定积分在几何中的应用.docx

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定积分在几何中的应用

1．7.1　定积分在几何中的应用

学习目标

　会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．

知识点　定积分在几何中的应用

思考　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

答案　求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．

梳理　

（1）当x∈[a，b]时，若f（x）>0，由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积S＝ʃf（x）dx.

（2）当x∈[a，b]时，若f（x）<0，由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃf（x）dx.

（3）当x∈[a，b]时，若f（x）>g（x）>0，由直线x＝a，x＝b（a≠b）和曲线y＝f（x），y＝g（x）围成的平面图形的面积S＝ʃ[f（x）－g（x）]dx.（如图）

类型一　利用定积分求面积

命题角度1　求不分割型图形的面积

例1　试求曲线y＝x2－2x＋3与y＝x＋3所围成的图形的面积．

解　如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．

由

解得x1＝0，x2＝3.

从而所求图形的面积为

S＝ʃ[（x＋3）－（x2－2x＋3）]dx

＝ʃ（－x2＋3x）dx＝＝.

反思与感悟　求由曲线围成图形面积的一般步骤

（1）根据题意画出图形．

（2）找出范围，确定积分上、下限．

（3）确定被积函数．

（4）将面积用定积分表示．

（5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．

解　由

得或

所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为（－3,5）和（2,0），

设所求图形面积为S，

根据图形可得，S＝ʃ（－x＋2）dx－ʃ（x2－4）dx

＝（2x－x2）|－（x3－4x）|

＝－（－）＝.

命题角度2　分割型图形面积的求解

例2　

（1）求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．

解　画出图形，如图所示．

解方程组及

得交点坐标分别为（1,1），（0,0），（3，－1），

所以S＝ʃ[－（－x）]dx＋ʃ[（2－x）－（－x）]dx

＝ʃ（＋x）dx＋ʃ（2－x＋x）dx

＝（

＋x2）|＋（2x－x2＋x2）|

＝＋＋（2x－x2）|

＝＋6－×9－2＋＝.

（2）由抛物线y2＝8x（y>0）与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为________．

答案　

解析　由题意，如图所示，

由

得所以抛物线y2＝8x（y>0）与直线x＋y－6＝0的交点坐标为（2,4）．

方法一　（选y为积分变量）

S＝ʃ（6－y－y2）dy

＝（6y－y2－y3）|

＝24－8－×64＝.

方法二　（选x为积分变量）

S＝ʃ（）dx＋ʃ（6－x）dx

＝×

|＋（6x－x2）|

＝＋[（6×6－×62）－（6×2－×22）]

＝.

反思与感悟　两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．

跟踪训练2　

（1）如图，阴影部分由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成，则其面积为________．

答案　＋ln2

解析　解方程组得

所以S＝ʃdx＋ʃdx＝

|＋lnx|

＝＋ln2.

（2）求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．

解　由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.

故所求的面积S＝ʃ（2x－x）dx＋ʃ（2x－x2）dx

＝＋

＝－0＋（4－）－（1－）＝.

类型二　定积分的综合应用

例3　如图，已知点A（0，），点P（x0，y0）（x0>0）在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x0＝________.

答案　

解析　由题意知×x0×＝

，

即x0＝x，

解得x0＝或x0＝－或x0＝0.

∵x0>0，∴x0＝.

引申探究

1．例3中，若阴影部分面积是△OAP面积的4倍，其他条件不变，求x0.

解　由题意4××x0＝

.

∴x0＝

＝x，

即x＝x0，得x＝或x0＝0（舍去），

解得x0＝±，

∵x0>0，∴x0＝.

2．曲线y＝x2在点P（2,4）处的切线与曲线及直线y＝0所围成的图形的面积为多少？

解　∵y′|x＝2＝4，

故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4（x－2），

即y＝4x－4，

所求图形的面积为ʃx2dx＋ʃ（x2－4x＋4）dx

＝x3|＋（x3－2x2＋4x）|

＝.

反思与感悟　解决此类问题的关键是利用定积分表示，或求出相关的图形的面积．

跟踪训练3　在曲线y＝x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求：

切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．

解　如图，设切点A（x0，y0），

其中x0≠0，

由y′＝2x，得过点A的切线方程为

y－y0＝2x0（x－x0），

即y＝2x0x－x，

令y＝0，得x＝，即C（，0）．

设由曲线和过点A的切线与x轴所围成的图形的面积为S，

则S＝S曲边△AOB－S△ABC，

∵S曲边△AOB＝

＝

＝x，

S△ABC＝|BC|·|AB|＝（x0－）·x＝x.

∴S＝x－x＝x＝.

∴x0＝1，从而切点为A（1,1），

切线方程为2x－y－1＝0.

1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（　　）

S＝ʃ[f（x）－g（x）]dx　　S＝ʃ（2－2x＋8）dx

①　　　　　　　　　　②

S＝ʃf（x）dx－ʃf（x）dx　S＝ʃ[g（x）－f（x）]dx＋ʃ[f（x）－g（x）]dx

③　　　　　　　　　　④

A．①③B．②③C．①④D．③④

答案　D

解析　①应是S＝ʃ[f（x）－g（x）]dx，②应是S＝ʃ2dx－ʃ（2x－8）dx，③和④正确，故选D.

2．已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　由图可得f（x）＝1－x2与x轴所围图形的面积为ʃ（1－x2）dx＝

＝（1－）－[－1－（－1）3]＝.

3．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为____________．

答案　e＋－2

解析　如图，所围成的图形的面积为

ʃ（ex－e－x）dx

＝（ex＋e－x）|

＝e＋e－1－2＝e＋－2.

4．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

答案　

解析　由题意可知ʃdx＝a2，

又∵（

）′＝，∴

|＝a2，

即

＝a2，∴a＝.

5．求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．

解　作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．

由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是（－1,0）和（1,0），

因此所求图形的面积为

S＝ʃ|x2－1|dx＋ʃ（x2－1）dx

＝ʃ（1－x2）dx＋ʃ（x2－1）dx

＝（x－）|＋（－x）|

＝（1－）－（－1＋）＋（×23－2）－（－1）＝.

对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：

（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．

（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：

定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．

课时作业

一、选择题

1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（　　）

A．ʃf（x）dx

B．|ʃf（x）dx|

C．ʃf（x）dx＋ʃf（x）dx

D．ʃf（x）dx－ʃf（x）dx

答案　D

解析　∵x∈[a，b]时，f（x）<0，x∈[b，c]时，f（x）>0，

∴阴影部分的面积S＝ʃf（x）dx－ʃf（x）dx.

2．由直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于（　　）

A．3B.

C．1D.

答案　A

解析　直线x＝0，x＝，y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形如图所示，

其面积为

S＝

＝－2cosx

＝－2cos－（－2cos0）＝1＋2＝3，故选A.

3.由曲线y＝（x>0），直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为（　　）

A．ln2

B．ln2－1

C．1＋ln2

D．2ln2

答案　A

解析　由A（，2），B（1,1），曲线y＝（x>0），直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为

S＝ʃdy＝lny|＝ln2，故选A.

4．由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积为（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形如图，所以由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积为2ʃ（x－x3）dx＝.故选C.

5.如图，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f（x）＝x2，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于（　　）

A.B.

C．2D.

答案　B

解析　点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f（x）＝x2，

故阴影部分的面积为

S＝ʃ（4－x2）dx＝（4x－x3）|＝，故选B.

6．曲线C：

y＝ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C，直线l，y轴所围成的图形面积为（　　）

A.－1B.＋1

C.D.－1

答案　D

解析　设切点A（x0，ex0），

直线l的斜率k＝y′|

＝

，

又k＝

，

∴

＝

，即x0＝1.

则l的方程为y＝ex，

∴S＝ʃ（ex－ex）dx＝（ex－x2）|＝－1.

7．曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组

解得

联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得

∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为

S＝ʃdx－

＝

|－（x2－x）

＝＋－＝.

二、填空题

8．直线x＝，x＝，y＝0及曲线y＝cosx所围成图形的面积为________．

答案　2

解析　S＝

＝－sinx

＝2.

9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为________．

答案　

解析　根据题意得S阴＝ʃ3x2dx

＝x3|＝1，

则点M取自阴影部分的概率为＝＝.

10．若两曲线y＝x2与y＝cx3（c>0）围成图形的面积是，则c＝________.

答案　

解析　由得x＝0或x＝.

∵当0cx3，

∴S＝

＝（x3－cx4）

＝－＝＝.

∴c3＝，∴c＝.

11．由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S＝________.

答案　

解析　如图所示，

由

得或（舍）．

且x＋y＝3与x轴交于点（3,0），

∴S＝ʃf（x）dx，其中f（x）＝

∴S＝ʃ（x2＋1）dx＋ʃ（3－x）dx

＝＋

＝＋1＋（9－）－（3－）＝.

三、解答题

12．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，求a的值．

解　由图知方程f（x）＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，

所以f（x）＝x2（x＋a）．

有＝ʃ[0－（x3＋ax2）]dx＝－＝，

所以a＝±3.

又－a>0⇒a<0，所以a＝－3.

13．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积（t为常数）．

（1）若t＝，求S2；

（2）若t∈（0,2），求S1＋S2的最小值．

解　

（1）当t＝时，S2＝

＝

＝（－1）．

（2）当t∈（0,2）时，S1＝ʃ[（4－x2）－（4－t2）]dx

＝＝t3.

S2＝ʃ[（4－t2）－（4－x2）]dx

＝＝－2t2＋t3.

所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.

S′＝4t2－4t＝4t（t－1），

令S′＝0，得t＝0（舍去）或t＝1，

当00，S单调递增，所以当t＝1时，Smin＝2.