史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结.docx
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史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分基础知识
1.定义:
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a¹0),那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数y=ax2的性质
(1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数y=ax2的图像与a的符号关系.
①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点;
②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=ax2(a¹0).
3.二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
b
2a4ac-b4a
224.二次函数y=ax+bx+c用配方法可化成:
y=a(x-h)+k的形式,其中h=-22,k=.25.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①y=ax2;②y=ax2+k;③y=a(x-h);④y=a(x-h)+k;
⑤y=ax2+bx+c.
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地,y轴记作直线x=0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
y=ax2bö4ac-bæ+bx+c=açx++÷2aø4aè22b4ac-b(-),对称轴是直线x=-,∴顶点是.2a2a4a
2b2
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h)+k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线
x=h.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对
-1-
称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9.抛物线y=ax2+bx+c中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x=-
b2a
,故:
①b=0时,对称轴为y轴;②
ba
>0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③
ba
<0(即a、
b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴;③c<0,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
ba
<0.
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
y=ax+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
y=a(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2
2
(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:
y=a(x-x1)(x-x2).12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y=ax+bx+c得交点为(0,c).
-2-
2
(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点
2
+bh+c).
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两
个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点ÛD>0Û抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)ÛD=0Û抛物线与x轴相切;③没有交点ÛD<0Û抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横
坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.
(5)一次函数y=kx+n(k¹0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+c(a¹0)的图像G的交点,由方程组
y=kx+ny=ax
2
+bx+c
Ûl与G有两个交点;②方程组只有一组解时
Ûl与G只有一个交点;③方程组无解时Ûl与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0),由于x1、x2是
方程ax2+bx+c=0的两个根,故
x1+x2=-
ba
x1×x2=
ca
2
AB=x1-x2=
(x1-x2)=(x1-x2)-4x1x2=
2
4cæbö
=ç-÷-
aaèø
2
b-4aca
2
=
Da
第二部分典型习题
1.抛物线y=x2+2x-2的顶点坐标是(D)
A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(C)
A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0C.ab<0,c>0D.ab<0,c<0
第2,3题图第4题图
-3-
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(D)A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>0
4.如图,已知DABC中,BC=8,BC上的高h=4,D为BC上一点,EF//BC,交AB于点E,交AC于点F(EF不过A、
B),设E到BC的距离为x,则DDEF的面积y关于x的函数的图象大致为(D)
C
2
D
EF8
=
4-x4
ÞEF=8-2x,\y=-x
+4x
5.抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为
6.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结论:
①当x=-2时,y=1;②当x>x2时,y>0;③方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<-1,x2>-1;⑤
k
x2-x1,其中所有正确的结论是①③④(只需填写序号).
7.已知直线y=-2x+b(b¹0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c.
(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式.解:
(1)y=x-10或y=x-4x-6
b+102
b+16b+100
4
2
2
2
将得c=b.顶点坐标为((0,b)代入,,-),由题意得-2´
b+102
+b=-
b+16b+100
4
2
,
解得b1=-10,b2=-6.
(2)y=-2x-2
8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为-2,0,1时,相应的输出值分别为5,-3,-4.
(1)求此二次函数的解析式;
-4-
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解:
(1)设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
ìa(-2)2+b(-2)+c=5ìc=-3ìa=1ïïïï则ía×02+b×0+c=-3,即í2a-b=4,解得íb=-2
ïa+b+c=-4ïc=-3ïa+b=-1ïîîî
故所求的解析式为:
y=x2-2x-3.
(2)函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值y为正数时,
输入值x的取值范围是x<-1或x>3.
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:
骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼
图.请根据图象回答:
⑴第一天中,在什么时间范围2
2夜的体温变化情况绘制成下的体温是上升的?
它的体温第9题
10.已知抛物线y=ax+(4
3+3a)x+4与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得
△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不
存在,请说明理由.
解:
依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0),
-5-
由ax2+(4
3+3a)x+4=0,解得x1=-3,x2=-
4
3a
243a.∴点A、B的坐标分别为(-3,0),(-∴AB=|-4
3a+3|,AC=2,0).=5,AO+OC
4
3aBC=BO+OC
4
3a222=169a
16
9a2|-|+4.43a169a222∴AB2=|-AC2+3|=2-2´3´+16.+9=-8a+9,=25,BC=2
〈ⅰ〉当AB2=AC2+BC2时,∠ACB=90°.
由AB2=AC2+BC2,
得16
9a2-8a+9=25+(
1
4169a2+16).解得a=-
∴当a=-1
4.163时,点B的坐标为(,0),AB=2526
9,AC2=25,BC2=400
9.
于是AB2=AC2+BC2.
∴当a=-
214时,△ABC为直角三角形.22〈ⅱ〉当AC=AB+BC时,∠ABC=90°.
222由AC=AB+BC,得25=(16
9a2-8a+9)+(16
9a2+16).
解得a=
当a=4
949.43a=4
3´
2时,-49=-3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.〈ⅲ〉当BC=AC+AB时,∠BAC=90°.
由BC=AC+AB,得
解得a=4
922222169a2+16=25+(169a2-8a+9)..不合题意.
1
4综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当a=-时,△ABC为直角三角形.
11.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.
-6-
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB
,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.解:
(1)A(x21,0),B(x2,0).则x1,x2是方程x-mx+m-2=0的两根.
∵x1+x2=m,x1·x2=m-2<0即m<2;
又AB=∣x1—x2
=∴m2-4m+3=0.
解得:
m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.
(2)M(a,b),则N(-a,-b).
∵M、N是抛物线上的两点,
2∴ì-a+ma-m+2=b,L①
íïïî-a2-ma-m+2=-b.L②①+②得:
-2a2-2m+4=0.∴a2=-m+2.
∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N.
∴a=.
这时M、N到y
又点C坐标为(0,2-m),而S△MNC=27,
∴2³1
2³(2-m
∴解得m=-7.
12.已知:
抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为
求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
-7-一底的梯形ABCD的面积为9,点E在
(2)中的抛物线上,是否存在点P,使△APE的周
(2)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上,∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.
∵梯形ABCD的面积为9,∴
∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=-x2-4ax-3.
(3)设点E坐标为(x0,y0).依题意,x0<0,y0<0,
且y0
x0=5212(AB+CD)×OD=9.∴12(2+4)3a9..∴y0=-52x0.
①设点E在抛物线y=x2+4x+3上,
2∴y0=x0+4x0+3.
1ì5¢ìx=-,0ïìx0=-6,ïïy0=-x0,2解方程组í得í2íy=15;5î0ïy=x2+4x+3ïy¢=.000î0ï4î
∵点E与点A在对称轴x=-2的同侧,∴点E坐标为(-1
2,5
4).
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使△APE的周长最小.∵AE长为定值,∴要使△APE的周长最小,只须PA+PE最小.∴点A关于对称轴x=-2的对称点是B(-3,0),
∴由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n,
1ì5m=,ì1ïïï-m+n=,2∴í24解得í3ï-3m+n=0.ïn=.îï2î
∴直线BE的解析式为y=
∴点P坐标为(-2,1
212x+32.∴把x=-2代入上式,得y=12.).
-8-
2②设点E在抛物线y=-x2-4x-3上,∴y0=-x0-4x0-3.
5ìx0,3ïy0=-2解方程组í消去y0,得x0+x0+3=0.22ïy=-x2-4x-3.00î0
∴△<0.∴此方程无实数根.
综上,在抛物线的对称轴上存在点P(-2,
解法二:
(1)∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.令y=0,即ax2+4ax+3a=0.解得x1=-1,x2=-3.∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)由y=ax2+4ax+3a,得D(0,3a).
∵梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线
y=ax+4ax+3a上,212),使△APE的周长最小.
∴C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.
∵梯形ABCD的面积为9,∴(AB+CD)×OD=9.解得OD=3.21
∴3a3.∴a±1.
∴所求抛物线的解析式为y=x+4x+3或y=-x-4x-3.
(3)同解法一得,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.∴如图,过点E作EQ⊥x轴于点Q.设对称轴与x轴的交由PF∥EQ,可得BF
BQ=PF
EQ
1
222点为F..∴152=PF54.∴PF=12.∴点P坐标为(-2,
以下同解法一.).
13.已知二次函数的图象如图所示.
-9-
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设NQ的长为l,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶
形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过点,第三个顶点落在矩程).
解:
(1)设抛物线的解析式y=a(x+1)(x-2),
∴-2=a´1´(-2).∴a=1.∴y=x2-x-2.
其顶点M的坐标是çæ1,-9ö.
è24÷ø
(2)设线段BM所在的直线的解析式为y=kx+b,点N的坐标为N(t,h),
ì0=2k+b,∴ïí91.解得k=3,b=-3
ïî-4=2.
2k+b.
∴线段BM所在的直线的解析式为y=3
2x-3.
∴h=3
2t-3,其中1
2 2´1´2+1 2(2+2 3t-3)t=3 4t2-1 2t+1. ∴s与t间的函数关系式是S=311 4t2-2t+1,自变量t的取值范围是2 (3)存在符合条件的点P,且坐标是Pæ57öæ35ö 1ç24÷,P ø2ç,- èè2÷.4ø 设点P的坐标为P(m,n),则n=m2-m-2. PA2=(m+1)2+n2,PC2=m2+(n+2)2,AC2=5. 分以下几种情况讨论: i)若∠PAC=90°,则PC2=PA2+AC2. ì∴ïn=m2-m-2, í ïîm2+(n+2)2=(m+1)2+n2+5. 解得: m1=5 2,m2=-1(舍去).∴点P1çæ57÷ö 4. è2ø -10- ii)若∠PCA=90°,则PA2=PC2+AC2. 2ìïn=m-m-2,∴í2222ïî(m+1)+n=m+(n+2)+5. 解得: m3=35öæ3.∴点P2ç,-÷.,m4=0(舍去)24øè2 iii)由图象观察得,当点P在对称轴右侧时,PA>AC,所以边AC的对角∠APC不可能是直角. (4)以点O,点A(或点O,点C)为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC)的对边上,如图a,此 时未知顶点坐标是点D(-1,-2), 以点A,点C为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图b,此时未知顶点坐标是Eç- èæ12ö÷,55ø Fç,- è5æ48ö÷. 5ø 图a图b 14.已知二次函数y=ax-2的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个 数. 解: 根据题意,得a-2=-1. ∴a=1.∴这个二次函数解析式是y=x-2. 因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x轴有两个交点. 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm, 线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图 (1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图 (2).22 -11- (1)求出图 (2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域; (2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱y=ax+ 9 10 559185 因为点A(-,0)(或B(,0))在抛物线上,所以0=a×(-)2+,得a=-. 22210125 . 因此所求函数解析式为y=- (2)因为点D、E的纵坐标为所以点D的坐标为(- 54 5454 9 18125 x+ 2 910 920 (- 52 £x£18125 52 2 ).910 20 ,所以 920 =-x+54 ,得x=± 2, 920 54 2. 2,),点E的坐标为(). 所以DE=2-(-2)= 522 . 因此卢浦大桥拱∴OA=x1,OB=x2,OC=c. 2 据题意,x1、x2是方程ax+bx+c=0(a¹0)的两个根.∴x1×x2= ca . -12- 由题意,得OA×OB=OC2,即=c=c2.ac2 所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时,a、c互为倒数. (3)当b=-4时,由 (2)知,x1+x2=-ba=4 a>0,∴a>0. 解法一: AB=OB-OA=x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2, ∴AB=42c()-4()=aa 23 a16-4aca2=23a.∵AB=43,∴=43.得a=1 2.∴c=2. 解法二: 由求根公式,x=4±-4ac 2a=4±-4 2a=2± a3, ∴x1=2-a3,x2=2+a3. ∴AB=OB-OA=x2-x1=2+a3-2-3 a 1 2=23a.∵AB=43,∴ 3 323a3=43,得a=.∴c=2.17.如图,直线y=-x+分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点. (1)C是⊙E上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标; (2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式: (3)若延长BC到P,使DP=2,连结AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由. 解: (1)连结EC交x轴于点N(如图). ∵A、B是直线y=-3 3x+3分别与x轴、y轴的交点.∴A(3,0),B(0,3). 的中点.∴EC⊥OA.又∠COD=∠CBO.∴∠CBO=∠ABC.∴C是 ∴ON=1 2OA=3 2,EN=OB 2=3 2. -13- 连结OE.∴EC=OE=3.∴NC=EC-EN=3 2.∴C点的坐标为(,-2332). (2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax(x-3).∵C( ∴y=32,-322).∴-23 832=a×33(-3)22.∴a=293.239x-x为所求. 3 3(3)∵tanÐBAO=,∴∠BAO=30°,∠ABO=50°. 1 2ÐABO-1 2´60°=30°.由 (1)知∠OBD=∠ABD.∴ÐOBD= ∴OD=OB²tan30°-1.∴DA=2. ∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2. ∴△ADP是等边三角形.∴∠DAP=60°. ∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直线PA是⊙E的切线. -14-
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