上海市浦东新区高三一模数学试题.docx
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上海市浦东新区高三一模数学试题
数学试卷
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零
分.
1.设全集U0,1,2,集合A0,1,则CUA.
2.某次考试,5名同学的成绩分别为:
96,100,95,108,115,则这组数据的中位数为.
1
3.若函数fxx2,则f11.
2
4.若1i是关于x的方程x2pxq0的一个根(其中i为虚数单位,p,qR),则pq.
5.若两个球的表面积之比为1:
4则这两个球的体积之比为
xt1
6.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数,圆O的参数方程
yt
xcos为为参数,则直线l与圆O的位置关系是.
ysin
1
7.若二项式12x4展开式的第4项的值为42,则limxx2x3xn5
8.已知双曲线的渐近线方程为yx,且右焦点与抛物线y24x的焦点重合,则这个双曲线的方程是.
9.从mmN,且m4个男生、6个女生中任选2个人当发言人,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,则m.
则正确结论的序号是
A中的最大元素和最小
16.设集合S1,2,3,...,2020,设集合A是集合S的非空子集,
元素之差称为集合A的直径.那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为()
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为2的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的.
(1)求此几何体的体积;
(2)设P是弧EC上的一点,且BPBE,求异面直线FP与CA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知锐角、的顶点与坐标原点重合,始边与x轴正方向重合,终边与单位圆分别交于P、Q两点,若P、Q两点的横坐标分别为310、25.
105
(1)求cos的大小;
(2)在ABC中,a、b、c为三个内角A、B、C对应的边长,若已知角C
322
tanA,且a2bcc2,求的值.
4
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额
在3万元至6万元(包括3万元和6万元)的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件:
①补助款fx(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加;②补助款不xb
低于原纳税额x(万元)的50%.经测算政府决定采用函数模型fxxb4(其中
4x
b为参数)作为补助款发放方案.
(1)判断使用参数b12是否满足条件,并说明理由;
2)求同时满足条件①、②的参数b的取值范围.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
2x2
在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆:
2y21a0的左、右焦点,a
直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且AF1AF222.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线l经过椭圆的右焦点F2,P,Q是椭圆上两点,四边形ABPQ是菱形,求直线l的方程;
(3)已知直线l不经过椭圆的右焦点F2,直线AF2,l,BF2的斜率依次成等差数列,求直线l在y轴上截距的取值范围.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若数列an对任意连续三项ai,ai1,ai2,均有aiai2ai2ai10,则称该数列
为“跳跃数列”.
(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列:
①等差数列:
1,2,3,4,5,;
1111
②等比数列:
1,1,1,1,1;
24816
(2)若数列an满足对任何正整数n,均有an1a1ana10.证明:
数列an是跳跃数列的充分必要条件是0a11.
3)跳跃数列an满足对任意正整数n均有an1
19an2
5
,求首项a1的取值范围
数学答案
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分.
1.设全集U0,1,2,集合A0,1,则CUA2.
2.某次考试,5名同学的成绩分别为:
96,100,95,108,115,则这组数据的中位数为100.
1
3.若函数fxx2,则f111.
4.若1i是关于x的方程x2pxq0的一个根(其中i为虚数单位,p,qR),则pq0.
5.若两个球的表面积之比为1:
4则这两个球的体积之比为1:
8.
xt1
6.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数,圆O的参数方程
yt
xcos
为为参数,则直线l与圆O的位置关系是相交.
ysin
1
7.若二项式12x展开式的第4项的值为42,则limxx2x3xn5.n
8.已知双曲线的渐近线方程为yx,且右焦点与抛物线y24x的焦点重合,则这个双曲线的方程是__2x22y21.
10.已知函数fx为{1}.
9.从mmN,且m4个男生、6个女生中任选2个人当发言人,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,则m10.
22
x2alog2x22a2的零点有且只有一个,则实数a的取值集合
11.如图,在ABC中,
CD上一点,且满足AP
33
,则AP的最小值为2
2
12.已知数列an,bn满足a1b1
1,对任何正整数n均有an1anbnan2bn2,
2211
bn1anbnanbn,设cn3,则数列cn的前2020项之和
anbn
为.
解】an1bn12an+bnanbn2n,
则正确结论的序号是
16.设集合S1,2,3,...,2020,设集合A是集合S的非空子集,A中的最大元素和最小
元素之差称为集合A的直径.那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为(C)
A.711949B.2701949C.270371949D.270721949
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为2的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的.
(1)求此几何体的体积;
(2)设P是弧EC上的一点,且BPBE,求异面直线FP与CA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
设异面直线FP与CA所成的角为,则
62
.⋯⋯⋯⋯(13分)
4
62
所以,异面直线FP与CA所成角为arccos.⋯⋯⋯⋯(14分)
4
18.(本题满分
14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
的顶点与坐标原点重合,始边与x轴正方向重合,终边与单位圆分别交
2)在ABC中,a、b、c为三个内角A、B、C对应的边长,若已知角C
3tanA,
且a2
bc
c2,求的值
4
【解答】
(1)
由已知
cos=
310
,sin=
10,
25
cos
sin
5⋯
⋯⋯⋯(2分)
10
10
5
5
因而cos(+
)=cos
cos
sinsin
310
2510
5
2⋯⋯
⋯⋯(6分)
10
510
5
2
(2)法一:
(
正弦定理)由已知,C
cosC
2,sinC
sinC
2
.(7分)
4
2
2
sinBsin(AC)
sin(4
A)5322
4272
(10分)
5
210
91
2222
acsinAsinC2521
bcsinBsinC7225
102
法二:
(余弦定理)a2c2b22bccosA,
因而由已知得b22bccosA=
bc
b24c
5
b8sinB
8
72
108
1
c
c5sinC
5
25
2
5
法三:
(余弦定理、正弦定理)
cosB
cos(C)
4
2
10
b2a2
因而由余弦定理得:
b2a2
c2a2
2
c2ac
2
b22ab
cosB
a
cosC
ccosBbcosC
2
c
10
2b
2
同解法
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额
在3万元至6万元(包括3万元和6万元)的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件:
①补助款fx(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加;②补助款不xb
低于原纳税额x(万元)的50%.经测算政府决定采用函数模型fxxb4(其中4x
b为参数)作为补助款发放方案.
(1)判断使用参数b12是否满足条件,并说明理由;
(2)求同时满足条件①、②的参数b的取值范围.
解答】
(1)法一:
因为当b12时,
f3
33
,所以当b12时不满足条件②
42
法二:
由条件②可知fxx
12
41x
⋯⋯⋯⋯(6分)
x4,12.
4
x
2
因为34,12,所以当b12时不满足条件②.⋯⋯⋯⋯(6分)
x12
法三:
由条件②可知fx在3,6上恒成立,所以bx24x
24max
39
解得b,所以当b12时不满足条件②.⋯⋯⋯⋯(6分)
4
(注:
如果证明了当b12时满足条件①得2分)
2)法一:
由条件①可知,
x在3,6上单调递增,则对任意3x1x26时,
有f(x1)f(x2)
x1b
4x2b
4
(x1x2)x1x24b0恒成立,
4x1
4x2
4x1x2
即x1x24b0
b1
x1x2恒成立,所以
b
9;⋯⋯⋯
⋯(10分)
4
4
由条件②可知,f
xx,
xb
即不等式
4
1x在3,6
上恒成立,
2
4x
2
10分)
939
14分)
综上,参数b的取值范围是4,349
xb
法二:
由条件①可知,fx4在3,6上单调递增,
4x
所以当b0时,满足条件;当b0时,得2b39b0,
4
39
4
13分)
939
14分)
综上,参数b的取值范围是49,349
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小
题满分6分.
2
在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆:
2y21a0的左、右焦点,a2
直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且AF1AF222.
1)求椭圆的方程;
(2)已知直线l经过椭圆的右焦点F2,P,Q是椭圆上两点,四边形ABPQ是菱形,求直线l的方程;
(3)已知直线l不经过椭圆的右焦点F2,直线AF2,l,BF2的斜率依次成等差数列,求直线l在y轴上截距的取值范围.
【解答】
(1)由AF1+AF2=22可得2a22,从而a2,
2
椭圆方程为xy21.⋯⋯⋯⋯(4分)
2
(2)由于四边形ABPQ是菱形,因此AB//PQ且|AB||PQ|.
设l:
x
1my,与椭圆方程联立可得(m2
2)y22my
10,设,因此
2m
1.⋯⋯
y1y2
2,y1y2
2.⋯⋯
⋯⋯(8分)
m22
m22
2
22
m212m2
由x1x2
y1y20,可得(m
1)y1y2m(y1
y2)1
2210,
m22m22
解得m
2,即直线方程为
x2y1
0.⋯⋯⋯⋯
(10分)
相互垂直,可得APBQ,即OAOB.
(6分)
(3)设l:
ykxb,由k1k2
y1
2k,可得1
x11
y2
x21
2k,
即kx1bkx2b
2k.
x11x21
化简可得2kx1x2(b
k)(x1x2)
2b2k(x11)(x2
1),
即(bk)(x1x22)
0.
若bk0,则l:
y
kxk经过
F2,不符,因此x1
x22.
⋯⋯⋯⋯(12分)
联立直线与椭圆方程,
(2k21)x2
4kbx(2b22)
0.
因为8(2k2b2
1)0①
4kb
2k21
由x1x22
2,可得,
b②⋯
(14分)
122k21
2k
将②代入①,
222111
4k22k21,k2;再由b(2k),
22k
可得,b(
22)(22,).⋯⋯⋯⋯(16分)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若数列a
n对任意连续三项ai,ai1,ai2,均有
aiai2ai2ai10,则称该数列
为“跳跃数列”
(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列:
①等差数列:
1,2,3,4,5,;
②等比数列:
1111
;
1,2,4,8,16;
(2)若数列
an满足对任何正整数n,均有an1
a1ana10.证明:
数列an是跳跃数
列的充分必要条件是0a11.
(3)跳跃数列
an满足对任意正整数n均有an1
19an2
n,求首项a1的取值范围.
5
解答】
(1)①等差数列:
1,2,3,4,5,...不是跳跃数列;⋯⋯⋯⋯(2分)
1111
②等比数列:
1,,,,,...是跳跃数列.⋯⋯⋯⋯(4分)
24816
2)必要性:
若a11,则an是单调递增数列,不是跳跃数列;
若a1
1,
an是常数列,不是跳跃数列.
⋯⋯⋯⋯(6分)
充分性:
下面用数学归纳法证明:
若0
a1
1
,则对任何
a2n1
a2n
1a2n,a2na2n2
a2n1成立.
(1)
当n
1时,,a2a1a1a1
1
1a1,a
3a1
a2
a1a1
a2,
Qa2
a1a1
a21
1,a3a12a1
a1,a2
a3
a1
⋯⋯(8分)
Qa2
a3
aaa
a1,a12a13a11
a3a4
a2,所以
n
1命题成立⋯⋯
(2)
若n
k时,a2k1a2k1
a2k,a2k
a2k2
a
2k1
正整数n,均有
(9分)
则aa2kaa2k2aa2k1,a2k1a2k3a2k2,
a2k1a2k3a2k2
aaa,a2k2a2k4a2k
3,所以当nk1时命题也成立
(10
分)
根据数学归纳法,可知命题成立,数列满足
ai
ai2ai2ai10,故an是跳跃数
列.
3)
an1
an119an25an,
5
an2
an1
12
an5an19
125
19
2
an
5an,
(11分)
an2
an
1
125an
an
19
2
an
5an
(12分)
[1]若an1
an,则
an1
an
an
,此时
an
5101
2;
2
(14分)
[2]若an1
an,则
an1
an
an
,此时
an
3,52101;
2
(16分)
若an
101,2,则
2
an1
19an2
5
3,52
101,所以an2,2.
若an
3,5101,则
2
an1
19an2
5
2,2,所以an3,21.
所以a1
2,2U3,21,
此时对任何正整数n,均有an
2,2U
3,21
(18分)
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