全国名校高考数学经典复习题汇编附详解专题参数方程.docx

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全国名校高考数学经典复习题汇编附详解专题参数方程

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：

参数方程

1．直线

（t为参数）的倾斜角为（　　）

A．70°　　　　　　　　B．20°

C．160°D．110°

答案　B

解析　方法一：

将直线参数方程化为标准形式：

（t为参数），则倾斜角为20°，故选B.

方法二：

tanα＝

＝

＝tan20°，∴α＝20°.

另外，本题中直线方程若改为

，则倾斜角为160°.

2．若直线的参数方程为

（t为参数），则直线的斜率为（　　）

A.

B．－

C.

D．－

答案　D

3．参数方程

（θ为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　A

解析　参数方程

（θ为参数）表示的曲线的普通方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝4，这是圆心为（－3，4），半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.

4．（全国名校·皖南八校联考）若直线l：

（t为参数）与曲线C：

（θ为参数）相切，则实数m为（　　）

A．－4或6B．－6或4

C．－1或9D．－9或1

答案　A

解析　由

（t为参数），得直线l：

2x＋y－1＝0，由

（θ为参数），得曲线C：

x2＋（y－m）2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即

＝

，解得m＝－4或m＝6.

5．（全国名校·安徽，理）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是

（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）

A.

B．2

C.

D．2

答案　D

解析　由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝

，故弦长＝2

＝2

.

6．（全国名校·北京朝阳二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4

·sin（θ＋

），则直线l和曲线C的公共点有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．无数个

答案　B

解析　直线l：

（t为参数）化为普通方程得x－y＋4＝0；

曲线C：

ρ＝4

sin（θ＋

）化成普通方程得（x－2）2＋（y－2）2＝8，

∴圆心C（2，2）到直线l的距离为d＝

＝2

＝r.

∴直线l与圆C只有一个公共点，故选B.

7．在直角坐标系中，已知直线l：

（s为参数）与曲线C：

（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|＝________．

答案　

解析　曲线C可化为y＝（x－3）2，将

代入y＝（x－3）2，化简解得s1＝1，s2＝2，所以|AB|＝

|s1－s2|＝

.

8．（全国名校·人大附中模拟）已知直线l的参数方程为

（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＋2sinθ＝0，若在圆C上存在一点P，使得点P到直线l的距离最小，则点P的直角坐标为________．

答案　（

，－

）

解析　由已知得，直线l的普通方程为y＝－

x＋1＋2

，圆C的直角坐标方程为x2＋（y＋1）2＝1，在圆C上任取一点P（cosα，－1＋sinα）（α∈[0，2π）），则点P到直线l的距离为d＝

＝

＝

.∴当α＝

时，dmin＝

，此时P（

，－

）．

9．（全国名校·衡水中学调研）已知直线l的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.

（1）求曲线C的参数方程；

（2）当α＝

时，求直线l与曲线C交点的极坐标．

答案　

（1）

（φ为参数）

（2）（2，

），（2，π）

解析　

（1）由ρ＝2sinθ－2cosθ，

可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，

化为标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2.

曲线C的参数方程为

（φ为参数）．

（2）当α＝

时，直线l的方程为

化为普通方程为y＝x＋2.

由

解得

或

所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为（2，

），（2，π）．

10．（全国名校·课标全国Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是

（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝

，求l的斜率．

答案　

（1）ρ2＋12ρcosθ＋11＝0

（2）

或－

解析　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

（2）在

（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

＝

.

由|AB|＝

得cos2α＝

，tanα＝±

.

所以l的斜率为

或－

.

11．（全国名校·江苏，理）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

（t为参数），曲线C的参数方程为

（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

答案　

解析　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.

因为点P在曲线C上，设P（2s2，2

s），

从而点P到直线l的距离d＝

＝

.

当s＝

时，smin＝

.

因此当点P的坐标为（4，4）时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值为

.

12．（全国名校·湖南省五市十校高三联考）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为

（t为参数），直线l与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B.

（1）若α＝

，求线段AB的中点的直角坐标；

（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求

|PA|·|PB|的值．

答案　

（1）（

，

）　

（2）

解析　

（1）由曲线C：

（θ为参数），可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝

时，直线l的参数方程为

（t为参数），

代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝6，

所以线段AB的中点对应的t＝

＝3，

故线段AB的中点的直角坐标为（

，

）．

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得（cos2α－sin2α）t2＋6tcosα＋8＝0，

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|

|

＝|

|，

由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝

.

13．（全国名校·东北三省四市二模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是

（t为参数）．

（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若曲线C2的参数方程为

（α为参数），曲线C1上的点P的极角为

，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值．

答案　

（1）x2＋y2－4x＝0，x＋2y－3＝0　

（2）

解析　

（1）由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，

又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，

由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.

（2）因为点P的极坐标为（2

，

），直角坐标为（2，2），

点Q的直角坐标为（2cosα，sinα），

所以M（1＋cosα，1＋

sinα），

点M到直线l的距离d＝

＝

|sin（α＋

）|，

当α＋

＝

＋kπ（k∈Z），即α＝

＋kπ（k∈Z）时，点M到直线l的距离d的最大值为

.

14．（全国名校·天星大联考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2

cos（θ＋

），若直线l与曲线C交于A，B两点．

（1）若P（0，－1），求|PA|＋|PB|；

（2）若点M是曲线C上不同于A，B的动点，求△MAB的面积的最大值．

答案　

（1）

（2）

解析　

（1）ρ＝2

cos（θ＋

）可化为ρ＝2cosθ－2sinθ，将

代入，得曲线C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.将直线l的参数方程化为

（t为参数），代入（x－1）2＋（y＋1）2＝2，得t2－

t－1＝0，设方程的解为t1，t2，则t1＋t2＝

，t1t2＝－1，

因而|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|

＝

＝

.

（2）将直线l的参数方程化为普通方程为2

x－y－1＝0，设M（1＋

cosθ，－1＋

sinθ），

由点到直线的距离公式，得M到直线AB的距离为

d＝

＝

，

最大值为

，由

（1）知|AB|＝|PA|＋|PB|＝

，因而△MAB面积的最大值为

×

×

＝

.

1．（全国名校·山西5月联考改编）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数，φ∈[0，

]），直线l与⊙C：

x2＋y2－2x－2

y＝0交于M，N两点，当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．

答案　[

，4]

解析　将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，

（2＋tcosφ）2＋（

＋tsinφ）2－2（2＋tcosφ）－2

（

＋tsinφ）＝0，

整理得，t2＋2tcosφ－3＝0，

设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3，

∴|MN|＝|t1－t2|＝

＝

，

∵φ∈[0，

]，∴cosφ∈[

，1]，∴|MN|∈[

，4]．

2．（全国名校·陕西省西安地区高三八校联考）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：

（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．

答案　

（1）x2＋y2－2y＝0（或x2＋（y－1）2＝1）　

（2）（

，

）

解析　

（1）由ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π），可得ρ2＝2ρsinθ.

因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0（或x2＋（y－1）2＝1）．

（2）因为直线l的参数方程为

（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程为y＝－

x＋5.

因为曲线C：

x2＋（y－1）2＝1是以（0，1）为圆心，1为半径的圆，设点D（x0，y0），且点D到直线l：

y＝－

x＋5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：

y＝－

x＋5平行，

即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，即

×（－

）＝－1.①

因为x02＋（y0－1）2＝1，②

由①②解得x0＝－

或x0＝

，

所以点D的直角坐标为（－

，

）或（

，

）．

由于点D到直线y＝－

x＋5的距离最短，所以点D的直角坐标为（

，

）．

3．（全国名校·课标全国Ⅰ）已知曲线C：

＋

＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

思路　（1