中学代数研究作业绵阳师范学院.docx
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中学代数研究作业绵阳师范学院
第一章数与数系
自然数系和0
1、用自然数的序数理论证明:
(1)34=7
(2)3.4=12
2、把n2个互不相等的自然数排成一个n级方阵,取每行数的最大数,得n个数,设其中最小的一个是x;再取每列数的最小数,又得n个数,设其中最大的一个是y.试比较x与y的大小.
3、考察下列等式2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
试猜想一个一般公式,并加以证明.
4、证明:
在2n2n(nN)个相等的小方格组为的棋盘上,任意挖去一个小方格后,总可以用由这样3个小方格构成的L形块恰好铺满.
5、证明:
可以把自然数1,2,3,……,n(n_3)围成一圈,使每相邻两数之差不超过2.
6、已知f
(1)=f
(2)=1
求证对任何m,n・N,有
3n=1
7、设f(n^2^1g(n)[fg(n-1),n=2,3,…,
求证g(n)=2n1-1.
&现有111张卡片,在每张卡片上都写上一个自然数,若这111个自然数的和小于3136,证明至少有3张卡片上的数相等
9、已知f(m,n)对任何m,n・N,满足
求证:
1)f(2,n)=n-2
2)f(3,n)=2n2
3)f(4,n)=2n2-2
整数环
1、已知p10a-b,p10c-d,求证pad-be.
2、设2不整除a,求证8,a2-1.
3、设a,b^z,求证2a3-b3的充要条件2a-b.
4、已知a=k*10n,nN,kN_•d,
求证:
(a1)(a3)(a7)(a9)的末三位数是189.
5、证明:
前n个自然数的和的个位数码不能是2,4,7,9.
6、已知f
(1)"
(2)=1
求证当4'n时,3f(n).
7、证明从1,2,……,100里任意取出的51个数中,至少有两个数,其中的一个是另一个的倍数.
有理数域
1、把下列分数可以化成怎样的循环小数,并且指出循环节长:
1234
1);2);3);4).
6692546081001
2、把下列小数可以化成分数
00..
1)0.836542)0.37689345
3、已知f
(1)=f
(2)=1
an表示f(n)的个位数码,求证O.^a?
…an…是有理数.
4、已知k,n・N,an表示1k•2k川…川nk的个位数码,
求证O.ada.…是有理数.
5、将丄分解成三个单位分数之和,能够分成四个吗?
798
实数集1、下列闭区间是否组成闭区间套?
能否确定唯一的实数?
1)}1,_3,
2)
2、设a,b,c,6Q,b,id是无理数,且a■b=c■d,求证:
a=c,b=d
3、已知0VakV2,k=0,1,…,n,求证在a。
®,…,a.中至少有两个数,它们差的绝对值小于仅.
4、设a>0,b>0,a,b互素,na,n.b不全是整数,
求证nab是无理数.
5、设a>1,b>1,a,b互素,求证lg(ab)是无理数.
6、证明3是无理数.
7、求适合x2-X】-2=0的一切实数.
复数域
1、已知在三角形ABC中,.,D是AB上任一点,
求证:
AC・BD2BC・AD2二AB*CD2
2、设(1-cos日十isin^8是实数,求日.
3、用复数的乘法证明:
1111兀
1)arctanarctanarctanarctan=—
35784
4516
2)arcsinarcsinarcsin
513652
4、
在复平面内zz=表示怎样的图形,求-角的终边与这个图形
交点A所对应的复数把OA按逆时针方向旋转壬到OB’,
5、
求B点所对应的复数.
设P为定直线AB外任一点,把AP按逆时针方向旋转2到Ap,
再把BP'按顺时针方向旋转;到BP,求证P与P的中点是定点.
1、如果
第二章式、代数式、不等式
整式
x4Ax3Bx2「8x4是x2CxD的完全平方,求A、B、C、D.
3、如果ax3-bx2cxd能被x2h2整除,证明ad=be.
4、将下列各式作因式分解并指出所用方法
(2)
(3)
(4)
(a2abb2)24ab(ab)2
(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)-6x2
分式与根式
1、已知x2x^0,求x14}的值.
x
3、求下列各多项式的值:
(1)x=962,f(x)=4x3-40x246x-10
4、求下列各根式的值:
(1)x—5J"5".厂y2
(2)xy=6,xy=4,xy,
6、化简下列各式
指数式与对数式1、已知Iog23=1.6,求log7254的值.
2、已知log147=a,14»=5,求log3528的值.
3、已知lg(1-1)=a,lg(1-1)=b,试用a、b表示lg2,lg3.
981
4、已知〉=Iog1218^=log2454,求证亠‘5(二-<)=1.
n"1
2n1sin:
三角式与反三角式
■11n1
1、证明cos〉cos2:
cos22:
…cos2“=sin
2、证明cos^cos^cosAcosA-—
222232n2
1、解方程
(1)(x2+7x+5$=3x2+21x+19
(2)x2-9(2x5)(2x-7)=91
2、用观察法、换元法、比例变形、因式分解等方法解下列方程:
(1)求x-1x-2x-3=567的有理根.
(2)求x3—x23x—3=0的实数根.
(3)x—1
xa
(4)(x2)(x3)(x-4)(x-5)=44
只有一个实根的所有a的值的总和等于多少?
第四章函数
1、如果A=1,2,3,4,5[B=ab,c,d,e1,确定下列各个序偶的集合中哪些是从A到B的函数?
其中哪些是一对一而且到上的函数?
并求它们的定义域.
(1)f,(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)?
(2)g「(2,a),(3,a),(1,a),(5,a),(4,a)?
(3)h「(1,e),(5,d),(3,a),(2,b),(1,d),(4,a)1
(4)j=X1,a),(2,b),(3,c),(4,x),(4,e)?
(5)k75,a),(1,e),(4,b),(3,c),(2,d)?
2、下列各个关系中,哪些是R到R的函数?
其中哪些是——对应?
求出它们的值域,并指出哪些关系不是函数,为什么?
(1)s=《x,y)'x,严R,y=仮}
(2)t=匕,y)x,yR,x2+y2=1
(3)u=&,y)x,yR,x-y=2、(4)vJ(x,y)x,yR,y=1
(5)w=《x,y)x,yeR,y=2,当xc0时;y=-2,当xaO时;y=0,当灭=0时}
3、求证函数y=x+^在区间(0,)内有最小值332.
x22
4、求函数y二韦(a0,b0)的最大值.
ax+b
5、求证函数y-x2•x•1x2-x•1,当x二0时取最小值2.
6、已知y二一・的图像,用怎样的变换可作
1+x
7、根据参数a,求方程x2-3=a+1的解的个数.
8)已知映射f:
A>B,其中A二B二R,对应法则f:
y=-x22x,对于实数k・B,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是
9)下列函数中与函数y=,_2x3相同的是
A、y=X'.-2xB、y=-X',-2xC、y=—.2xD、y=x..—
Vx
10)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域;已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域;已知函数f(x+1)的定义域为匚2,0】,若k・(0,1),求F(x)二f(x—k)•f(xk)的定义域;
答案:
&—1vx<0或0
11)已知函数y~kx-6kxk8的定义域是R,求实数k的取值范围.
答案:
0乞k空1
12)(2007湖北模拟)记minabl为a,b两数的最小值,当正数x,y变化
13)(2008上海春招
)函数f(x)二
—x2x6的定义域
x—1
答案:
1-2,11,31
14)求下列函数的值域
15)求函数y=2x—、x-1的值域.
4x—4,x^1,
17)(2007湖南)函数x“的图象和函数
g(x)=log2x的图象的交点个数是A、4B、3C、2D、1「7齐1(―1兰x兰0),
18)设函数y才厂求它的反函数.
-丘(0cx^1),
丄Iog3(x1)(x4),
19)(2007湖南模拟)设函数X4的反函数L(x),
2一(x兰4)
且―山",则f(a7)=A、-2B、-1C、1D、28
20、用番号标出下列函数单调性证明中的基本步骤,并用下划线方式
指出其规范书写中的关键词.
求证:
函数f(x)=x2在(0,+=)上是增函数.
证明:
设花,X2是(0,+:
)上的任意两个实数,且花乞X2,则
22
f(xj-f(X2)=X1-X2=(X1—X2)(X1X2)
由X1,X2是(0,+:
:
)上的任意两个实数,得X1•X2一0由捲_x2,得捲-x2_0
于是f(xj-f(X2)乞0
即f(xj乞f(X2)
所以,f(x)=x2在(0,+:
:
)上是增函数.
第二章式、代数式、不等式
1、
(1)求解不等式x1_0,并逐步标明解题依据
x—2
(2)写出列方程解应用题的基本步骤.
2、写出用图解法解不等式f(x)vg(x)的过程、解法依据及其体现的数学思想.
3)任给7个实数,求证:
其中必有两个实数x,y满足0岂生丄:
:
:
仝.
1+xy3
4、指出下列不等式组所表示的平面部分:
5、解不等式:
(x1)4・(x3)4>272答案:
xw-5或x>1
第五章数列
1)在数列&<中,a^1,a*1=1—,bn-,其中nN
4an2an—1
(1)求证:
数列是等差数列;
(2)求证:
在数列也?
中对任意n•N,都有a.1:
:
:
a*.
2)(2008海淀区期末)设数列』的前n项和为乔=1且数列g是
以2为公比的等比数列。
(2)求a1■a^'-a2n-1
(1)求数列Bn泊勺通项公式;
1(n=1)
答案:
(1)a^l;
|2n」(n>2)I
3)(2007海淀区模拟)已知数列的前n项和为Sn,
an~7Sn2(n-2),a1=2
(1)求数列a?
的通项公式;
(2)设bn1,Tn二bn「bn・2•b2n,是否存在最小的正整数k,
Og2an
使得对于任意的正整数n,有T「:
:
上恒成立?
若存在,求出k的
12
值;若不存在,请说明理由。
答案:
(1)an才;
恒成立
(2)存在最小的正整数k=4,使得T^:
-
12
(5)x25x132x27x20
(5)-3232
x+7x+24x+302x+11x+36x+45
(6)、xx52x25x=25-2x
3)已知m、n是有理数,方程x2mxn=0有一个根是..5-2,
求m•n的值.
4)设x「x2是方程x2的两个不同的根,求x1^4x2219的值.
5)已知m2二m•1,n2=n•1,m=n,求m56•n5的值.
6)已知x工一1,求.x3•2x2-x•8的值.
1+V2
7)当a在什么范围内取值时,方程x2-5x=a有且只有
两个相异实数根?
8)能使关于x的方程“2a2=0
x—1x+1x-1
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