高途课堂初中数学知识手册1.docx
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高途课堂初中数学知识手册1
数学知识手册
书山有路勤为径学海无涯苦作舟
CONTENTS
03数学·空间与平面几何
14坐数学·标系与函数
16数学·统计与概率
17数学·数与试
23数学·方程与不等式
亲爱的初中Th
该是你展翅高飞的时刻了
阳光在稀疏的树干下挥洒入眼的光刺痛瞳目即便前路坎坷但你要勇敢
退缩的懦夫成千上万唯独你要做披着铠甲的战士
纵使遍地荆棘也要勇往直前
记住成长路上的每份经历都是青春的礼物中考亦是只是有的礼物包装得不那么精美
但你要相信世界不会亏欠每一个努力的人只要你能带着信心给自己足够的时间
用心地拆开它一定会发现包裹在里面的丰盛和美好
成长的意义就在于
不断的尝试和探索不断的失败又重来
即使开始时会有些慌乱也要坚强勇敢执着奔放
只待修炼出坚实的羽翼展翅飞向更宽广美好的世界
奋斗吧唯有奋斗的人Th才不会留下遗憾这场没有硝烟的战争你能依靠的只有自己
以后的路还很长很长每一步都会比现在更好
高途课堂真挚地祝福你
能够在人Th的每场考试中都取得佳绩比心~
初中数学知识手册
几何图形初步
几何图形:
长方体、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等,以及小学学习过的三角形,四边形等,都是从形形色色的物体外形中得出点,它们都是几何图形。
立体图形:
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。
图形
几何展开图:
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
体:
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
几何体也简称体。
面:
包围着体的是面。
线:
夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线,节日的焰火画出的曲线组成优美的图案,这些都给我们以线的形象。
点:
天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象。
线和线相交的地方是点。
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
简单说成:
两点确定一条直线。
相交:
当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交。
直线
射线
线段
交点:
两条直线相交,公共点叫做它们的交点。
尺规作图:
在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图。
中点:
一个点把线段分成相等的两条线段,那么这个点就叫做该线段的中点。
两点的所有连线中,线段最短。
简单说成:
两点之间,线段最短。
距离:
连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。
03
角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边。
度:
把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°。
分:
把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1'。
角秒:
把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1"。
角的平分线:
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线。
余角:
一般地,如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角。
补角:
如果两个角的和等于(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角。
关于补角的性质:
同角(等角)的补角相等。
关于余角的性质:
同角(等角)的余角相等。
相交线与平行线
∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补),具有这种关系的两个角,互为邻补角。
∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角。
对顶角相等。
当∠α=90°时,我们说a和b互相垂直,记作a⊥b。
相交线
04
初中数学知识手册
垂直是相交的一种特殊情形,两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:
垂线段最短。
相交线点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
看图中∠1和∠5,这两个角分别在直线AB,CD的同一方(上方),并且都在直线EF的同侧(右侧),具有这种位置关系的一对角叫做同位角。
再看图中∠3和∠5,这两个角都在直线AB,CD之间,并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧,∠5在直线EF右侧),具有这种位置关系的一对角叫做内错角。
图中∠3和∠6也都在直线AB,CD之间,但它们在直线EF的同一旁(左侧),具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
在同一平面内,当直线a与直线b不相交时,我们说直线a与b互相平行,记作a//b。
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线及其判定
由平行公理,进一步可以得到如下结论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行。
判定两条直线平行方法1:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
简单说成:
同位角相等,两直线平行。
判定两条直线平行方法2:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
简单说成:
内错角相等,两直线平行。
判定两条直线平行方法3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简单说成:
同旁内角互补,两直线平行。
05
平行线性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:
两直线平行,同位角相等。
平行线的性质
平行线性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
简单说成:
两直线平行,内错角相等。
平行线性质3:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:
两直线平行,同旁内角互补。
命题:
判断一件事情的语句,叫做命题。
真命题:
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题。
假命题:
如果题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题。
定理:
如果命题的正确性是经过推理证实的,那么这样得到的真命题叫做定理。
证明:
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做证明。
平移平移:
把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,这图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动,叫做平移。
三角形
多边形:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形及其内角和
对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
正多边形:
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
多边形内角和公式:
n边形内角和等于(n-2)×180°。
多边形外角和等于360°。
三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°。
直角三角形的两个锐角互余。
与三角形有关的角
由三角形内角和定理可得:
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的外角:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
一般地,由三角形内角和定理推到可以得出结论:
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
06
初中数学知识手册
三角形:
由不在同一条直线上的三条线段段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形。
一般地,我们有三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边。
高:
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做
△ABC的边BC上的高。
与三角形有关的线段
中线:
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形的重心:
三角形的三条中线相交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线。
07
全等三角形
全等形:
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三
角形
全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等。
三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。
三角形全等的判定
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”
或“AAS”)。
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。
角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
轴对称
如果一个平面图形沿一个直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
轴对称垂直平分线:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
08
初中数学知识手册
垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
轴对称
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
等腰三角形性质1:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
等腰三角形性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
(简写成“三线合一”)。
等腰三角形
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”)。
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
勾股定理
勾股
定理
命题1:
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b斜边长为c,那么a²+b²=c²。
勾股定理:
命题1与直角三角形的边有关,我国把它称为勾股定理。
命题2:
如果三角形的三边长分别为a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理
命题1与命题2的题设、结论正好相反。
我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
勾股定理的逆命题是正确的,它也是一个定理。
我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。
09
平行四边形
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分。
两条平行线之间的距离:
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离。
平行四边形
平行四边形的判定定理:
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半。
矩形:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形。
矩形性质:
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等。
直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
特殊的平行四边形
矩形的判定定理:
(1)对角线相等的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形性质:
(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
菱形判定定理:
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(2)四条边相等的四边形是菱形。
正方形:
四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形。
10
初中数学知识手册
图形的旋转
图形的
旋转
中心对
称
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
对应点:
如果图形上的点P经过旋转变为点P’,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心(简称中心)。
这两个图形再旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称图形:
把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
圆
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
半圆:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
等圆:
能够重合的两个圆叫做等圆。
等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
圆的有关性质
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
圆心角:
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角。
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论:
(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
11
图形的
旋转
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补。
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d,则有:
点P在圆外:
d>r
点P在圆上:
d=r
点P在圆内:
d 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。 反证法: 不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。 这种方法叫做反证法。 点和圆直线和圆的位置关系 直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。 直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。 直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离。 根据直线和圆相交,相切,相离的定义,容易得到: 设⊙O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,则有: 直线l和⊙O相交: d d=r直线l和⊙O相离: d>r 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过其切点的半径。 切线长: 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长。 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。 正多边形和圆 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,包括外离和内含。 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,包括外切和内切。 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 我们把一个正方形的外接圆的圆心叫做这个正方形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 弧长和扇形面积 扇形: 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 母线: 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体,我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 12 初中数学知识手册 相似与三视图 图形的 相似 相似图形: 我们把形状相同的图形叫做相似图形。 相似多边形: 两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似比: 相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似三角形: 如果两个三角形中,三个角分别对应相等,三条边分别对应成比例,我们就说这两个三角形相似。 平行线分线段成比例: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。 相似三 角形 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 判定三角形相似的定理: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)三边成比例的两个三角形相似; (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似; (4)两角分别相等的两个三角形相似。 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形对应线段的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 位似如果一个图形上的点A,B,...,P,...和另一个图形上的点A′,B′,...,P′,...分别对应,并且 他们的连线AA′,BB′,...PP′,...都经过同一点O,个图形叫位似图形,点O是位似中心。 OA′OA= ′ =...= OB ′ =...,那么这两 OP 一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。 投影平行投影: 由平行光线形成的投影叫做平行投影。 中心投影: 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影。 正投影: 投影线垂直于投影面产Th的投影叫做正投影。 视图: 当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图。 三视图 对一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内进行正投影: 在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图; 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图。 画三视图时,三个视图都要放在正确的位置,并且注意主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等。 13 平面直角坐标系 有序数对: 我们把这种有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对,记做(a,b)。 平面直角坐标系: 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。 横轴: 在平面直角坐标系中,水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向。 平面直角坐标系 纵轴: 在平面直角坐标系中,垂直于水平的数轴称为y轴或纵轴,习惯上取向上为正方向。 坐标轴: 横轴与纵轴统称为坐标轴。 原点: 在平面直角坐标系中,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 若存在一个点,由A点分别向x轴和y轴作垂线,垂线交于x轴上的坐标为a,垂线交于y轴上的坐标为b,我们说点A的横坐标是a,纵坐标是a,有序数对(a,b)就叫做点A的坐标,记作A(a,b)。 象限: 建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成I,II,III,IV四个部分,每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。 坐标上的点不属于任何象限。 一次函数 正比例函数: 一般地,形如y=ky(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。 一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx。 当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右上升,即随着x的增大y反而减小。 一次一次函数: 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。 函数一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)具有性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,y随x的增大而减小。 待定系数法: 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法。 14 初中数学知识手册 在一个变化过程中,我们称数值发Th变化的量为变量,数值始终不变的量为常量。 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。 如果x=a时y=b,那么 b叫做当自变量的值为a时的函数值。 函数解析式: 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法。 这种式子叫做函数的解析式。 图象: 一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。 二次函数 二次函数: 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。 其中 x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项。 反比例函数 x 一般的,形如y=k (k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函 数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 即sinA= ∠A的对边斜边 a =c。 锐角三 角函数我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA= ∠A的邻边b =。 斜边c 我们把角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=∠A的对边=a。 ∠A的斜边b ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。 解直角 三角形 一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。 15 数据的收集
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