最值xiao问题导学案3.docx
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最值xiao问题导学案3
龙文教育学科导学案
教师:
学生:
日期:
2014/5/24星期:
六时段:
13:
00-15:
00
课题
线段和的最小值问题
学习目标与
考点分析
1、利用对称性求长度的最小值
2、会选择合适的点做出它的对称点
3、根据题目要求作图
学习重点
1、巧妙利用数形结合解决长度最小值问题;
2、根据题目的变化做出相应的变动,画出合适的图形。
学习方法
回顾总结讲练结合数形结合
学习内容与过程
典型例题讲解:
一、两点一线型的线段和最小值问题
基本图形:
方法:
作对称,
依据:
两点之间,线段最短,
数学思想:
化折为直
变式:
已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小.
(1)点A、B在直线m两侧:
(2)点A、B在直线m同侧:
例1、如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.
例2、如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点,若AE=2,求EM+BM的最小值.
例3、(福建宁德)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
变式演练:
1、(2009●鄂州)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为( )
2、(温州)如图,AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,点D在AC上,AD=2CD,点P是半径OC上一个动点,那么AP+PD的最小值是.
二、两点两线型:
基本图形:
已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点,使PA+PQ+QA周长最短.
例1、如图,在锐角△ABC中,AB=2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是()
例2、如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:
是否存在这样的点M(m,0),N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?
若存在,请求出m=______,n=______(不必写解答过程);若不存在,请说明理由.
例3、一次函数
的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
例4、已知,如图,二次函数y=ax²+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线L:
对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
类题演练:
1、如图,∠MON=30°,A在OM上,OA=2,D在ON上,OD=4,C是OM上任意一点,B是ON上任意一点,则折线ABCD的最短长度为
.
2、(浙江中考)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
3、(2013日照):
问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.
(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A在⊙O上,∠ACD=30°,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为__________.
(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
例5、(2009•河南)动手操作:
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为()
.
例6、(2011江苏盐城)
情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.
观察图2可知:
与BC相等的线段是▲,∠CAC′=▲°.
问题探究
如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸
如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
例7、如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.
(1)由题设条件,请写出三个正确结论:
(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)
答:
结论一:
;结论二:
;结论三:
.
(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),
①求CE的最大值;
②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.
(注意:
在第
(2)的求解过程中,若有运用
(1)中得出的结论,须加以证明)
针对练习:
1、如图,矩形
中,∠ACB=
,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则
的值为 .
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转
(
)角,如图2,求
的值;
(3)在
(2)的基础上继续旋转,当
,且使AP:
PC=1:
2时,如图3,
的值是否变化?
证明你的结论.
2.(2013•德州)
(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明:
BE=CD;(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹);
(2)如图2,已知△
ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?
简单说明理由;
(3)运用
(1)、
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.
教学反思:
今天我学到了什么?
学生对于本次课的评价:
○特别满意○满意○一般○差学生签字:
教师评定:
1、学生上次作业评价:
○非常好○好○一般○需要优化
2、学生本次上课情况评价:
○非常好○好○一般○需要优化
教师签字:
主任签字:
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