代数.docx
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代数.docx
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代数
次:
1—2 年级:
高二 科目:
代数
一、本周教学课时数为:
6课时
二、教学进度:
第1—2周,共6课时
三、知识要点及能力要求:
1.掌握等比数列的概念,会用定义判断(证明)一个数列是等比数列。
2.掌握等比数列的的通项公式与前n项和公式,并能运用这些知识解决一些问题
3.掌握等差数列与等比数列在要领和性质上的区别与联系,以及在研究等差、等比
数列中所运用的数字思想方法上的相同点和相异点,能正确解决有关等差、等比数
列综合问题。
四、例题分析
例1、选择题
(1)已知{an}各项为正数的等比数列,公比q≠1,则( )
(A)a1+ag>a4+a5 (B)a1+a8 (C)a1+a8=a4+a5 (D)a1+a8与a4+a5大小不定 分析: 本例主要考查基本量法的使用。 欲比较a1+a8与a4+a5大小,因二者均可用基本量a1 和q表示,再作差(商)比较即可 解: ∵a1+a8=a1+a1q7=a1(1+q7) a4+a5=a1(q2+q4) ∴(a1+a8)-(a4+a5)=a1[q7+1-q3-q4] =a1(1-q3)(1-q4) ∵q≠1 ∴1-q3与1-q4同号,又a1>0 ∴(a1+a8)-(a4+a5)>0; 即a1+a8>a4+a5, 选A (2)在等比数列{an}中,已知a7=6, a9=9 那么a5=( ) (A)3 (B)3/2 (C)4 (D)2 简析: 本题可利用通项公式求解,由 这种方法比较麻烦,如果解考虑已知的a7,a9与所求的a5三项之间的联系,可知a5,a7,a9 也成等比数列,由a72=a5·a9可求得a5,此法更为简便。 选C (3)已知是{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 简析: 本题若想分别求出a3与a5的值是作不到的,换一种思路,把a3+a5看作一个整体 从剖析已知等式入手,由等比中项定义有a2a4=a32,a4a6=a52,则已知等式化为 (a3+a5)2=25可得a3+a5=5(an>0)选A 例2.设一个等比数列{an}有3m项,前m项的和为A,中间m项的和为B,末m项的和为C 试用A、B表示C,并指出A、B、C是否成等比数列。 解: 设{an}首项a1,公比q (1)若q=1,显然有C=A=B (2)若q≠1时, 例3.有4个数,其中前3个数成等差数列,后三个数和成等比数列,并且第一个数与第四 个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数。 解: 设四个数依次为x、y、12-y、16-x,由已知 评析: 题目求四个数,题设正好给出四个条件,所以可列方程求解,关键在于怎样使用已 知条件,使列出的方程便于消元,容易求解,在此只给出一种没未知数的方法,其他方法 还有好几种,学生自己考虑。 本题考查等差、等比数列的要领和运用方程(组)解决问题 的能力。 例4.设一个等比数列的前n项和Sn,前n项积为PN,前n项的倒数和为Tn, 解: 设首项a1,公比q,则 评析: 为了写出Sn, Tn的表达式,由等比数列前n项和公式,必须对q是否等于1作出 分类讨论. 例5.已知{an}是AP,{bn}是GP,且a1=b1>0, 若a2n+1=b2n+1, 求证: an+1≥bn+1 证明: ∵b2n+1=b1q2n故无论q正负与否,总有b2n+1>0, ∴a2n+1>0 ∵{an}是AP, ∴a1,an+1,a2n+1也成GP 评析: 本题由题设向结论转化主要是应用了等差,等比中项的概念及不等式中的 平均值定理。 评析: 本题是一道中等难度的高考试题,它将数列,对数函数和不等式综合在一起, 全面考查了综合应用能力和分析解决问题的能力。 经分析知,要证出原不等式,只要证不等式Sn·Sn+2 比较法,证法一中用求和公式,这时一定要分q=1与q≠1两种情况讨论,而证法 二很巧妙地避免了用求和公式,也就避免了讨论,证法一是通常的证法,高考重 视对分类讨论方法的考查,应掌握分类讨论的思想。 例7.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买当天先付150万元, 以后每月的这一天都交付50万元,并加付欠款利息,日利率为1%,若交付150万元后的第一个 月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应该付多少钱? 全部款项付清后,买 这40套住房实际花了多少钱? 解: 依题意应分20次付清,设每次交付款数为数列{an},则 a1=50+1000×0.01=60 a2=50+(1000-50)×0.01=59.5 a3=50+(1000-50×2)×0.01=59 a4=50+(1000-50×3)×0.01=58.5...... an=50+[1000-50(n-1)]×0.01=60-1/2(n-1)(1≤n≤20,n∈N) 五、学习注意事项。 1.等比数列的常用性质(与等差数列类似) (1)任意两项的关系: am=anqm-n (2)项数和项的关系: 当m+n=p+k时,有am·an=ap·ak 2.在利用数列概念解应用题时,要注意: (1)该问题是属于等差数列还是等比数列 (2)该问题是属于求数列的通项还是求数列的前n项和 例8.某工厂今年生产机器2000台,计划以后每年比上一年多生产10%,问多少年后年产量 可达5000台? 错解一: 由题意各年生产机器数组成等差数列,其中a1=2000,d=2000×10%=200,an=5000, 由通项公式5000=2000+(n-1)×200, ∴n=16 即15年后年产量可达5000台 错同分析: 错解一的错误在于把等比数列问题理解为等差数列(想一想,如条件换成“以 后每一年比上一年多生产200台,”将是什么数列? )错解二的错误在于把an当成了Sn(想 一想,若把问题改成“问多少年后可使这些年的总产量达到5000台”,则5000是an还是Sn)? 正确解法: 由题意,各年生产的机器组成一等比数列,其中a1=2000,q=1.1,an=5000 由通项公式得5000=2000×1.1n-1,∴n=11 这里n应取过剩近似值。 六、同步自测题 1.选择题 (1)在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3=( ) (2)在等比数列{an}中,若a1a9=256,a4+a6=40,则公比q的值的个数有( )个 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (3)设{an}是由正数组成的等比数列,且a5·a6=81,log3a1+log3a2+.....+log3a10的值是 ( ) (A)5 (B)10 (C)20 (D)2或4 (4)已知等比数列公比为2,S4=1,则S8=( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 (5){an}是由正数组成的等比数列,q=2,且a1·a2·a3·.....a30=230, 则a3a6a9·....·a30=( ) (A)210 (B)230 (C)216 (D)215 (6)设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a、b、c( ) (A)是等差数列但不是等比数列 (B)是等比数列但不是等差数列 (C)既是等差数列又是等比数列 (D)既不是等差数列又不是等比数列 2.填空题: (1)公比为q的等比数列{an}共有2n项,则n个偶数项之和与n个奇数项之和的 比=______ (2)已知两数的等差中项是15,等比中项是9,则这两数为_________ (3)4个正数8、a、b、36,前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,则a=_____b=_____ (4)在等比数列{an}中,a5=4则该数列前9项之积为______ 3.成等差数列的3个正数的和等于15,并且这3个数分别加上1、3、9后又成等比数列 求这3个数 4.假设我国1980年年底人口以10亿计算,要使2000年年底我国人口不起过12亿,每年 比上一年平均增长百分率最高是多少? 5.若一等比数列的第m项,第n项,第r项也成等比数列,求证m、n、r成等差数列(m、 n、r互不相等,且公比q≠1) 6.一对夫妇为给其独生子筹备将来上大学的学费,从婴儿一出生立即到银行定期储蓄 一笔钱,以后每年孩子生日均到该银行存入同样款额,直到孩子18周岁上大学那年方终止 此项储蓄,大学每年学费4千余元,若银行定期储蓄年利率为5.6%且每年按复利计算(即 每年存款包括利息自动转为下年的存款额)为了使孩子18周岁上大学时银行存款本利恰好 能支付孩子4年的学费,这对夫妇予备存款总额为20000元,问他们每年大约应存入多少钱? (只须列式化简,不必求出具体数字) 参考答案 1.A、 A、 C B、 B、 A 2. (1)q (2)3,27或27,3(3)16,24 (4)49 4.设我国人口每年比上一年平均增长的百分率为x,由题意有10×(1+x)20≤12 (1+x)10≤1.2,两边取对数 lg(1+x)10≤lg1.2,20lg(1+x) lg(1+x)≤0.00396,1+x≤1.0092,x≤0.0092 每年比上一年平均增长的百分率最高为0.92% 5.am=a1qm-1,an=a1qn-1,ar=a1qr-1,由已知(a1qn-1)2=(a1qm-1)(a1qr-1)即a12q2n-2=a12qm+r-2 ∵a≠0,q≠0,q≠1,∴2n-2=m+r-2 ∴2n=m+r,∴m、n、r成等差数列
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