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简单的排列组合练习题及答案
简单的排列组合练习题及答案
一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?
2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法?
3.现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是A.男同学2人,女同学6人B.男同学3人,女同学5人C.男同学5人,女同学3人D.男同学6人,女同学2人4.一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增加n个车站,则客运车票增加了58种,那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5.用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成多少个数字不重复的三位数?
可以组成多少个数字允许重复的三位数?
可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?
可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?
可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数?
二、注意附加条件1.6人排成一列甲乙必须站两端,有多少种不同排法?
甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法?
2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数?
3.由数字1,2,3,4,5,6,7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来,第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1,2,?
,10,11的11个球中取5个,使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7.用0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第71个数是。
三、间接与直接1.有4名女同学,6名男同学,现选3名同学参加某一比赛,至少有1名女同学,由多少种不同选法?
2.名男生4名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种?
3.已知集合A和B各12个元素,A?
B含有4个元素,试求同时满足下列两个条件的集合C的个数:
C?
且C中含有三个元素;C?
A?
?
?
表示空集。
4.从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门,组成一个综合高考科目组,若要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数A.60种B.80种C.120种D.140种5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点不同取法有多少种?
6.以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个?
7.对正方体的8个顶点两两连线,其中能成异面直线的有多少对?
四、分类与分步1.求下列集合的元素个数.M?
{|x,y?
N,x?
y?
6};H?
{|x,y?
N,1?
x?
4,1?
y?
5}.2.一个文艺团队有9名成员,有7人会唱歌,5人会跳舞,现派2人参加演出,其中1名会唱歌,1名会跳舞,有多少种不同选派方法?
3.已知直线l1//l2,在l1上取3个点,在l2上取4个点,每两个点连成直线,那么这些直线在l1和l2之间的交点最多有A.18个B.20个C.24个D.36个4.名翻译人员中,6人懂英语,4人懂日语,从中选拔5人参加外事活动,要求其中3人担任英语翻译,2人担任日语翻译,选拔的方法有种。
5.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观,每天只安排一所学校,其中一所人数较多的学校要连续参观3天,其余学校只参观1天,则在这20天内不同的安排方法为A.7C320A17种B.A820种C.7C118A17种D.A1818种6.从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出,如果甲乙两种种子不许放第一号瓶内,那么不同的放法共有A.24C10A8种B.5C19A9种C.5C18A9种D.5C19A8种7.在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,要求排成一排,并且同一种的画摆放在一起,还要求水彩画不能摆两端,那么不同的陈列方式有A.5A14A5种B.245A3A4A5种C.45A14A4A5种D.45A22A4A5种8.把一个圆周24等分,过其中任意3个分点,可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是A.12B.13C.2649.有三张纸片,正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、,将这三张纸片上的数字排成三位数,共能组不同三位数的个数是A.B.3C.48D.6410.在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
11.如下图,共有多少个不同的三角形?
解:
所有不同的三角形可分为三类:
第一类:
其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个第二类:
其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个第三类:
没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.12.从5部不同的影片中选出4部,在3个影院放映,每个影院至少放映一部,每部影片只放映一场,共有种不同的放映方法。
五、元素与位置——位置分析1.7人争夺5项冠军,结果有多少种情况?
2.5600有多少个正约数?
有多少个奇约数?
解:
75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.由于5600=24×33×52×7ljkl5600的每个约数都可以写成2?
3?
5?
7的形式,其中0?
i?
4,0?
j?
3,0?
k?
2,0?
l?
1于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.jkl奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成3?
5?
7的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.3.名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同分配方法有多少种?
4.有四位同学参加三项不同的比赛,每位同学必须参加一项竞赛,有多少种不同的结果?
每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果?
解:
每位学生有三种选择,四位学生共有参赛方法:
3?
3?
3?
3?
81种;每项竞赛被选择的方法有四种,三项竞赛共有参赛方法:
4?
4?
4?
64种.六、染色问题1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为图一图二图三若变为图二,图三呢?
2.某班宣传小组一期国庆专刊,现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用,要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色,相邻两块颜色不同,则不同颜色粉笔书写的方法共有种。
七、消序1.有4名男生,3名女生。
现将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法?
2.书架上有6本书,现再放入3本书,要求不改变原来6本书前后的相对顺序,有多少种不同排法?
八、分组分配1.某校高中一年级有6个班,分派3名教师任教,每名教师任教二个班,不同的安排方法有多少种?
2.高三级8个班,分派4名数学老师任教,每位教师任教2个班,则不同安排方法有多少种?
3.本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人一本、二本、三本的不同分法有多少种?
4.8项工程,甲承包三项,乙承包一项,丙、丁各承包二项,不同的承包方案有种排列组合练习题1、三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程,共有种不同的选法。
2、8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种。
3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种。
4、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有。
5、有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名得2本,其它每人一本,则共有种不同的奖法。
6、有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有种。
、有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。
8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有种陈列方法。
9、有6名同学站成一排:
甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。
10、五个人排成一排,要求甲、乙不相邻,且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是11、6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。
12、4名男生和3名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。
13、有4男4女排成一排,要求女的互不相邻有种排法;要求男女相间有种排法。
14、一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。
15、三个人坐在一排7个座位上,若3个人中间没有空位,有种坐法。
若4个空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。
16、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3必须排在一起,4、5不能排在一起,则不同的5位数共有个。
17、有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变,那么不同的排法有种。
18、从6名短跑运动员中选4人参加4?
100米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有种参赛方案。
19、现有6名同学站成一排:
甲不站排头也不站排尾有种不同的排法甲不站排头,且乙不站排尾有种不同的排法20、有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。
1、以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。
22、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字,则这样的数共有个。
23、A,B,C,D,E五人站一排,B必须站A右边,则不同的排法有种。
4、晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又加了2个节目,若将这个节目插入原节目单中,则不同的插法有种。
25、书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有书的相对顺序不变,则不同的放法有种。
26、9个子高低不同的人排队照相,要求中间的最高,两旁依次从高到矮的排法共有种。
27、书架上放有5本书,现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。
28、12名同学合影,站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是29、有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有种分配方法。
30、从编号为了1、2、?
的九个球中任取4个球,使它们的编号之和为奇数,再把这四个球排成一排,共有种不同的排法。
31、有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子,有编有1、2、3、4的四个不同的小球,现把小球放入盒子里,①小球全部放入盒子中有种不同的放法。
②恰有一个盒子没放球有种不同的放法。
③恰有两个盒子没放球有种不同的放法。
32、从两个集合{1,2,3,4}和{5,6,7}中各取两个元素组成一个四位数,可以组成个四位数。
33、用1、2、3、?
9这九个数字,能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。
34、用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中,若按从小到大的顺序排列23140是第个数。
35、用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成个没有重复数字的三位数?
这些三位数的和是36、用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数,其中能被5整除的数有个能被3整除的数有个能被6整除的数有个37、某小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则小组中的女生数为。
38、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲,乙电视机各一台,则不同取法共有种。
39、某车间有8名会车工或钳工的工人,其中6人会车工,5人会钳工,现从这些工人中选出人分别干车工和钳工,问不同的选法有种。
40、有11名翻译人员,其中5名英语翻译员,4名日语翻译员,另2人英语、日语都精通。
从中找出8人,使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英文,另4人翻译日文,这两个小组能同时工作。
这样的分配名单共可开出张41、将12本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人各得4本有种分法。
平均分成三堆,有种分法。
42、6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,甲一本、乙二本、丙三本;有种不同的分法。
一人一本、一人二本、一人三本;有种不同的分法。
甲一本、乙一本、丙四本;有种不同的分法。
一人一本、一人一本、一人四本;有种不同的分法。
每个人都有两本书,有种不同的分法。
43、将数字1,2,3,4填入标号为1.2.3.4的四个方格,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种。
44、将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种.45、将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有种。
解排列组合的应用题要注意以下几点:
1仔细审题,判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步。
深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考虑。
3对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。
4由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用不同的方法求解。
看看结果是否相同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏和重复。
基本规律1,一大一小交替出现,首先考虑隔项数列;,由小到大再到小,必与指数有关;3,注意观察是否平方/立方的变形;要求对以上前提篇的熟练运用4,跳跃较大则考虑乘积/次方,跳跃较小则考虑差/二重差;,尝试把各数间差,及二重差列出,寻找规律;,尝试把各数变化成某平方式,看是否存在规律;数算部分以下都是最基础的,原本以为不用写上来。
可是今天看到还是有人不会。
所以加上。
一、立方和公式:
a立方+b立方=a立方-b立方=二、特殊数列前N项和1+2+3+4+5+6……+n=n/+4+6+8+10+……+2n=n1+3+5+7+……+=n平方1平方+2平方+3平方+4平方+……+n平方=n/1立方+2立方+3立方+4立方+……+n立方=n/4三、等差数列求和公式:
Sn=n/Sn=na1+nd/2例1,六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
甲不站两端;甲、乙必须相邻;甲、乙不相邻;甲、乙之间间隔两人;甲、乙站在两端;甲不站左端,乙不站右端.例2,男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?
男运动员3名,女运动员2名;至少有1名女运动员;队长中至少有1人参加;既要有队长,又要有女运动员.例3,个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.恰有1个盒不放球,共有几种放法?
恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
恰有2个盒不放球,共有几种放法?
1,从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有A,70种B,80种C,100种D,140种解析:
分为2男1女,和1男2女两大类,共有112C52?
C4?
C5?
C4=70种,解题策略:
合理分类与准确分步的策略。
2,2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有A,种B,12种C,18种D36种解析:
合理分类,通过分析分为小张和小王恰有1人入选,先从两人中选1人,然后把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有113C2?
C2?
A3种选法。
种方法。
小张和小赵都入选,首先安排这两个人,然后再剩余的3人中选2人排列有2A32?
A2共有24+12=36种选法。
解题策略:
:
1,特殊元素优先安排的策略。
,合理分类与准确分步的策略。
3,排列、组合混合问题先选后排的策略。
3,从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为A,4B,1C,180D,162解析:
分为两大类:
含有0,分步1,从另外两个偶数中选一个,个奇数中选两个,有1C2种方法,2,从31C3C32种方法;3,给0安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有种方法;4,其他的3个数字进行全排列,有A33种排法,根据乘法原理共113C2?
C32?
C3?
A3种方法。
不含0,分步,偶数必然是2,;奇数有列,共C32种不同的选法,然后把4个元素全排A44种排法,不含0的排法有+=180.4C32A4种。
根据加法原理把两部分加一块得1134C32A4C2?
C32?
C3?
A3解题策略:
1,特殊元素优先安排的策略。
2,合理分类与准确分步的策略。
3,排列、组合混合问题先选后排的策略。
4,甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A,150种B,180种C,300种D,345种解析:
4人中恰有1名女同学的情况分为两种,即这1名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所有不同的选法共有11211C5C3C6?
C52C6C2种选法。
解题策略:
合理分类与准确分步的策略。
5,甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A,B,1C0D3解析:
可以先让甲、乙任意选择两门,有22C4?
C4种选择方法,然后再把两个人全不相同的种选法,然后乙从剩余的两门选,有情况去掉,两个人全不相同,可以让甲选两门有种不同的选法,全不相同的选法是C42C22—C42C22种方法,所以至少有一门不相同的选法为22C4?
C4C42C22=30种不同的选法。
解题策略:
正难则反,等价转化的策略。
6,用0到这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A.3B,328C,360D,648解析:
CCC第一类个位是零,共A92种不同的排法。
第二类个位不是零,共111C4?
C8?
C8种不同的解法。
解题策略:
合理分类与准确分步的策略.7,从10名大学毕业生中选3?
ahref=“/fanwen/shuoshuodaquan/”target=“_blank”class=“keylink”>说H未宄ぶ恚蚣住⒁?
至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的总数为A,85B,5C,49D,2解析:
合理分类,甲乙全被选中,有同的选法,共2112C2?
C7C2?
C721C2?
C7种选法,甲乙有一个被选中,有12C2?
C7种不+=49种不同的选法。
解题策略:
特殊元素优先安排的策略,合理分类与准确分步的策略.8,将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为A,1B,2C,30D,30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有C42种不同的分法,然后三组进行全排列共A33种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共A33种不同的排法。
所以总的排法为C42A33—A33=30种不同的排法。
注意:
这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。
这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究,这里不再详述。
解题策略:
1正难则反、等价转化的策略相邻问题捆绑处理的策略3排列、组合混合问题先选后排的策略;9,3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是A,360B,288C,216D,96解析:
分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从3个女生中选两位,有C32种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有A22种方法;这样选出两名女生后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有A32中不同的排法,然后把两个女生看成一个整体,和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。
有的排法,共有甲可能站左端,也可能是右端,有1C2A42种不同A22C32A33A42种不同的排法。
然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。
种不同的方法,然后其他两个男生排列有A22种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有法,故总的排法为A32种不同的排法。
共1A22C32C2A22A32种不同的排A22C32A33A42----1A22C32C2A22A32=288种不同的方法。
本题难度大,体现的排列组合的解题策略多:
特殊元素优先安排的策略:
合理分类与准确分步的策略;排列、组合混合问题先选后排的策略;正难则反、等价转化的策略;相邻问题捆绑处理的策略;不相邻问题插空处理的策略。
1.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有A.81B.C.12D.142.a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a不能当副组长,不同的选法总数是A.20B.1C.10D.63.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是A.12C6C94B.12C6C99C.33C100?
C94D.33A100?
A944.停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同型号的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,则不同的停车方法有种.82AAA9AA12A.种B.84种C.88种D.8种84885.某班举行联欢会,原定的五个节目已排出节目单,演出前又增加了两个节目,若将这两个节目插入原节目单中,则不同的插法总数为A.4B.36C.30D.126.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有A.8种B.10种C.12种D.32种.今天是星期三,则再过22009天是A.星期五B.星期六C.星期天D.星期四11.从0、1、2、3、5、7、11七个数字中每次取出三个相乘,共有个不同的积.12.甲、乙、丙、丁四个建筑公司承包8
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