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函数基础知识复习
函数及其表示基础知识梳理
1•函数的基本概念
(1)函数的定义:
设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一
个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:
A-B为从集合A到集合B的一个
函数,记作:
y=f(x),x€A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x€A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫值域•值域是集合B的子集.
(3)函数的三要素:
定义域、值域和对应关系.
(4)相等函数:
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.
2.函数的三种表示方法
表示函数的常用方法有:
解析法、列表法、图象法.
3.映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一
个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A-B为从集合A到集合B的一个映射.
另:
求复合函数三f(t),t=q(x)的定义-域的方法:
…
①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得avq(x)vb即可求出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))'l-;二、/(
的定义域为一(a,b),则求出g(x)的值域即为..f(t).的定义域..
4.函数的单调性
(1)定义:
一般地,设函数f(x)的定义域为I•如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值xi,X2,当xiVX2时,都有f(xi)vf(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当xiVx2时,都有f(xi)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
⑵单调区间的定义:
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.
1
注:
函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制•例如函数y=1分别在(一%,0),
——-x
(0,…土于)内都是单调递减.的.,…但不能说它在.整个定义域一即..…一(一.x,.O).qo,…士巳).内单调递减,只能.
分开写.,即函数的单调减.区.间为一一…(一匸,0)和(0,土兰)一,…丕能用“卫'…连接一•…
函数单调性的判断..
(1)定义法.:
取值、作差、变形、定号、下结论……
⑵复合法:
同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.
在公共的单调区间内有:
增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,
减函数+减函数=减函数,减函数-增函数=减函数。
(3)图象法:
禾U用图象研究函数的单调性.
函数的奇偶性与周期性基础知识梳理
1•奇、偶函数的概念
-.—Y
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(—x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.如
果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(—x)=—f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.注:
奇、偶函数的定义域关于原点对称.
2.奇、偶函数的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相_
反。
(3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(O)=0,偶函数恒有f(x)=f(|x|).
判断函数的奇偶性,.一般.有三种方法;.……
(1).定.义法;….
(2)图象法;(3)性质法...
3.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有
f(x+T)二f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期.
11
注:
…若.f(x+.a).三—一f(x)或f(x+a).亍.裁■或.f(x.+a),那么-函.数…f(x)是周期函数.,…其中一个周期
为.T=2a;
练习检测
1
1.(2011江西)若f(x)=/〔=,贝Uf(x)的定义域为().
、/log2?
2x+1?
11
a.(_2,0)b.G-,0]
1
解析由Iog2(2x+1)>0,即卩0v2x+1v1,
1
解得—2 D.(0,+x) 1I1 ty 5 4 2 i 1p 1■ .J 洱 … 7 --—1 1- ia i■ t i■ i■ i■ J. : : 0 1 13 答案A 答案C 3.函数y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是_ 的一个值对应的y值的范围是 解析任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)图象没有交点; 当a在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点. 任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,贝Ub在函数y=f(x)的值域内;当直线y =b与函数y=f(x)的图象没有交点,贝Ub不在函数y=f(x)的值域内. 答案[—3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5] 4求下列函数的定义域: “x—2—1 (1)f(x)=—11; ln*\+1? (2)f(x)=2 —x2—3x+4 [审题视点]理解各代数式有意义的前提,列不等式解得. X-21—1>0, 解⑴要使函数f(x)有意义,必须且只须X-1>0, X-1工1. 解不等式组得x>3,因此函数f(x)的定义域为[3,+x). x>—1, 解得: —1 k? x+4? ? x—1? <0, 因此f(x)的定义域为(一1,1). 5.(2012天津耀华中学月考) (1)已知f(x)的定义域为[-丄,丄],求函数y=f(x2-x-丄)的定义域; 222 ⑵已知函数f(3—2x)的定义域为[—1,2],求f(x)的定义域. il 21 解 (1)令x—x—2=t, 知f(t)的定义域为it—2 —x2—X—1, ⑵用换兀思想,令3—2x=t, f(t)的定义域即为f(x)的定义域, •••t=3—2x(x€[—1,2]),二一Kt<5, 故f(x)的定义域为[—1,5]. 2 6. (1)已知f(—1)=lgx,求f(x); x (2)定义在(一1,1)内的函数f(x)满足2f(x)—f(—x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式. [审题视点] (1)用代换法求解; (2)构造方程组求解. 22 解⑴令t=-+1,则x=, xt—1 (2)x€(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以一x代x得,2f(—x)—f(x)=lg(—x+1).② 由①②消去f(—x)得 21 f(x)二3ig(x+1)+3^(1—x),x€(—1,1). 方法总结》 7. 求函数解析式的方法主要有: (1)代入法; (2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等. (1)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的表达式.1 (2)已知f(x)+2f()=2x+1,求f(x). x 解 (1)由题意可设f(x)=ax2+bx(a^0),贝U 22 a(x+1)+b(x+1)=ax+bx+x+1 ax+(2a+b)x+a+b=ax+(b+1)x+1 121因此f(x)=2x+2x. 8.求函数尸Iog3(x2—3x)的单调区间. 正解 设t=x2—3x,由t>0,得xv0或x>3,即函数的定义域为(一x,0)u(3,+x). 函数t的对称轴为直线x=3, 故t在(—x,0)上单调递减,在(3,+x)上单调递增. 而函数y=log*为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数y=logg(x2—3x)的单调递增区间 是(—X,0),单调递减区间是(3,+X). 9.求函数f(x)=log2(x2—2x—3)的单调区间. [尝试解答]由x—2x—3>0,得XV—1或x>3, 即函数的定义域为(一X,—1)U(3,+x). 令t=x2—2x—3,则其对称轴为x=1,故t在(—x,—1)上是减函数,在(3,+x)上是增函数. 又y=log2t为单调增函数. 故函数y=log2(x2—2x—3)的单调增区间为(3,+x),单调减区间为(—x,—1). 10..(2011江苏)函数f(x)=Iog5(2x+1)的单调增区间是. : 过.、i 1 解析要使y=log5(2x+1)有意义,则2x+1>0,即x>—2,而y=log5u为(0,+x)上的增函数,当x>—2时,u=2x+1也为增函数,故原函数的单调增区间是一2,+x. 答案-;,+X x—5 11.函数y=在(—1,+x)上单调递增,贝Ua的取值范围是() x—a—2 A.a——3B.a<3C.aw—3D.a》一3 x—5a—3a—3<0, 解析y——1+..,需 x—a—2x—? a+2? a+2w一1, l' _a<3, 即$「aw—3. Ia<—3, 答案C 2 12.已知函数f(x)对于任意x,y€R,总有f(x)+f(y)—f(x+y),且当x>0时,f(x)v0,f (1)—— (1)求证: f(x)在R上是减函数; ⑵求f(x)在[—3,3]上的最大值和最小值. [审题视点]抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作适当变形. (1)证明法一•••函数f(x)对于任意x,y€R总有 f(x)+f(y)—f(x+y), •••令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=—x,得f(-x)=—f(x). 在R上任取Xi>X2,贝Uxi—X2>0, f(xi)—f(x2)=f(xi)+f(—X2)=f(xi—X2). 又Ix>0时,f(x)v0, 而Xi—X2>0,二f(Xi—X2)v0,即f(xi)vf(X2). 因此f(x)在R上是减函数. 法二设X1>X2, 则f(xi)—f(X2)=f(xi—X2+X2)—f(X2) =f(Xi—X2)+f(X2)—f(X2)=f(Xl—X2). jl 又Ix>0时,f(x)v0,而xi—X2>0, •-f(Xi—X2)V0,即卩f(Xi)Vf(X2), •f(x)在R上为减函数. (2)解tf(x)在R上是减函数, .k? i*IQf#...•丿 •f(x)在[—3,3]上也是减函数, •f(x)在[—3,3]上的最大值和最小值分别为f(—3)与f(3). 而f(3)=3f (1)=—2,f(—3)=—f(3)=2. •f(x)在[—3,3]上的最大值为2,最小值为—2. r'—”对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条 件,对任意Xi,X2在所给区间内比较f(Xi)—f(X2)与0的大小,或胃十与1的大小.有时根据需要, X1 需作适当的变形: 如xi=X2•或X1=X2+X1—X2等. —-■._.X2 【训练】已知定义在区间(0,+^)上的函数f(x)满足f(乞)=f(X1)—f(X2),且当x>1时,f(x)V0. X2 (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的单调性; ⑶若f(3)=—1,求f(x)在[2,9]上的最小值. 解 (1)令X1=X2>0, 代入得f (1)=f(x1)—f(x1)=0,故f (1)=0. xi ⑵任取xi,X2€(0,+x),且Xi>X2,则~x>1, 2 由于当x>1时,f(x)v0,所以f省v0, 即f(Xi)—f(x2)V0,因此f(xi)vf(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+x)上是单调递减函数. (3)•••f(x)在[0,+x)上是单调递减函数. •••f(x)在[2,9]上的最小值为f(9). 由f: =f(Xi)—f(X2)得,f3=f(9)—f(3), 而f(3)=—i,所以f(9)=—2. •••f(x)在[2,9]上的最小值为一2. i.(20ii全国)设f(x)是周期为2的奇函数,当OWx iiii A.-2B.—4C.4D.2 f'广、孑jf_..八二丁卅卄I 解析因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f—2=—f2=—f2=—扌.故选a. '、■;*8■■: 答案A 2.(2Oii浙江)若函数f(x)=x2—|x+a|为偶函数,贝U实数a=. 解析法一丁(—x)=f(x)对于x駅恒成立,二|—x+a|=|x+a|对于x駅恒成立,两边平方整理得 ax=O对于xCR恒成立,故a=O. 法二由f(—1)=f(i), fIf11;XJh 得|a—1|=|a+i|,得a=O. 答案O 2 3.已知奇函数f(x)的定义域为[—2,2],且在区间[—2,0]内递减,求满足: f(1—m)+f(1—m)vO的实数m的取值范围. 解Tf(x)的定义域为[—2,2], "—2<1—m<2,二有』2 l2<1—m2<2, 解得—1 又f(x)为奇函数,且在[—2,0]上递减, •••在[—2,2]上递减, •••f(1—m)v—f(1—m2)=f(m2—1)? 1—m>m2—1, 即—2vmv1.② 综合①②可知,—1wmv1. 4.已知函数f(x)是(—x,+x)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x€[0,1]时,f(x)=2x —1, (1)求证: f(x)是周期函数; ⑵当x€[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2013)的值. jl [审题视点] (1)只需证明f(x+T)二f(x),即可说明f(x)为周期函数; ⑵由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x=1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. f产—T二叮冷尸I ilV朋二7z”••丿 (1)证明函数f(x)为奇函数,贝Uf(—x)=—f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(—x)二一f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]二一f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数. ⑵解当x€[1,2]时,2—x€[0,1], 又f(x)的图象关于x=1对称,贝Uf(x)=f(2—x)=22—x—1,x€[1,2]. ⑶解tf(0)=0,f (1)=1,f (2)=0, f(3)=f(—1)=—f (1)=—1 又f(x)是以4为周期的周期函数. •f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2013) =f(2012)+f(2013)=f(0)+f (1)=1. 判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(TM0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函 数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x—1),则f(2013)+f(2015)的值为(). A.—1B.1C.0D.无法计算 解析由题意,得g(—x)=f(—x—1), 又'•f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,•••g(—x)=—g(x),f(—x)=f(x). ••f(x)=—f(x+2),f(x)=f(x+4), ••f(x)的周期为4, ••f(2013)=f (1),f(2015)=f(3)=f(—1), 又--f (1)=f(—1)=g(0)=0, f(2013)+f(2015)=0. 答案C 6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x—4)=—f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(). I、詁■: A.f(—25) C.f(11) [尝试解答]由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[—2,2]上递增,又f(x— 4)=—f(x)? f(x—8)=—f(x—4)=f(x),故函数f(x)以8为周期,f(—25)=f(—1),f(11)=f(3)=—f(3— 4)=f (1),f(80)=f(0),故f(—25) -\XiIZz 答案D
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