031矩形菱形正方形D.docx
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031矩形菱形正方形D
一、选择题
1.(2014广西河池,8,3分)在□ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出□ABCD是矩形,那么这个条件是()
A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
答案:
B
2.(2014来宾,6,3分)正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是
A.8B.4
C.8
D.16
【答案】A.
3.(2014广西省崇左市,8,3分)下列说法正确的是()
A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形
【答案】B
4.(2014广西省梧州市,10,3分)如图1,在
中,对角线AC、BD交于点O,并且∠DAC=60°,∠ADB=15°,点E是AD上一动点,延长EO交BC于点F。
当点E从D点向A点移动过程中(点E与点D、点A不重合),则四边形AFCE的变化是()
(A).平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
(B).平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
(C).平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
(D).平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】B
5.(2014湖南湘西州,16,4分)下列说法中,正确的是()
A.相等的角一定是对顶角B.四个角都相等的四边形一定是正方形
C.平行四边形的对角线互相平分D.矩形的对角线一定垂直
【答案】C.
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二、填空题
1.(2014年辽宁省葫芦岛,15,3分)如图7,矩形ABCD中,点M是CD的中点,点P是AB上任一点.若AD=1,AB=2,则PA+PB+PM的最小值为.
【答案】3
2.(2014辽宁锦州,15,3分)菱形ABCD的边长为2,
E是AD边中点,点P是对角线BD上的动点,当AP+PE的值最小时,PC的长是__________.
【答案】
3.(2014山东济南,20,3分)如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于__________.
【答案】4或8
4.(2014内蒙古通辽,16,3分)如图:
在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,点E是BC边上的一点,连接AE把∠B沿AE折叠,是使点B落在点
处,当
为直角三角形时,BE长为____________
【答案】3或
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三、解答题
1.(2014来宾,22,8分)如图,BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,垂足为点O.(要求用尺规做图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)求证:
DE=BF.
【答案】解:
(1)答题如图:
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵EF垂直平分线段BD,
∴BO=DO,
在△DEO和△BFO中,
,
∴△DEO≌△BFO(ASA),
∴DE=BF.
2.(2014钦州市,20,7)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点,且AE=BF.求证CE=DF.
第20题
【答案】证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠B=∠DCB=90°,
∵AE=BF,
∴BE=CF,
∴△EBC≌△FCD(SAS),
∴CE=DF.
3.(2014广西百色,22,8分)如图,已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上,AE=CF,DE∥BF,∠1=∠2.
(1)求证:
△AED≌△CFB;
(2)若AD⊥CD,四边形ABCD是什么特殊的四边形?
请说明理由.
【答案】
解:
(1)
∵DE∥BF
∴∠E=∠F
又∵AE=CF,
∠1=∠2,
∴△AED≌△CFB
(2)四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵△AED≌△CFB
∴AD=BC,∠EAD=∠BCF
∵∠EAD+∠DAC=180°,∠BCF+∠BCA=180°
∴∠DAC=∠BCA
∴AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵AD⊥CD,
∴∠ADC=90°
∴四边形ABCD为矩形.
4.(2014广西省贵港市,23,7分)如图所示,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上一点,且CE=CD,过点E作EF⊥AC交AD于点F,连接BE.
(1)求证:
DF=AE;
(2)当AB=2时,求BE2的值.
【答案】解:
(1)
连接CF,可得△CDF≌△CEF(HL),所以DF=EF,
∵正方形ABCD,∴∠CAF=45°,∴AE=EF,
∴DF=AE
(2)
过点E作EM⊥AB,∵AB=2∴AC=
∵CE=CD,∴AE=
∴AM=EM=
∴MB=
∴在Rt△MBE中,BE2=EM2+MB2=
5.(2014年湖北省恩施州,18,8分)如图9,在□ABCD中,点M、N分别在AB、AD上,且BM=DN.过点M作ME∥AD交CD于点E,过点N作NF∥AB交BC于点F,ME与NF相交于点G.求证:
四边形CEGF是菱形.
【答案】解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,CD∥AB.
∵ME∥AD,NF∥AB,
∴BC∥ME,CD∥NF.
∴四边形CEGF是平行四边形.
且GF=BM,GE=DN,
∴GF=GE
∴□CEGF是菱形.
6.(2014辽宁朝阳,21,8分)如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:
四边形OCED是菱形;
(2)若AB=3,BC=4,求四边形OCED的面积.
【答案】
解:
(1)证明:
S△OCD=S△OCB=
S△ABC
∵DE∥AC,CE∥BD
∴四边形OCED为平行四边形
∵四边形ABCD为矩形,
∴OD=OC
∴四边形OCED为菱形.
(2)
∵S△OCD=S△OCB=
S△ABC=
×3×4=6
∴S菱形OCED=2S△OCD=12.
7.(2014年辽宁省葫芦岛,20,8分)如图9,△ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A做AF∥BC交DE延长线于点F,连接AD,BF.
(1)求证:
△AEF≌△BED;
(2)若BD=CD,求证:
四边形AFBD是矩形.
【答案】解:
(1)如图所示,
∵AF∥BC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵点E是AB的中点
∴AE=BE
∴△AEF≌△BED(AAS)
(2)∵△AEF≌△BED
∴AF=BD
∵AF∥BD
∴四边形AFBD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∵AB=AC,
又∵BD=CD,
∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)
则∠ADB=90°
∴□AFBD是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形)
8.(2014山东济南,23,3分)如图1,四边形ABCD是矩形,点E是边AD的中点.
求证:
EB=EC.
【答案】证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
∴△ABE≌△DCE,
∴EB=EC.
9.(2014四川乐山,19,9分)如图8,在△ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形,求证:
BE=CE.
【答案】∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC.
∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△DBE与△FCE中,
∵∠B=∠C,DE=FE,∠BED=∠CEF,
∴△DBE≌△FCE.
∴BE=CE.
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