数值分析上机作业.docx

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数值分析上机作业

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Documentserialnumber[UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108]

告报验实

析上机

题：

曲线拟合的最小二乘法

ff:

血口『乳分弦

选指专学姓

课题八曲线拟合的最小二乘法

一、问题提出

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产

实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。

t（分）

05

55

1015

20

2530

3540

45

50

y（X10_

4）

0

二、要求

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为＜p（t）=alt+a2t2；

3、打印出拟合函数沁），并打印出0（E与血）的误差,円,2,…,12；

4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；

5、*绘制出曲线拟合图

三、目的和意义

1、掌握曲线拟合的最小二乘法；

2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；

3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、计算公式对于给定的测量数据g,fMi二1,2,…,勿，设函数分布为

特别的,取冏（X）为多项式

（p,（x）=xj（丿=01,…,ni）

则根据最小二乘法原理，可以构造泛函

令

—=0（k=0,1,…,ni）

dak

则可以得到法方程

求该解方程组，则可以得到解5,绚,…，冷，因此可得到数据的最小二乘解

曲线拟合：

实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。

曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。

五、结构程序设计

在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit,并且依次调用了plot、figure^holdon函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。

用一元三次多项式+进行拟合

计算解析表达式系数：

al,a2,a3

t二[0510152025303540455055];

>>n=length（xi）;

f=.*10.'（-4）*x.*10.'（-3）*x."2+.*x+;

x=0:

:

55;

F=.*10.°（-4）*x.\*10."（-3）*x."2+.*x+;

fy二abs（f-y）;

fy2=fy.°2;Ew=max（fy）,El二sum（fy）/n,E2=sqrt（（sum（fy2））/n）

plot（xi,y,?

t*）holdon,plot（t,F,'b-）holdoff

所得函数为=034364X10-4r3-5.2156X10~3r2+0.2634/+0.013839

运行后屏幕显示数据（""J与拟合函数f的最大误差Ew,平均误差E1和均方根误差E2及其数据点（兀，儿）和拟合曲线y=f（x）的图形如图.

Ew=

El=

E2=

图一元三次多项式拟合曲线误差图

用一元四次多项式

计算多项式系数：

a”a：

a3,a】

xi=[0510152025303540455055];

y=[0]；

n=length（xi）;

x=0:

:

55;

x=0:

:

55;

F=.*10.'（-6）*x.\*10.'（-4）*x.*x."2+.*x+;

fy=abs（f-

y）;fy2=fy.2;Ew=max（fy）,El=sum（fy）/n,E2=sqrt（（sum（fy2））/n）

plot（xi,y,?

r*）holdon,plot（x,F,*b-'）,holdoff

所得函数为

0（t）=0.6026X10V-0.31918X10-4/3-2.9323x10_3r2+0.23807/+0.060449运行后屏幕显示数据隨‘）与拟合函数f的最大误差Ew,平均误差

E1和均方根误差E2及其数据点（"）'「）和拟合曲线y=f（x）的图形如图。

Ew=

El=、

E2=

图一元四次多项式拟合曲线误差图

用一元二次多项式酬）=角+%+"进行拟合：

计算多项式系数：

內，a2,a3

输入程序：

>>symsala2a3

X二[0510152025303540455055];

fi=al.*x."2+a2.*x+a3

运行后屏幕显示关于a“a：

和创的线性方程组：

fi=[a3,25*al+5*a2+a3,100*al+10*a2+a3,225*al+15*a2+a3,400*al+20*a2+a3,625*al+25*a2+a3,900*al+30*a2+a3,1225*al+35*a2+a3,1600*al+40*a2+a3,2025*al+45*a2+a3,2500*al+50*a2+a3,3025*al+55*a2+a3]

编写构造误差平方和的MATLAB程序：

y=EO]；

fi=[a3,25*al+5*a2+a3,100*al+10*a2+a3,225*al+15*a2+a3,400*al+20*a2+a3,625*al+25*a2+a3,900*al+30*a2+a3,1225*al+35*a2+a3,1600*al+40*a2+a3,2025*al+45*a2+a3,2500*al+50*a2+a3,3025*al+55*a2+a3];

fy=fi-y;fy2=fy.2;J=sum（fy.2）

运行后屏幕显示误差平方和如下：

J=（100*al+10*a2+a3-54/25厂2+（25*al+5*a2+a3-127/100）^2+（225*al+15*a2+a3-143/50厂2+（400*al+20*a2+a3-86/25厂2+（900*al+30*a2+a3-83/20厂2+（625*al+25*a2+a3-387/100厂2+（1225*al+35*a2+a3-437/100厂2+（1600*al+40*a2+a3-451/100厂2+（2025*al+45*a2+a3-229/50）"2+（2500*al+50*a2+a3-201/50厂2+（3025*al+55*a2+a3-116/25厂2+a3“2

^=0

为求山,“2，如，心使丿达到最小，只需利用极值的必要条件

伙=1,2,3,4）,得到关于的线性方程组,这可以由下面的MATLAB程序完成，即输入程序：

>>symsala2a3

J=（100*al+10*a2+a3-54/25），2+（25*al+5*a2+a3-127/100厂2+（225*al+15*a2+a3-143/50厂2+（400*al+20*a2+a3-86/25）"2+（900*al+30*a2+a3-83/20厂2+（625*al+25*a2+a3-387/100）"2+（1225*al+35*a2+a3-437/100），2+（1600*al+40*a2+a3-451/100）^2+（2025*al+45*a2+a3-229/50）"2+（2500*al+50*a2+a3-201/50）*2+（3025*al+55*a2+a3-116/25）^2+a3"2;

Jal=diff（J,al）;Ja2=diff（J,a2）;Ja3二diff（J,a3）;

Jall=simple（Jal）,Ja21二simple（Ja2）,Ja31=simple（Ja3）,

运行后屏幕显示J分别对al,a2,a3的偏导数如下：

Ja21=1089000*al+25300*a2+660*a3-27131/10

Ja31=25300*al+660*a2+24*a3-3987/50

解线性方程组Jail=0,Ja21=0,Ja31二0输入下列程序：

B二[217403/2,27131/10,3987/50];

C=B/A,F=poly2sym（C）

运行后屏幕显示拟合函数f及其系数C如下：

C=

故所求的拟合曲线为：

编写下面的MATLAB程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形。

输入程序：

»xi二[0510152025303540455055];y二[0];

n二length（xi）;

f二.*X・’2+・*x+;

x=0:

:

55;F二.*x・‘2+.*x+;

fy=abs（f-

y）;fy2=fy.*2;Ew=max（fy）,El=sum（fy）/n,E2=sqrt（（sum（fy2））/n）

plot（xi,y,?

r*）holdon,plot（x,F,*b-'）,holdoff

legend（*数据点（xi,yi）','拟合曲线

y=f（x）'）,xlabel（'x'）,ylabel（'y'）,title（'数据点（xi,yi）和拟合曲线y=f（x）的图形'）

运行后屏幕显示数据（兀」）与拟合函数f的最大误差Ew,平均误差E1和均方根误差E2及其数据点（几儿）和拟合曲线y=f（x）的图形如图所示：

Ew=

El=

E2=o

图一元二次多项式拟合曲线误差图

六、结果讨论和分析：

由以上结果可知，拟合方程的选取至关重要，它决定了最大误差、

平均误差以及均方根误差的大小，即拟合曲线的接近程度。

本次实验，最初所选取的拟合解析方程卩"++々'获得较好的拟合，选用解

析方程为曲）=3+"+"+"的曲线拟合时，精确度有所下降。

由此，拟合函数的选择和拟合精度致密相关，最小二乘法如果想将曲线拟合的比较完美，必须应用适当的模拟曲线，如果模拟曲线选择不够适当，那么用最小二乘法计算完后，会发现拟合曲线误差比较大，均方误差也比较大，而如果拟合曲线选择适当，那么效果较好，且根据本次结果可见，当采用更高次的多项式拟合数据，其结果的误差会更小。

因此，需要对已知点根据分布规律选取多个可能的近似拟合曲线，算出后比较误差与均方误差，得到最佳拟合曲线。

但是如果已知点分布非常不规律，无法观察或是无法正确观察出其近似曲线，那么根本无法使用最小二乘法进行曲线拟合，我们只能使用其它方法进行逼近。

通过这次实验，我学习并实践了最小二乘法进行的曲线拟合的知识，认识到数值分析这一分析方法在实际应用中的重要作用。

而且通过在实际操作发现了各种问题，并寻找到解决问题的方法，使我获益良多。