3,0),有3个;当直线BC:
y1xc过(1,1)时,c5,且经
44
5
过(5,0),区域S内恰有4个整点,c的取值范围是5,c1.如图2,直线BC在OA的4
k17
上方时,Q点(2,2)在函数y(x0)的图象上,当直线BC:
yxc过(1,2)时,c,
x44
111
当直线BC:
y1xc过(1,3)时,c11,区域S内恰有4个整点,c的取值范围
44
711
c,.
44
综上所述,区域S内恰有4个整点,c的取值范围是5,c1或7c,11.
444
此抛物线在点A,B之间的部分与线段
4a1(a0)交x轴于A,B两点,若
AB所围成的区域内(包括边界)有且只有8个整点
横、纵坐标都是整数的点)
,则a的取值范围是
1
【解答】Qy
16
a,设A(2
a
部分与线段AB所围成的区域内
且顶点坐标为(2,1),6
22
ax4ax4a1a(x2)1,顶点坐标为(2,1),令y0,
a
,0),B(2aa
(包括边界)有且只有
,0),Q此抛物线在点A,B之间的
8个整点(横、纵坐标都是整数的点),
9.在平面直角坐标系xOy中,
点B是x轴正半轴上的点,记
2a
a
5,1,2
aa2,解得:
91,a
1
16
我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点
AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当
A(0,4),
6时,点
B的横坐标a的取值范围是
m,
m6,点
16B的横坐标a的取值范围是:
4a
3
10.若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:
2
P(1,0)、Q(2,2)都是“整点”.抛物线ymx24mx4m2(m0)与x轴交于A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是.
122
m,1【解答】Qymx24mx4m2m(x2)22且m0,该抛物线开口向上,
2
顶点坐标为(2,2),对称轴是直线x2.由此可知点(2,0)、点(2,1)、顶点(2,2)符合题意.①当该抛物线经过点(1,1)和(3,1)时(如答案图1),这两个点符合题意.将(1,1)代入ymx24mx4m2得到1m4m4m2.解得m1.此时抛物线解析式为yx24x2.由y0得x24x20.解得x1220.6,x2223.4.x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)符合题意.则当m1时,恰好有(1,0)、(2,0)、(3,0)、(1,1)、(3,1)、(2,1)、(2,2)这7个整点符合题意.m,1.【注:
m的值越大,抛物线的开口
越小,m的值越小,抛物线的开口越大】②当该抛物线经过点(0,0)和点(4,0)时(如答案图2),这两个点符合题意.此时x轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)也符合题意.将(0,0)代入
2ymx
4mx
4m
2得到004m02.
1解得m1.
2
此时抛物线解析式为
12y2x2
2x.
当x
1时,得
1
y121
213
2
1.点(1,
1)符合题意.当x3时,
得y1
2
92
3
31.
2
点(3,
1)符合题意.
综上可知:
当
1
m时,点(0,0)、(1,0)、
2
(2,0)、
(3,0)、
(4,0)
、(1,1)
、(3,1)
、(2,2)、
(2,1)都符合题意,共有9个整点符合题
111
意,m1不符合题.m1.综合①②可得:
当1m,1时,该函数的图象与x轴所围222
成的区域(含边界)内有七个整点.
2
A(0,4),
当点B的
(用
11.在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点点B是x轴正半轴上的整点,记AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.
横坐标为4时,m的值是;当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,m含n的代数式表示)
3,
3,6n3【解答】如图,n1,即点B的横坐标为4时,整点个数为:
613
n
2,即点
B的横坐标为
8时,整点个数为:
6239,
n
3,即点
B的横坐标为
12时,整点个数为:
63315,
n
4,即点
B的横坐标为
16时,整点个数为:
64321,
所以,点B的横坐标为4n时,整点个数为6n
3.
2
12.如图,抛物线y2x24x与x轴交于点O、A,把抛物线在x轴及其上方的部分记为
C1,将C1以y铀为对称轴作轴对称得到C2,C2与x轴交于点B,若直线yxm与C1,C2
yx
m过点O、与C1相切、
过点B,与C2相切时的直线,令y
2
2x4x0,解得:
x
0或x
2,则A(2,0),B(2,0),
QC1与C2关于
y铀对称,
2
C1:
y2x4x2(x
2
1)2
2,C2关解析式为
2
y2(x1)22
2
2x24x(2剟x
0),当直线yxm过点O时,它与C1,C2共有2个
不同的交点,此时
m0;当直线与C1相切时,令xm2x24x得:
2x23xm0,
△98m0,
9
解得:
m89;当直线y
xm过点
B时,有:
02m,m2;
当直线与C2相切时,令xm2x2
4x得:
m0,△258m0,解得:
259
m,当m0或m或2,
88
285时,
直线yx
m与C1,C2共有2个不同的交点.
三.解答题(共38小题)
13.抛物线的解析式为y
行,P(m,n)是抛物线y
12
x
4
12
x21上的动点.
1,
3
D点坐标为(1,)
2
,经过点C(0,2)的直线l与x轴平
(1)求证:
P到O的距离PO等于P到直线l的距离PE;
(2)当PDO的周长最小时,求P点的坐标;
(3)求三角形PDO的面积S与m之间的函数关系式,若将“使PDO的面积为整数”的
点P记作“好点”,若4剟m4,请直接写出所有“好点”的个数.
【解答】
(1)证明:
QP(m,n)是抛物线上的动点,
12
设P(m,m1),
4
212212212
POd1m2(m21)2(m21)2m21,
点P到直线l的距离为d21m21
(2)1m21,
244
d1d2,
P到O的距离PO等于P到直线l的距离PE.
(2)解:
如图1中,过P作PM//y轴,交直线l于M.
122
Qnm21,即m24n4;
4
222
PO2n24n4(n2)2,22
PO2PM2,
即POPM;
QD点(1,
2
,则OD的长为定值;
若PDO的周长最小,则POPD的值最小;
QPOPDPDPM⋯DM,
PDPO的最小值为DM,
DM;
即当D、P、M三点共线时PDPMPOPD
此时点P的横坐标为1,代入抛物线的解析式可得
y141
3,
4,
即P(1,3).
3)解:
直线
OD的解析式为
3
x
2
12
x1
4
x3
,解得9
y
2
13
313或
2
13
313,
2
连接DM.
②如图3中,当2,m
1时,作PMy轴于
12g(
21g(14m21)(m)
12
m
8
31
m
42
M.
2
2
2)
12g(1
2
2)g1
12(1
14m2)(
m)
12
m
8
DM
x轴于
M.
313时,作
③如图4中,当1,m
2
2g1g2g1g(1
DOMPOMDMP
2)
1)
⑤如图6中,当m⋯2时,
作PM
x轴于
y轴于M.
1
2gmg22g(14m)(1m)
12
m
8
M.
4剟m4,
Q
11211
2g(4m21)(m1)2gmg(4
m21)
12
m
8
m4时,s
3
2,m
4时,S
7
478,
由此可知S的整数解为2,
3,4,对应的好点有5个.
14.定义:
在平面直角坐标系
xOy中,对于点P(x,y).若点Q(2p
x,2q
y),(其中p
q1),
则称点
Q是点P的“中心对称点”.
1)若点
Q与坐标原点重合,求y与x之间的函数关系式;
2)若点
1
P在抛物线ymx2(m0)上运动,当P时,记点
Q随点P运动而形成的图形
为T.
①求T的解析式;(用含m的代数式表示)
②规定:
横、纵坐标都是整数的点叫做整点,图形T与x轴围成的区域内(含边界)恰有6
个整点,请在坐标系中画出图形
T,并求m的取值范围.
解答】解:
(1)由题意2px
0,2qy0,
x,qy,
22
Qp
1,
1,
2,
2.
2)
①由题意Q(1x,1y),
Qy
2
mx,
2
Q(1x,1mx),
222
1mx1m(1x1)1m(1x)2m(1x)m,不妨设1xt,
22
1mxmt2mt1m,
2
Q(t,mt22mt1m),
2
T的解析式为ymt22mt1m.
②Qymt22mt1mm(t1)21,
抛物线的顶点坐标为(1,1),
Q图形T与t轴围成的区域内(含边界)恰有6个整点,
由题意4m1⋯0,解得1m,1.
9m1094
15.阅读理解:
在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做“和谐点”.如图1,矩形ABOC的周长与面积相等,则点A是“和谐点”.
尝试发现:
(1)点E(2,3),F(4,4),M(7,6),N(6,626),其中“和谐点”是4
请说明理由;
探索发现:
18
(2)如图2,若点P是双曲线y18上的“和谐点”,请求出所有满足条件的P点坐标.
x
解答】解:
(1)“和谐点”为F点和N点.
理由如下:
矩形的周长为
2(2
3)
10,矩形的面积为
2
3
6,则点E不是“和谐点”;
矩形的周长为
2(4
4)
16,矩形的面积为
4
4
6,则点F是“和谐点”;
矩形的周长为
2(7
6)
31
31,矩形的面积为
7
6
21
21,则点M不是“和谐点”;
4
2
4
2
矩形的周长为
2(6
6
26)6612,
矩形的面积为6(626)6612,则点N
是“和谐点”;故答案为点F和点N.
(2)设P(t,18)(t0),根据题意得2(t18)18,
整理得t29t180,解得t13,t26,此时P点坐标为(3,6),(6,3),
点(3,6),(6,3)关于原点的对称点为(3,6),所以“和谐点”P的坐标为(3,6),(6,3),(
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数
A(1,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知点P(n,0)(n⋯1),过点P作平行于
(6,3),
3,6),(6,3).
k
y(x0)的图象与直线y2x1交于点x
y轴的直线,交直线y2x1于点B,交函
数yk(x0)的图象于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.x
①当n3时,求线段AB上的整点个数;
k
②若yk(x0)的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内(包括边界)
x
m2113.
A(1,3).
k
Q点A(1,3)在函数y的图象上,
x
k3.
(2)①当n3时,B、C两点的坐标为B(3,7)、C(3,1).
Q整点在线段AB上
1剟x3且x为整数
x1,2,3
当x1时,y3,
当x2时,y5,
当x3时,y7,
线段AB上有(1,3)、(2,5)、(3,7)共3个整点.
2
17.已知点P(2,3)在抛物线L:
yax22axak(a,k均为常数且a0)上,L交y轴于点C,连接CP.
(1)用a表示k,并求L的对称轴;
(2)当L经过点(4,7)时,求此时L的表达式及其顶点坐标;
(3)横,纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a0时,若L在点C,P之间的部分与
线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点,求a的取值范围;
(4)点M(x1,y1),N(x2,y2)是L上的两点,若t剟x1t1,当x2⋯3时,均有y1⋯y2,直接写出t的取值范围.
解答】解:
(1)Q点P(2,3)在抛物线L:
yax22axak(a,k均为常数且a0)上,
第16页(共69页)
34a4aak,
k3a;
抛物线L的对称轴为直线x2a1,即x1;
2a
(2)QL经过点(4,7),
16a8aak7,
Qk3a,
1
8a4,解得a2,k
L的表达式为y
1x2x3;
2
4
x
2
x
1
y
Q
5
2
)
顶点坐标为(1,);
(3)顶点坐标(1,
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- 中考 数学 二轮 复习 整点 问题 50
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