利息理论第四章课后答案.docx
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利息理论第四章课后答案
利息理论第四章课后答案
1.某人借款1万元,年利率12%,采用分期还款方式,每年末还款2000元,剩余不足2000
元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。
计算第5次偿还款后的贷款余额。
r
解:
.B5=10000⨯1.125-2000S0.12=4917.7
2.甲借款X,为期10年,年利率8%,若他在第10年末一次性偿还贷款本利和,其中的
利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元,计算X。
解:
x(1.0810-1)-(
10x
-x)=468.05,x=700.14a100.08
3.一笔贷款每季末偿还一次,每次偿还1500元,每年计息4次的年名义利率为10%。
若第1年末的贷款余额为12000元,计算最初贷款额。
解:
104
B=L(1+)-1500S10=1200,L=16514.37
44
r
4
或L=12000v+1500a
4
4
1004
=16514.37
4.某人贷款1万元,为期10年,年利率为i,按偿债基金方式偿还贷款,每年末支出款为X,其中包括利息支出和偿债基金存款支出,偿债基金存款利率为2i,则该借款人每年需支出额为1.5X,计算i。
解:
10000=(x-10000i)S0.08
10000=(1.5x-20000i)S0.08⇒i=6.9
5.某贷款期限为15年,每年末偿还一次,前5年还款每次还4000元,中间5次还款每次还3000元,后5次还款每次还2000元,分别按过去法和未来法,给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。
解:
过去法:
B7=1000(215+10+5)(1+i)-1000[4S5(1+i)+3S2]
r
7
2
=1000(2a+a+a(1+i)7-1000(4S)
r
未来法:
B7=30003+200053=1000(28+a3)
6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还,若Bt,Bt+1,Bt+2,Bt+3为4个连续期间末的贷款余额,证明:
(1)(Bt-Bt+1)(Bt+2-Bt+3)(=Bt+1-Bt+2)
(2)Bt+B
t+3
2
Bt+1+Bt+2
解:
Bt=n-tBt+1=pan-t-1Bt+2=pan-t-2Bt+3=pan-t-3
(1)(Bt-Bt+1)(Bt+2-Bt+3)=p(-)(-a)
2
3
或=p2Vn-t-11n-t-1
或=p2(Vn-t-2a)2
2或=(Bt+1-Bt+2)
(2)Bt-Bt+1
7.某人购买住房,贷款10万元,分10年偿还,每月末还款一次,年利率满足(1+i)=1.5。
计算40次后的贷款余额。
解:
设月利率为i0,
4
(1+i0)⇒i0=0.8483
12
1
4
100000=p⋅a⇒p=1331.471
o
pB40=p⋅a=77103.8
8.某可调利率的抵押贷款额为23115元,为期10年,每季末还款1000元,初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。
在进行完第12次还款后,贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%,每季度末保持还款1000元,计算第24次还款后的贷款余额。
解:
i=
r
12%14%
=3%,j==3.5%44
12
B12=23115(1+3%)-1000S=18760B
r24
=18760(1+j)12-1000S12j=13752
9.某贷款分20年均衡偿还,年利率为9%,在哪一次偿还款中,偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。
解:
设k年时最接近,k年前贷款余额为an-k+1
利息ia=1-v令1—v
n-k+1
n-k+1
,本金:
1—(1—v
n-k+1
n-k+1
)
=1—(1—v),得1—v
n-k+1
=
1
2
⇒v
20-k+1
=
1
⇒k≈132
10.张某借款1000元,年利率为i,计划在第6年末还款1000元,第12年末还款1366.87元。
在第一次还款后第三年,他偿还了全部贷款余额,计算这次偿还额。
解:
1000=1000v+1366.87v
9
3
612
⇒v6=0.564447
1000(1+i)-1000(1+i)=1026.96
11.某贷款为期5年,每季末偿还一次,每季计息4次的年名义利率为10%,若第3次还款中的本金部分为100元,计算最后5次还款中的本金部分。
解:
还款本金:
Rv
n-k+1
第3次还款中的本金部分:
p3=Rv20-3+1=100⇒R=155.96
2345
则最后5次还款中的本金部分:
155.96v+v+v+v+v=724.59
()
12某借款人每年末还款额为1,为期20年,在第7次偿还时,该借款人额外偿还一部分贷款,额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分,若后面的还款照原来进行,直至贷款全部清偿,证明整个贷款期节省的利息为1-v解:
第7次还款的额外部分为v
20-8+1
13
=v131,以后按原来进行偿还,即每次
还款按原计划进行,每次还1,到第20次还款时,已经不需要偿还1,设需偿还Xa
13720
=+v,v=X-1v⇒X=0()0
13
则最后一次不要还了,有19+v,原利息为20那么节省的利息为1-v
13.某贷款为期35年,分期均衡偿还,没年末还款一次,第8次还款中的利息部分135元,
第22次还款中的利息部分为108元,计算第29次还款中的利息部分。
28
=135且R1-v14=108解:
R1-v
13
()
()
∴1+v14=
1357
即v=0.5108
7
则R1-v=72
()
14.L、N两笔贷款额相等,分30年偿还,年利率为4%,L贷款每次还款额相等,N贷款的30次还款中,每次还款中所包含的本金部分相等,包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息,L贷款的偿还款首次超过N贷款偿还款的时间为t,计算t。
解:
设贷款额为w,p为N贷款中每次还款的本金部分。
30p=w⇒p=
w
(1)30
L贷款每次偿还额都相等,为
wa30i
wa30i
>p+i⎡⎣w-(t-1)p⎤⎦
(2)
由
(1)
(2)得:
t=12.67≈13
15.某项贷款为125000元,期限为30年,每月末分期偿还,每次偿还额比前一次偿还额多0.2%,第一次偿还额为P,年利率为5%,计算P.
2
解:
125000=pυ+p(1+0.2%)υ+p(1+0.2%)
112
359
υ360
υ=
1
j=(1+i)=(1+5%)1+j
112
则p=493.85
16.某贷款为期五年,每半年末还款额为1。
每年计息2次的年名义利率为i,计算第8次还款中的本金部分。
解:
P8=v
n-k+1
=v10-8+1=v3=
⎛i⎫31+⎪⎝2⎭
17.甲借款人每年末还款3000元。
若第三次还款中的利息部分为2000元,每年计息4次的年名义利率为10%,计算第6次还款中的本金部分。
n-3+1
=2000∴vn-2=解;30001-v
()
1
3
第6次还款中的本金部分为3000v
n-5
3000vn-2==13404.8883
v
18.某投资人购买一种确定年金,每季末可得500元,共10年,年利率为8%,计算该投资人的利息收入。
解:
设每季度利率为i
(1+i)
4
=1.08∴1+i=1.0194
ai500⨯40-500ai=6186.14
19.甲购买住宅,价值10万元,分期按月付款,为期30年,首次付款发生在购房第一月末,
年利率为5%,10年后。
每次付款额增加325.40元。
以便较快还完购房款,计算整个还款期间的利息支出。
解:
设每月利率为i.
(1+i)=1.05∴1+i=1.004100000=pa360i⇒p=530.00510000(0+i1)
120
12
-p(p+i=0
324)t
t≈120
20.乙贷款利率每年为5%,每年末还款一次,共10年,首期还款为200元,以后每期比前期增加10元,计算第5此还款中的利息部分。
解;L=200a10+10(Ia)9v=1860.86
rB4=L(1+i)-(200S4+10(IS)3)=1337.84
4
r
I5=iB4=5%⨯1337.84=66.89
21.某贷款分10年偿还,首年末偿还额为当年贷款利息P,第2年末偿还额为2P,第3年末偿还额为3P,以此类推,贷款利率为i证明:
证明:
L=p(Ia)10⇒iL=p
Ia10=a∞
1
⇒p=ip(Ia)10⇒(Ia)10==a∞
i
22.某贷款分10期偿还,首期偿还为10,第二期为9,依此类推,第10次还款为1,证明第6次还款中的利息部分:
5-a。
解L=,B5=(Da(Da105I6=iB5=i(Da=5-a55
23.甲借款2000元,年利率10%,每年末还款一次,首次还款额为400元,以后每次还款额为400元,以后每次比上次多4%,最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还,计算
(1)第三年末的贷款余额(还款后);
(2)第三次还款中的本金部分。
322
⎡⎤(1+10%)-400(1+10%)+(1+4%)(1+10%)(+1+4%)解:
(1)2000⎣⎦=1287.76
p
p
(2)B2=2000(1+10%)-400(+1+4%)[1+10%)(]=1564
r
2
r
(3)I3=iB2=1564⨯10%=156.4
P3=R3-I3=400⨯(1+4%)2-156.4=276.24
24.甲在一基金中投资,年利率为i。
首年末,甲从基金中提出当年所得利息的162.5%;第二年末,甲从基金中提出当年所得利息的2⨯162.5%,,至第六年末,甲从基金中提出当年所得利息的16⨯162.5%,基金投资全部取完,计算i。
解:
设在基金中投资为L
L(1+i-1.625)(1+i-2⨯1.625)(1+i-3⨯1.625)(1+i-16⨯1.625)=0
则i=
1
=0.04
16⨯1.625-1
25.某贷款额为
a
,采用连续还款公式每年还款为1,共25年,若年贷款利率为5%。
计
算第6年至第10年的利息支出额。
解:
⎰
10
6
δBtdt=⎰δ⎰υdsdt=⎰
6
10n-t
s
10
6
υ25-t-1δt
lnυ
=2.252
26.证明并解释:
t(1+i)-=
a
n
t
a
t
n
解:
a1+i)-s=
t
1-υn
δ
υ+
-t
1-υ-t
δ
=a
n-t
tt
∴(1+i)-=n-t
a
n
a
n
27.某贷款为1,期限为10年,采取连续还款方式,每年的还款额使得这10年的贷款呈线性关系,即连续由1减至0,贷款年利率按δ=0.1计,计算:
(1)前5年还款中的本金部分;
(2)前5年还款中的利息部分。
解:
Bt=1-
t10
(1)B0-B5=1-1-
⎛⎝5⎫
⎪=0.510⎭
⎛
t⎫
(2)I5=
1-⎪dt=0.375⎰0δBtdt=⎰00.1⨯
⎝10⎭
55
28.某人借款为1万元,为期25年,年利率5%,采用偿债基金还款方式,偿债基金存款利率为4%,计算第13次付款中净利息与第9年偿债基金增长额之和。
解:
10000=DS25
0.04
NI13=Li-jDSj=355.68
k-18
NP9=D(1+j)=D(1+4%)=328.62
NI13+NP9=355.68+328.62=684.3
29.某人借款1万元,为期10年,年利率为5%,采用偿债基金法偿还贷款,偿债基金存款利率为3%,还款在每年末进行。
在第5次还款前,贷款人要求借款人一次性偿还贷款余额,计算借款人在第5年末的总的支出款(包括利息和本金)。
解:
由NB5=L-DS
5j
DS10j=L得
NB5=
La10j
a5j=5368.8
pa100.0=10000∴p=1295.25p+NB=66645
30.甲借款1万元,年利率10%,其偿债金年存款利率为8%。
第10年末,偿债基金积累额为5000元,第11年末,甲的还款支出额为1500元,计算:
(1)第11次还款中的利息部分;
(2)第11次还款中的本金部分;(3)第11次的净利息支出;(4)第11年的净本金支出额;(5)第11年末的偿债基金积累额。
解:
(1)iL=1000
(2)1500-1000=500(3)1000-400=600(4)=1500-600=900(5)5000+900=590031.证明:
an=
sn1+isnj
证明:
an=
anj
1+i-janj
⇒
1an=
1+(i-j)anj
anj
111+isnj
=i+-j=i+=
anjsnjsnj
则
an=
snj1+isnj
32.某项贷款为1万元,年利率为9%。
借款人在年末支付利息,且每年初向偿债基金存款X
元,存款利率为7%,第10年末偿债基金积累额达1万元计算X。
100.07=10000⇒x=676.43解:
xs
33甲借款人分10年偿还贷款,贷款利率为5%,每年还款1000元,贷款额的一半用分期偿还方式,贷款额的另一半按偿债基金方式还款,偿债基金存款利率为4%,计算贷款额。
L=p1a100.05⎧
⎪1+0.01a100.04L解:
⎨p2==L⎪aa100.04⎩
⇒p1+p2=
La100.05
+L
1+0.01a100.04
a100.04
=103
⇒2L=7610.48
34.某人借款12000元,为期10年,前5年每年计息2次的年名义利率12%,后5年为每年计息2次的年名义利率10%,借款人每半年末支付款项为1000元一部分作为贷款利息,领一部分作为偿债基金存款,偿债基金年名义存款利率为8%,每年计息两次,计算在第10年末,贷款额与偿债基金积累额之差。
解:
偿债基金积累额为:
5)
(2)⎤(n20.0852⎡(103-0.06L)s1+0.08)+(103-0.05L)s=9787.2(0.08⎦⎣
12000-9787.2=2292.8
35.某人每年末支付36000元偿还贷款,共31年,贷款额为40万元,若借款人按偿债基金法计算(偿债基金存款利率为3%),计算贷款人的贷款利率。
解:
(36000-400000i)s310.03=400000⇒i=0.07
36.甲借款10万元,期限为20年,已知:
(1)按偿债基金法还款,偿债基金存款利率为3%;
(2)首期支出款为X,发生在第1年末;
(3)以后每年末还款支出额比前一年增加50元,直至贷款期末;(4)贷款年利率为5%。
计算X。
55
解:
X-5%⨯10s0.03+50(IS)0.03=10
()
X=8295.4
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