江苏省南京市六校联合体届高三上学期联考数学Word版.docx
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江苏省南京市六校联合体届高三上学期联考数学Word版
南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷
数学
注意事项:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.
2•答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答.纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.
参考公式:
nn
样本数据X1,X2,…,Xn的方差S=-刀(Xi-X)2,其中X=-刀Xi;ni=1''ni=1
1
锥体的体积公式:
V=§Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高;
圆锥的侧面积公式:
S=..rl,其中r为底面半径,1为母线长.
-、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1•已知集合M=b,1,2,3l,集合N,则Mp|N=▲.
22
2•双曲线Xy1的渐近线方程是▲.
925
3.复数z满足一z3i,其中i是虚数单位,则复数z的模是
1+i
4.
开始
a「5,S11
若一组样本数据3,4,8,9,a的平均数为6,则该组数据的
方差s2=▲.
5•从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取出2个数,则所取
2个数的乘积为奇数的概率是▲.
6•如图所示的流程图的运行结果是—▲—.
7.若圆锥底面半径为1,侧面积为二,则该圆锥的体积
是▲.
兀1
9.已知tan(:
_4)__7,
8.设直线I是曲线y=2x2•Inx的切线,则直线I的斜率的最小值是▲.
ae0,—[,则sin(a+—)的值是
I2丿6
2
10.已知函数f(X)是定义在R上的奇函数,且当X>0时,f(x)二X-X.若
f(a)v4+f(—a),则实数a的取值范围是
01
11.」ABC中,AC=4,BC=3,._ACB=60,E为边AC中点,AD=—AB一AC,
33
则CDBE的值为▲.
12.已知圆C:
x2(y-2)2=2,直线I:
kx-y-2=0与y轴交于点A,过l上一点P作圆
C的切线,切点为T,若PA-.2PT,则实数k的取值范围是▲.
13.已知n€N*,an=2n,bn=2n-1,q=max{bj-印n®_a?
b^ann},其中max{X1,X2,…,Xs}表示为兀,…,x$这s个数中最大的数.数列{©}的前n项和为Tn,若an•F-0对任意的n€N*恒成立,则实数■的最大值是▲.
14.已知函数f(x)=x2-2ax2a-1.若对任意的a(0,3),存在x0•[0,4],使得t日f(X°)|成立,则实数t的取值范围是▲_.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步
骤,请把答案写在答题卡的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且J3bsinA=acosB.
(1)求角B;
(2)若b=3,sinC=时3sinA,求a,c.
16.(本小题满分14分)
P
题16图
A
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,
PC丄底面ABCD,点E为侧棱PB的中点.
求证:
(1)PD//平面ACE;
(2)平面FAC丄平面PBD.
17.(本小题满分14分)
已知椭圆C:
22
x2y2=1(ab■0)上一点与两焦点构成的三角形的周长为4+2..3,
a2b2
离心率为
2
(1)求椭圆C的方程;
1
(2)设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B,斜率为一的直线I与椭圆C交于P、
2
Q两点(点P在第一象限)•若四边形APBQ面积为.7,求直线I的方程.
18.(本小题满分16分)
2n
如图,某公园内有一个以0为圆心,半径为5百米,圆心角为~3■的扇形人工湖OAB,
0M、ON是分别由0A、0B延伸而成的两条观光道.为便于游客观光,公园的主管部门准
备在公园内增建三条观光道,其中一条与AB相切点F,且与0M、ON分别相交于C、D,
另两条是分别和湖岸0A、0B垂直的FG、FH(垂足均不与0重合).
(1)求新增观光道FG、FH长度之和的最大值;
(2)在观光道0N段上距离0为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场,为
了不影响娱乐场平时的正常开放,要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心,2.5
百米为半径的圆形E的区域内.则点D应选择在0与E之间的什么位置?
请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}各项均不相同,ai=1,定义bn(k)"n•(-1)kan.k,其中n,
(1)若b
(1)=n,求a5;
(2)若bn+1(k)=2bn(k)对k=1,2均成立,数列{an}的前n项和为Sn.
(i)求数列{an}的通项公式;
(ii)若k,t€N*,且S,Sk—S1,St-Sk成等比数列,求k和t的值.
20.(本小题满分16分)
xInx
已知函数f(x)x,g(x).
ex
(1)求f(x)的极大值;
K
⑵当a0时,不等式xg(x)乞ax恒成立,求一的最小值;
a
⑶是否存在实数kN,使得方程f(x)=(xT)g(x)在(k,k,1)上有唯一的根,
k€N*.
若存在,
求出所有k的值,若不存在,说明理由.
南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷
说明:
容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
所以、3sinB=cosB.
法一:
因为0:
:
:
B:
:
:
二,所以sinB=0,因而cosB=0.
所以tanB=
cosB
所以B=—
6
法二:
.3sinB-cosB=0即2sin(B)=0
6
所以Bk二(k•Z),因为0:
:
:
B:
:
:
-:
6
所以B.
6
(2)由正弦定理得-^―二
sinAsinC
而sinC=.3sinA,
12分
14分
由余弦定理b2=a2•c2—2accosB,得9二a2•c2-2accos—,
6
16.【解析】证明:
(1)连接0E.
因为O为正方形ABCD的对角线的交点,所以O为BD中点.
因为E为PB的中点,所以PD//OE.
又因为OE?
面ACE,PB/平面ACE,所以PD//平面ACE.
(2)在四棱锥P—ABCD中,
因为PC丄底面ABCD,BD?
面ABCD,所以BD丄PC.
因为O为正方形ABCD的对角线的交点,所以BD丄AC.
又PC、AC?
平面PAC,PCAAC=C,所以BD丄平面PAC.
因为BD?
平面PBD,
所以平面PAC丄平面PBD.
10分
12分
14分
6分
2分
4分
即a2•c2-3ac=9,②
把①代入②得a=3,c=3、.3.
解得a=2,c=■■、3,•••b=1•…2分
17.【解析】
(1)由题设得4+2■■一3,又
2
故椭圆C的方程为—y2=1.
1
(2)设直线|方程为:
y=—
m弋入椭圆C:
—y^1并整理得:
4
4
22
x2mx2m—2=0,
%+x2=-2m
设昭心(“),则]x1X2=2m2—2
2n
则FG+FH=5sin("3-0)+5sin0
=5^^3cos0+*sin0+sin0)=5(|sin0+"^cos0)=5,3sin(9+才因为6<所以n<0+n<于,所以当0+討才,即0=/寸,
(FG+FH)max=5,3.……
(2)以O为坐标原点,以ON所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由
6分
题意,可知直线CD是以O为圆心,5为半径的圆O的切线,直线CD与圆E相离,且点O在直线CD下方,点E在直线CD上方.由OF=5,圆E的半径为2.5,因为圆O的方程为x2+y2=25,
圆E的方程为(x—15)2+y2=6.25,
设直线CD的方程为y=kx+1(—,3
代入②得
—15k—5k2+1
13分
>2.5,解得
即kx—y+1=0,设点D(xd,0)
又由一3 33k tk2+1/11^3 在y=kx+t中,令y=0,解得xd=—=一—=5: 1+k2,所以一 15分 答: (1)新增观光道FG、FH长度之和的最大值是53百米;10血 (2)点D应选择在O与E之间,且到点O的距离在区间(二,10)(单位: 百米)内的 任何一点处.16分 19•解: (1)因为bn (1)=an-an1二n, 所以a1-a^1234=10, 所以a5=—9.4分 (2)(i)因为bn+1(k)=2bn(k), 得an「(-1)kan「k=2(an•(-1)kank), 令k=1,an+-an七=2(an—an』,① k=2,an1■an3=2(an■an2),②6分 由①得an2-an3=2(an1-an2),③ ②+③得an2■an1=2(an1'an),④ ①+④得an1=2an, 又ai=1=0,所以数列和是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n」.10分 (ii)由(i)可知Sn=2n—1. 因为S1,Sk—S1,St—Sk成等比数列, 所以(Sk_S『=S1(St—Sk),即(2^—2)2=2—2,12分 所以2t=(2k)2—32k+4,即2t—2=Q1)2-32k—2+1(*). 由于Sk—S1^0,所以kz1,即k>2. 当k=2时,2t=8,得t=3.14分 当k>3时,由(*),得(2k—1)2—32k—2+1为奇数, 所以t—2=0,即t=2,代入(*)得22k—2—32k—2=0,即2k=3,此时k无正整数解. 综上,k=2,t=3.16分 1—X 20. (1)f(x)—,令f(X)=0,得X=1.2分 e 当x1时,f(x)0,则f(x)在(-: : 1)上单调递增,当x1时,f(x)■0,则f(x) 1 在(1,七)上单调递减,故当X=1时,f(x)的极大值为1.4分 e (2)不等式xg(x)_axb恒成立,即Inx-ax-b_0恒成立, 1—ax 记m(x)=lnx-ax-b(x0),则m(x)(x0), X 1 当a0时,令m(x)=0,得x,6分 a 11 当x・(0,—)时,m(x)・0,此时m(x)单调递增,当x,(—,=)时,m(x): : : 0,此 aa 、1 时m(x)单调递减,则m(x)max二m(-)=TnaT-b_0,即卩b$: TnaT,…8分 a blna1-lna1“lna 则,记n(a),则n(a)7(a0),令n(a0,得a=1 aaaa 当a(0,1)时,n(a)O此时n(a)单调递减,当a(1,: : )时,n(a)0,此时n(a) 单调递增,n(a)min=n (1)=_1,故-的最小值为_1.10分 a x(x1)lnx丄123ln2八 (3)记s(x)x,由s (1)0,S2)2110,……12分 exee2 故存在k=1,使f(x)=(x1)g(x)在(1,2)上有零点,下面证明唯一性: ①当0: : x_1时,f(x).0,(x1)g(x): : : 0,故s(x).0,s(x)=0在(0,1]上无解 14分 ②当x1时,S(x)=_x二阮,而与: : 0,x1_|nx0丄0,exex 此时s(x): : : 0,s(x)单调递减, 16分 所以当k=1符合题意. 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学H(附加题) 注意事项: 1•附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共40分,考试时间30分钟. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡•••上对应题 目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. 21.【选做题】本题A、B、C三小题,请选定其中两小题,.并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来源: 学 A.[选修4—2: 矩阵与变换](本小题满分10分) _a-11 已知矩阵a=」,其中a,b^R,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到的点R(1,4) ]b1一 (1)求实数a,b的值; (2)求矩阵A的逆矩阵. B.[选修4—4: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在直角坐标系xOy中,已知直线I的参数方程是y=(t是参数),若以0为极 X=t 点,X轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,曲线C的 极坐标方程为p二2.2(sin••-)•求直线I被曲线C截得的弦长. 4 C.[选修4—5: 不等式选讲](本小题满分10分) 若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2y2z2的最小值. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习. (1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率; 2)随机变量X表示分到B公司的学生的人数,求X的分布列和数学期望E(X). 23.(本小题满分10分) 设N*且n_4,集合M=「1,2,3」l|,J的所有3个元素的子集记为人,九,川,代「 (1)当n=4时,求集合a,A」H,AC3中所有元素之和S; C2018 3Zm (2)记mi为A(i=1,2」||,C3)中最小元素与最大元素之和,求丄_的值. C3 2018 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学附加题参考答案 21.【选做题】本题A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答 p二2十;)即 p=2(sinJcos^),两边同乘以「得肿=2(: : sinv「cos'), 所以(X_1)2-(x-1)2=2, 圆心C到直线I的距离d」2二1—11= J22+125 10分 所以弦长为AB=2,2-(2」5)2二2^0. \55 C•解: 由柯西不等式,得 2222222 (xyz)(122)_(x2y2z). 因为x2y2z=6,所以x2y2z2_4, 所以x2y2z2的最小值为4.10分 22.解: (1)将4人安排四个公司中,共有44=256种不同放法. 记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A, 事件A共包含A^=24个基本事件, 所以pa24-, 25632 (2)方法1: X的可能取值为0,1,2,3,4, 3481c! ^<33 px"乡唱,PX-1二上厂 42564 34 ’、C4缰3『kC4 PX=3/石,PX二 464 』、8127丄27 EX=012 25664 方法2: 每个同学分到B 根据题意X〜B4,4, L3丄1 十3汉一十4疋=1 12864256 公司的概率为P(B)#,P(B)=1#=3. 444 k44 所以P(X=k)=c4(^)(3),k=0,1,2,34, 44 10分 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 81 27 27 3 1 256 64 128 64 256 所以X的数学期望为: 所以X的分布列为: X|0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 8分 所以X的数学期望为eX=41=1.10分 23. (1)因为含元素1的子集有C3个,同理含2,3,4的子集也各有C3个,于是所求 元素之和为(1234)C;=30;3分 (2)集合M—1,2,3川|,n? 的所有3个元素的子集中: 以1为最小元素的子集有C2二个,以n为最大元素的子集有C2j个; 以2为最小元素的子集有C爲个,以n-1为最大元素的子集有C爲个; 以n-2为最小元素的子集有C;个,以3为最大元素的子集有C;个.5分 二Zmi=m+m2+川+mC3 i4n 222 =(n1)(CnACnN川C2) -(n1)(cn」C爲川cfC;) =(n1)(C: 1C: 2川C42C: ) c3 二mi i壬 10分 TH=(nTC;, C2018 vmi 120181=2019. C2018
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