立体几何中向量方法及详解向量法求线线角与线面角.docx
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立体几何中向量方法及详解向量法求线线角与线面角
高二理科数学
导教案
班别:
_____________
学号:
_____________
姓名:
___________
§立体几何中的向量方法(4)
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1.理解直线与平面所成角的观点.
2.掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法.
二、问题导学
问题1:
什么叫异面直线所成的角它的范围是什么如何用定义法求它的大小
问题2:
如何经过向量的运算来求异面直线所成的角
设l1与l2是两异面直线,
a、b分别为l1、l2
的方向向量,l1、l2所成的角为θ,
则〈a,b〉与θ
,cosθ=
。
问题3:
用向量的数目积能够求异面直线所成的角,可否求线面角如图,设l为平面α的斜线,l∩α=A,a为l的方向向量,
n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,θ=〈a,n〉,
则sinφ=。
三、例题研究
例1.如图,M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点.求异面直线MN与CD'所成的角.
变式:
在直三棱柱
ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M
是CC1的中点,Q是
BC的中点,点P在A
B上,则直线PQ与直线AM所成的角等于(
)
1
1
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
例2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,
求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
变式:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求BD与平面ADMN所成的角θ.
四、练一练(时间:
5分钟)
1.1.若平面α的法向量为μ,直线l的方向向量为v,
直线l
与平面α的夹角为θ,则以下关系式成立的是
(
)
A.cosθ=
μ·v
B.cosθ=
|μ·v|
C.sinθ=
μ·v
D.sinθ=
|μ·v|
|μ||v|
|
μ||
|
μ||v|
|μ||v|
υ|
2.如图,ABCD—A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=A1B1,
D1
F1
C1
4
A1
E1
则BE1
B1
1
所成角的余弦值是(
)
与DF
15
B.
1
8
3
D
C
A.
C.
17
D.
17
2
2
A
B
3.正三棱柱ABC—ABC的全部棱长相等,则
AC与面BBCC所成角的余弦值为(
)
1
1
1
1
1
1
5
10
5
10
A.4
B.4
C.2
D.2
4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成
角的正弦值为
(
)
5.正四棱锥
S—ABCD,O为极点在底面上的射影,
P为侧棱
SD的中点,且
SO=OD,则直
线BC与平面
PAC所成的角为
.
【参照答案】§立体几何中的向量方法(4)
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1.理解直线与平面所成角的观点.
2.掌握利用向量方法解决线线、线面
、面面的夹角的求法.
用向量方法求空间中的角
角的分类
向量求法
范围
异面直线
设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为
a,b,
π
所成的角
则cosθ=
|cos〈a,b〉|=
|a·b|
(0,2]
.
|a|·|b|
直线与平面
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为
a,
平面α的法向量为n,则sinθ=|cos
|〈a,n〉
π
所成的角
|a·n|
[0,2]
=
.
|a||n|
设二面角α—l—β的平面角为θ,平面α、β的
二面角
|n1·n2|
[0,π]
法向量为
n1,n2,则|cosθ|=|cos〈n1,n1〉|=|n1|·|n2|.
1.求异面直线所成的角
设l1与l2是两异面直线,a、b分别为l1、l2的方向向量,l1、l2所成的角为θ,则〈a,
|a·b|
b〉与θ相等或互补,∴cosθ=|a|·|b|.
2.求直线与平面所成的角
如图,设l为平面α的斜线,l∩α=A,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,φ为
|a·n|
l与α所成的角,θ=〈a,n〉,则sinφ=|cosθ|=|cos〈a,n〉|=|a||n|.
二、问题导学
问题1:
什么叫异面直线所成的角它的范围是什么如何用定义法求它的大小
问题2:
如何经过向量的运算来求异面直线所成的角
设l1与l2是两异面直线,
a、b分别为l1、l2
的方向向量,l1、l2所成的角为θ,
则〈a,b〉与θ
,cosθ=
。
问题3:
用向量的数目积能够求异面直线所成的角,可否求线面角如图,设l为平面α的斜线,l∩α=A,a为l的方向向量,
n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,θ=〈a,n〉,
则sinφ=。
三、例题研究
例1.如图,M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点.求异面直线MN与CD'所成的角.
【答案】60°
变式:
在直三棱柱ABC-A111
1
=AB=AC,AB⊥AC,M
1
的中点,Q是
BC
中,AA
是CC
BC的中点,点P在A1B1上,则直线
PQ与直线AM所成的角等于(
)
A.30°B.45°
C.60°D.90°
[答案]D
[分析]以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴成立空间直角坐标系,设AB
111
=1,A(0,0,0),M(0,1,2),Q(2,2,0),设P(x,0,1),
→
1
→
1
1
→→
1
1
1
∴AM
=(0,1,),PQ=(-x,,-1),AM·PQ=0×(-x)+1×+×(-1)=0,
2
2
2
2
2
2
→
→
∴AM
⊥PQ,∴选D.
[评论]1.求异面直线所成的角的常用方法是:
(1)作图——证明——计算;
(2)把角的求解转变为向量运算.
2.一般地,若直线
AM和点Q固定,点P改动,则直线
AM与PQ所成的角为变量,
若此角不随
P的变化而变化,则只好是
AM⊥平面P12
1
2
是P运动轨迹中的两
PQ(此中P
、P
个点),应选D.
例2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,
求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
[分析]
(1)取AB中点O,连结CO,A1B,A1O,
∵AB=AA1,∠BAA1=60°,∴△BAA1是正三角形,∴A1O⊥AB,
∵CA=CB,∴CO⊥AB,
∵CO∩A1O=O,∴AB⊥平面COA1,
∴AB⊥A1C.
(2)由
(1)知OC⊥AB,OA⊥AB,
1
又∵平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,∴OC⊥平面ABB1A1,∴
→
x轴正方向,
→
OC⊥OA1,∴OA,OC,OA1两两互相垂直,以O为坐标原点,OA的方向为
|OA
|为单位长度,成立如下图空间直角坐标系
O-xyz,
由题设知A(1,0,0),A1
(0,3,0),C(0,0,
→
→
3),B(-1,0,0),则BC=(1,0,
3),BB1=
→
→
AA1=(-1,3,0),A1C=(0,-3,3),
设n=(x,y,z)是平面CBB1
1
C的法向量,
→=0
x+
3z=0,
n·BC
可取n=(
3,1,-1),
则
即
-x+3y=0,
→1=0
n·BB
→
→
10
n·AC
∴cos〈n,A1
C〉=
1
=-
,
→
5
|n||AC|
1
∴直线A1
11
10
C与平面BBCC所成角的正弦值为
5.
变式:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求BD与平面ADMN所
成的角θ.
[分析]如下图,成立空间直角坐标系,设BC=1,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),
P(0,0,2),则N(1,0,1).
→
→
→
∴BD=(-2,2,0)
,AD=(0,2,0)
,AN=(1,0,1),
设平面ADMN的一个法向量为
n=(x,y,z),
→=0
y=0
n·AD
,取x=1,则z=-1,
则由
,得
→
x+z=0
n·AN=0
∴n=(1,0,-1).
→
→
BD·n
∵cos〈BD,n〉=
→
=
|BD||n|
→
1
.
∴sinθ=|cos〈BD,n〉|=
2
又0°≤θ≤90,°∴θ=30°.
方法例律总结
-2=-1,
8·22
用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角,都是转变为直线的方向向量或平
π
面的法向量的夹角计算问题,需注意的是①异面直线所成的角θ∈(0,2],故两直线的方
向向量夹角α的余弦值为负时,应取其绝对值;②若直线与平面所成的角θ,直线的方向
向量和平面的法向量夹角为φ,则其关系为sinθ=|cosφ|;③若二面角为θ,两平面的法
向量夹角为α,则|cosθ|=|cosα|,需分辨角θ是锐角仍是钝角,可由图形察看得出,也
可由法向量特点得出.
四、练一练(时间:
5分钟)
1.若平面α的法向量为μ,直线l的方向向量为v,直线l与平面α的夹角为θ,则以下关系式成立的是
A.cosθ=
μ·v
B.cosθ=
|μ·v|
C.sinθ=
|μ||v|
|μ||
|
υ|
[答案]D
(
μ·v
μ||v|
)
|μ·v|
D.sinθ=|μ||v|
2.如图,ABCD—A1B1C1D1
是正方体,B1E1
=D1F1=A1B1,
D1
F1
C1
4
A1
E1
则BE1与DF1所成角的余弦值是(
)
B1
15
1
C.
8
3
D
C
A.
B.
17
D.
17
2
2
A
B
[答案]A
[分析]
如下图,成立空间直角坐标系,设
AB=4,则D(0,0,0),B(4,4,0),E1(4,3,4),
→
→
D1
F1
C1
F1(0,1,4),则BE1=(0,-1,4),DF1=(0,1,4).
A1
E1
→→
→
→
B1
11=0×0+(-1)
×1+4×4=15,|BE1
1
17,
BE·DF
|=
17,|DF|=
→
→
→→
15
15
D
C
BE·DF
∵cos〈BE1,DF1〉=
→→==
17·17
=17,
A
B
|BE||DF|
→→
15
BE·DF
设BE1与DF1所成的角为θ,则cosθ=|→
→|=
17,
|BE||DF|
即BE1与DF1所成的角的余弦值为
15.应选A.
17
3.正三棱柱ABC—ABC的全部棱长相等,则AC与平面BBCC所成角的余弦值为(
)
1
1
1
1
1
1
5
10
5
10
A1
C1
A、4
B、4
C、2
D、2
[答案]
B
B1
[分析]
取BC的中点D,连结DC,
1
能够证明AD平面BB1C1C,
A
C
则AC1D是AC1与平面BB1C1C所成的角,
D
B
cosAC1D
C1D
5
10,即AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为
10,应选B.
AC1
22
4
4
4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成
角的正弦值为()
[答案]C
[分析]解法一:
连结A1C1交B1D1于O点,由已知条件得C1O⊥B1D1,且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1,因此C1O⊥平面BDD1B1,连结BO,则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影,
10
∠C1BO即为所求,经过计算得sin∠C1BO=5,应选C.
解法二:
以A为原点,AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系,则B(4,0,0)、
→→→
B1(4,0,2)、D(0,4,0)、D1(0,4,2)、C1(4,4,2),∴BC1=(0,4,2),BD=(-4,4,0),BB1=(0,0,2),
设平面BDD1B1的法向量为n=(x,y,z),则
→
n·BD=0
-4x+4y=0
y=x
,∴
,∴
,取x=1,则n=(1,1,0).
→
2z=0
z=0
1=0
n·BB
→
→
|n·BC|
4
10
设所求线面角为
α,则sinα=|cos〈n,BC1〉|=
1
=
=
.
→
2·20
5
|n|·|BC1|
5.正四棱锥S—ABCD中,O为极点S在底面ABCD上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,
则直线BC与平面PAC所成的角为.
[答案]30°
[分析]可利用平面的法向量。
S
P
AD
O
BC
讲堂小结:
1.异面直线l,m的方向向量为a,b,则l与m所成的角即为a、b所成的夹角或其
补角;
2.要求直线l与平面所成的角,先求出直线的方向向量与
平面的法向量的夹角,而后用||计算出结果即可;
2
3.求角过程中注意定义中角的取值范围,对所得的数目积作
相应的调整,注意运用图象.
问题:
用空间向量解决立体几何问题的步骤是什么
(1)成立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中波及到的点、直线、平面,把立体几何问题转变为向量问题;
(2)经过向量运算,研究点、直线、平面之间的地点关系以及它们之间的距离和夹角等问题;
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
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- 立体几何 向量 方法 详解 线线 线面角