《课题学习猜想证明与拓广》课堂教学案例.docx
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《课题学习猜想证明与拓广》课堂教学案例
《课题学习---猜想、证明与拓广》教学案例
甘肃农业大学附属中学(730070)滕汉千
课时安排
2课时
教学设计思路
本课题学习中的课题背景是:
是否存在一个矩形,其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍。
探索活动从学生熟悉的简单情形出发,引导学生逐步思考一个个看似简单但又具有挑战性的问题,不断经历判断、选择、综合运用二次方程、方程组、韦达定理、一元二次方程根的判别式理论等知识的过程,在探索中学数学,体验以循序渐进的数学方式来研究数学。
本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题,主要意图不在于回答一些具体问题,而是提供一个思考、探究的平台,在活动中体现归纳、猜想、综合和拓展的能力,感悟处理问题的策略和方法,积累数学活动的经验。
在内容设计上,教科书为学生自主探索留有较大空间:
通过“做一做”积累经验,通过“想一想”诱导发现,“议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性,不同的学生可以找到自己感兴趣的问题,在“读一读”中引出两种思路,对问题的解决有很大的启发性。
教学时要为学生提供充分思考和交流的空间,鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法,可以采用小组合作的方法进行教学,注意问题的连贯性和前后内容的一致性,引导学生分类研究,由特殊到一般,启发学生发现更具一般性的结论,寻找一般性的解决方法,对不同学生有不同要求,分层教学,渗透处理问题的策略和方法。
第一课时
课题
课题学习——猜想、证明与拓广
(一)
教学目标
(一)教学知识点
1.探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍、3倍、…、n倍”的议题。
2.探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍、
倍、…、
倍”的议题。
3.探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍(m,n∈
)”的议题。
(二)能力训练要求
1.经历猜想、证明、拓广的过程,增强问题意识和自主探索的意识。
2.在问题解决的过程中综合运用所学知识,体会知识之间的内在联系,形成对数学的整体性认识。
3.在探究过程中,感受由特殊到一般、由一般到推广的思维过程,体会证明的必要性。
4.在合作交流中扩展思路,发展学生的推理能力和发散思维能力。
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动,积极思考并与同学合作交流.
2.获得成功的体验和深入探索的经历,增强运用数学的信心。
教学重点
探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍、3倍、…、n倍,
倍、
倍、…、
倍,进一步拓广到
倍(m,n∈
)”,从而获得解决问题的方法和途径。
教学难点
从特殊到一般,启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论,寻求一般性的解决方法。
教学方法
自主探索——合作交流.
教具准备
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设情境问题,搭建探究平台
[问题1]任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?
你是怎样做的?
你有哪些解决方法?
你能提出新的问题吗?
请大家结合自己学过的知识,认识思考问题1,并谈谈你自己的想法。
(针对中等偏下学生提问)
[生1]我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.理由如下:
若给定的正方形的边长是1,则它的周长是4,面积是1,另一个正方形周长变成它的2倍,即周长变为4×2=8,面积则变成了(
)2=4,即这个正方形的面积是原来正方形面积的4倍.
[师]很好。
哪位同学有不同方法?
[生2]若另一个正方形面积变成原正方形的2倍,即面积变为2.则这个正方形周长变为4
。
[师]非常好。
同学们可在小组内讨论交流,看还有没有其他方法来说明。
[组1]我们组找了几个已知的正方形,都不存在另一个正方形,它的周长和面积是已知正方形周长和面积的2倍。
[师]可以。
[组2]由于所有的正方形都相似,若要使两个正方形的周长之比为1比2,即相似比为1比2,从而它们的面积比为1比4,所以不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。
[师]很好。
[组3]设已知给定的正方形的边长为a,则其面积为a2,周长为4a,若周长倍增,即周长变为8a正方形的边长变为2a.面积变为4a2.不符合要求;若面积倍增,即面积变为2a2,正方形的边长变为
,周长变为
,不符合要求,即无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形。
(学生热烈的掌声)
[师]太好了。
由此你还能得出别的结论吗?
(学生沉思片刻)
[生1]此结论中的2倍变为3倍时有相同的结论。
[生2]此结论中的2倍变为变为3倍、4倍、…、n倍等时有相同的结论。
(学生热烈的掌声)
[师]很好。
哪位同学还有不同想法?
(教师可做提示)
[生2]将问题1中的正方形改为正三角形,有相同的结论。
(学生热烈的掌声)
[生3]将问题1中的正方形改为正多边形角形,有相同的结论。
(学生热烈的掌声)
[师]很好!
我们举几个特例猜想这样的正方形不存在,又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在.同学们已经历丁—一个数学问题的解决过程,又将其拓展为更为一般的结论:
“任意给定一个正n边形形,不存在另一个正n边形,它的周长和面积分别是已知正n边形周长和面积的k(k≠1)倍”。
但如果将问题1再拓展,正n边形不具有这样的特点,我们学过的其他图形,如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢?
请看下面的另一个问题。
[问题2]任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
Ⅱ.展示思维过程,构建探究空间
[师]你是如何思考问题2的?
(教师引导)矩形的形状太多了,我们可以先来研究一个具体的。
多媒体演示:
做一做
如果已知矩形的长和宽分别是2和1.结论会怎样呢?
你是怎么做的?
与同伴交流。
[生1]已知矩形的长和宽分别是2和1,则其周长和面积分别为6和2,则所求矩形的周长和面积分别为12和4。
可以先固定所求矩形的周长:
周长为12的矩形很多,它们的长和宽可以是5和1,4和2,3和3,也可以是和
……其中是否有面积为4的呢?
我们可以去尝试着找一下。
(教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测)
[生2]没找到。
[生3]这样找太费劲。
我找了半天,也没有找到.我们不妨先固定所求矩形的面积:
面积为4的矩形也有很多,它们的长和宽可以为1和1,2和2,
和8,…….其中是否有周长为12的?
可以再试一下。
[生4]我还没有找到,是不是不存在?
[生5]我也没找到,但我觉得应该能找到,我刚才设面积为4的矩形的长和宽都是正有理数,长和宽是否会是正无理数时,才能使周长为12呢?
[师]这位同学大胆的猜想倒给了我们一个启示:
如果长和宽是无理数,那可就不好找了,我们不要一个一个去排查,这样做既耗时又费力,结果还难寻求,是否可以借助于我们以前学过的方程的知识来解决呢?
请同学们认真思考。
[生6]如果先固定矩形的周长,周长为12.则矩形的长和宽的和为6.设长为x,则宽为6-x.只要x的取值使x与6-x的积是4.即x(6-x)=4这个方程有解且x>0,则这样的矩形就存在。
[师]这个思路很好,我们一起解一下x(6-x)=4,整理,得x2-6x+4=0.解得x1=3+
x2=3-
.由此可知这样的矩形存在,且它的长和宽分别为3+
,3-
。
[师]还有别的思路吗?
[生7]如果先固定矩形的面积,面积为4,则矩形的长和宽的积为4,设长为x,宽就为
,只要x的取值使长和宽的和为6即x+
=6这个方程有解且x>0,则这样的矩形存在。
解x+
=6得x1=3+
x2=3-
所以这样的矩形存在,长为3+
,宽为3-
。
[生8]其实可以直接设所求矩形的长和宽分别为x和y,则
根据韦达定理,可知x,y是方程z2-6z+4=0的解,方程的解为3+
,3-
。
所以矩形的长和宽分别为3+
,3-
。
[师]我们通过以上研究,知道了已知矩形的长和宽为2和1时,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.判断这样的矩形存在与否,主要是看上述方程z2-6z+4=0有没有正实数根,即其判别式是否非负、两根之和是否为正、两根之积是否为正。
下面我们再对几种特殊情形进行验证。
议一议
当已知矩形的长和宽分别为3和1时,是否还有相同的结论?
已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,…,n和1呢?
请同学们在小组内讨论。
[生]当已知矩形的长和宽分别为3和1时,可以设所求矩形的长和宽分别为x、y,则
根据韦达定理,可知x,y是方程z2-8z+6=0的解,此方程⊿=64-24>0,所以当已知矩形的长和宽分别为3和1时,还有相同的结论,即存在一个矩形的周长和面积是原矩形的2倍.[当然可以解得
(其中x>y)]
[生]我们组也验证出了当已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1时,结论仍成立。
[师]当已知矩形的长为n(n为任意正数),宽还为1,结果如何呢?
[生]同样道理,可以设所求矩形的长和宽为x,y,则
根据韦达定理,可知x,y是方程z2-2(n+1)z+2n=0的解,此方程⊿=
>0,即存在一个矩形的周长和面积是原矩形的2倍.[当然可以解得
(x>y),]
即上述结果仍成立.
[师]你能推广到更一般的情况吗?
[生]更一般地,当已知矩形的长和宽分别为n和m时,结论仍成立.
[师]如何验证呢?
[生]同样可设所求矩形的长和宽分别为x、y,则
根据韦达定理,可知x,y是方程
z2-2(n+m)z+2nm=0的解,此方程
⊿=
>0,即存在一个矩形的周长和面积是原矩形的2倍.[当然可以解得
(x>y),]
即已知矩形的长和宽分别为n和m时可以找到一个矩形,它的面积和周长都是已知矩形的2倍,并且所求矩形的长和宽分别为m+n+
和m+n-
。
[师]也就是说任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
[师]你还能将此问题推广到更一般的情况吗?
[生1]“任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍、4倍、5倍、…、k倍.”
[生2]“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍、
倍、…、
倍。
”
[生3]“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍(m,n∈
)。
”
[师]上述结论是否存在,请同学们在课后大胆猜想,并利用方程是否有正实根的结论来判断你的猜想。
下节课把你的结论及理由展示给大家。
Ⅲ.课时小结
这节课我们经历了猜想与证明的过程,由特殊到一般结合方程、方程组、韦达定理、一元二次方程根的判别式理论等知识研究了上述得出了结论;任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.在活动中,感悟处理问题的策略和方法,积累了一定的数学活动经验.利用此方法解决推广问题。
Ⅳ.课后作业
一、习题P153第1、3题。
二、研究推广理论。
1、“任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍、4倍、5倍、…、k倍.”
2、“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍、
倍、…、
倍。
”
3、“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍(m,n∈
)。
”
板书设计
课题学习——猜想、证明与拓广
(一)
[问题1]任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?
[结论1]任意给定一个正n边形,不存在另一个正n边形,它的周长和面积分别是已知正n边形周长和面积的k(k≠1)倍。
[问题2]任意给定一个矩形,是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
[问题3]任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍、4倍、5倍、…、k倍.
[问题4]任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍、
倍、…、
倍。
[问题5]任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的
倍(m,n∈
)。
[结论2]任意给定一个矩形,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍(k为正数)。
策略:
(1)先考查一些简单的、特殊的情形;
(2)发现规律,再讨论一般情形;
(3)发现方法后再推广;
(4)最后得出结论。
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