职高数学知识点的总结.docx
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职高数学知识点的总结
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职高数学概念与公式
初中基础知识:
1.相反数、绝对值、分数的运算;
2.因式分解:
提公因式:
xy-3x=(y-3)x
32
5
2
(3
1)(
2)
十字相乘法如:
x
x
x
x
配方法
如:
2x2
x3
2(x
1)2
25
4
8
公式法:
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x-y)
2=x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)(x+y)
3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法:
(1)代入法
(2)消元法
6.
完全平方和(差)公式:
a2
2abb2
(a
b)2
a2
2ab
b2
(ab)2
7.
平方差公式:
2
b
2
(
)(
a
)
a
ab
b
8.
立方和(差)公式:
a3
b3
(a
b)(a2
ab
b2)
a3
b3
(a
b)(a2
abb2)
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素:
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图像法(文氏图)。
注:
{x
|
x
x
};另重点类型如:
{y|y
x
2
3x
1,x
(1,3]}
描述法
元素
元素性质
取值范围
3.常用数集:
N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N*(正整数集)、Z(正整数集)
4.元素与集合、集合与集合之间的关系:
(1)元素与集合是“”与“”的关系。
(2)集合与集合是“”“”“”“”的关系。
注:
(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。
(做题时多考虑是否满足题意)
(2)一个集合含有n个元素,则它的子集有2n个,真子集有2n1个,非空真子集有2n2
个。
5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)
(1)AB{x|xA且xB}:
A与B的公共元素(相同元素)组成的集合
(2)AB{x|xA或xB}:
A与B的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。
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(3)CUA:
U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。
注:
CU(AB)CUACUBCU(AB)CUACUB
6.逻辑联结词:
且()、或()非()如果,,那么,,()
量词:
存在()任意()
真值表:
pq:
其中一个为假则为假,全部为真才为真;
pq:
其中一个为真则为真,全部为假才为假;
p:
与p的真假相反。
(同为真时“且”为真,同为假时“或”为假,真的“非”为假,假的“非”为真;真“推”假为假,假“推”真假均为真。
)
7.命题的非
(1)是不是
都是不都是(至少有一个不是)
(2),,,使得p成立对于,,,都有p成立。
对于,,,都有p成立,,,使得p成立
(3)(pq)pq(pq)pq
8.充分必要条件
p是q的,,条件充分
pq
不必要
不充分
pq
必要
充分
pq
必要
不充分
pq
不必要
p是条件,q是结论
p是q的充分不必要条件(充分条件)
p是q的必要不充分条件(必要条件)
p是q的充分必要条件(充要条件)
p是q的既不充分也不必要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质:
注:
(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法如:
20102009与20092008(倒数法)等。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!
!
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(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式:
(均值定理)
(1)a2
b2
2ab,当且仅当a
b时,等号成立。
(2)
a
b
2
(,
R
)
,当且仅当ab时,等号成立。
abab
(3)
a
bc
3
(,,
R
),当且仅当ab
c时,等号成立。
abcabc
注:
a
b(算术平均数)
ab(几何平均数)
2
3.一元一次不等式的解法
4.一元二次不等式的解法
(1)保证二次项系数为正
(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
(3)定解:
(口诀)大于两根之外,大于大的,小于小的;
小于两根之间
注:
若0或0,用配方的方法确定不等式的解集。
5.绝对值不等式的解法
若a
0,则
|x|a
a
x
a
|
或
|
x
a
x
a
xa
6.分式不等式的解法:
与二次不等式的解法相同。
注:
分母不能为0.
第三章函数
1.映射:
一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,
在集合B中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作:
f:
AB。
注:
理解原象与象及其应用。
(1)A中每一个元素必有惟一的象;
(2)对于A中的不同的元素,在B中可以有相同的象;
(3)允许B中元素没有原象。
2.函数:
(1)定义:
函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析式法。
注:
在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
3.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的x的取值范围主要依据:
①分母不能为0
②偶次根式的被开方式0
③特殊函数定义域
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y
x0,x
0
yax,(a0且a1),xR
y
logax,(a
且
0a1),x0
y
tanx,x
k
(kZ)
2
(2)值域的求法:
y的取值范围
①
正比例函数:
y
kx和一次函数:
ykx
b的值域为R
②
二次函数:
y
ax2
bx
c的值域求法:
配方法。
如果
x的取值范围不是R则还需画图
像
③
反比例函数:
y
1的值域为{y|y0}
x
④
y
ax
b的值域为{y|y
a}
cx
d
c
⑤
y
mx
n
的值域求法:
判别式法
ax
2
bxc
⑥另求值域的方法:
换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
4.函数图像的变换
(1)平移
y
f(x)
向右平移
f(xa)
y
向左平移
y
f(xa)
y
f(x)
a个单位
a个单位
y
f(x)
向上平移
f(x)a
y
向下平移
y
f(x)a
y
f(x)
a个单位
a个单位
(2)翻折
y
f(x)
沿x轴
f(x)
保留x轴上方图像
y|f(x)|
y
yf(x)
上、下对折
下方翻折到上方
y
f(x)
保留y轴右边图像
y
f(|x|)
右边翻折到左边
5.函数的奇偶性:
(1)定义域关于原点对称
(2)若f(x)
f(x)
奇
若f(x)f(x)
偶
注:
①若奇函数在
x
0
处有意义,则f(0)0
②常值函数f(x)
a
(a
0)为偶函数
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③f(x)0既是奇函数又是偶函数
6.函数的单调性:
对于x1、x2[a,b]且x1
x2,若
f(x1)f(x2),
称
在
上为增函数
f(x)[a,b]
f(x1)f(x2),称f(x)在[a,b]上为减函数
增函数:
x值越大,函数值越大;x值越小,函数值越小。
减函数:
x值越大,函数值反而越小;
x值越小,函数值反而越大。
复合函数的单调性:
h(x)
f(g(x))
f(x)与g(x)同增或同减时复合函数h(x)为增函数;f(x)与g(x)相异时(一增一减)复合函
数h(x)为减函数。
注:
奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。
7.二次函数:
(1)二次函数的三种解析式:
①一般式:
f(x)
ax2
bxc(a
0)
②
顶点式:
f(x)
a(x
k)2
h
(a
0),其中(k,h)为顶点
③两根式:
f(x)
a(x
x1)(x
x2)
(a
0),其中x1、x2是f(x)
0的两根
(2)图像与性质:
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
①开口a0
开口向上
a0开口向下
②
对称轴:
x
b
2a
③
顶点坐标:
(
b,4ac
b2
)
2a
4a
0
有两交点
④
与x轴的交点:
0
有1交点
1无交点
⑤一元二次方程根与系数的关系:
(韦达定理)
x1x2
b
a
c
x1x2
a
⑥f(x)ax2bxc为偶函数的充要条件为b0
⑦二次函数(二次函数恒大(小)于0)
a
0
f(x)0
图像位于x轴上方
0
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a0
图像位于x轴下方
f(x)0
0
⑧若二次函数对任意x都有f(tx)
f(tx),则其对称轴是x
t。
⑨若二次函数f(x)
0的两根x1、x2
ⅰ.若两根x1、x2一正一负,则
0
0
x1x2
ⅱ.若两根x1、x2同正(同负)
0
0
若同正,则x1x2
0
若同负,则x1x2
0
x1x2
0
x1x20
ⅲ.若两根x1、x2位于(a,b)内,则利用画图像的办法。
0
0
若a
0,则f(a)0
若a
0,则f(a)
0
f(b)0
f(b)
0
注:
若二次函数f(x)
0的两根x1、x2;x1位于(a,b)内,x2位于(c,d)内,同样利用画
图像的办法。
8.反函数:
(1)函数yf(x)有反函数的条件
x与y是一一对应的关系
(2)求yf(x)的反函数的一般步骤:
①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域
②由原函数的解析式,求出x
③将x,y对换得到反函数的解析式,并注明其定义域。
(3)原函数与反函数之间的关系
①原函数的定义域是反函数的值域
原函数的值域是反函数的定义域
②二者的图像关于直线yx对称
③原函数过点(a,b),则反函数必过点(b,a)
④原函数与反函数的单调性一致
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算:
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(1)根式的性质:
①n为任意正整数,(na)na
②当n为奇数时,nana;当n为偶数时,nan|a|③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
(2)零次幂:
a0
1
(a0)
(3)负数指数幂:
an
1
(a
0,nN*)
an
m
(4)分数指数幂:
an
nam
(a
0,m,n
N且n1)
(5)实数指数幂的运算法则:
(a
0,m,n
R)
①aman
amn
②(am)n
amn
③(ab)n
anbn
2.幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。
3.幂函数yxa
当
a
时,
y
x
a在(,
)上单调递增
当
0
0
)上单调递减
a
时,
y
x
a在(,
0
0
4.指数与对数的互化
ab
N
logaNb
(a0且a1)
、(N
0)
①对数基本性质:
①
logaa
1
②loga1
0
③alogaN
N
④
logaaN
N
⑤logab与logba互为倒数
logab
logba1
1
⑥
logab
logba
logambn
nlogab
m
5.
对数的基本运算:
loga(M
N)
logaM
logaN
loga
M
logaM
loga
N
N
6.
logbN
0且b
1)
换底公式:
logaN
(b
logba
7.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
yax(a0,a1的常数)
ylogax(a0,a1的常数)
义
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图
像
(1)
x
R,y
0
(1)
x
R,y
0
性
图像经过(0,1)
点
(2)
图像经过(1,0)
点
(2)
质
a
1,y
ax为增函数;
(3)
a
1,y
logax在(0,
)上为增函数;
(3)
0
a
1,y
ax为减函数
0
a
1,y
logax在(0,)上为减函数
8.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
9.指数方程和对数方程
(1)指数式和对数式互化
(2)同底法
(3)换元法
(4)取对数法
注:
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章
数列
等差数列
等比数列
每一项与前一项之差为同一个常数
每一项与前一项之比为同一个常数
定
a2a1
a3
a2
anan1d
a2
a3
an
q(q0)
a1
a2
an
义
1
注:
当公差d
0
0;
时,数列为常数列
注:
等比数列各项及公比均不能为
当公比为1时,数列为常数列
通项
ana1
(n1)d
an
a1qn1
公式
推
(1)d
an
am
(1)q
nm
an
n
m
am
论
(2)a
n
a
m
(
nmd
(2)an
nm
)
amq
(3)若m
npq,则
(3)若mn
pq,则aman
apaq
aman
ap
aq
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中项
三个数a、b、c成等差数列,则有
三个数a、b、c成等比数列,则有
公式
2b
ac
b
ac
b2
ac
前n
2
Sn
n(a1
an)
n(n1)
Sn
a1(1qn)a1
anq
(q
1)
项和
2
na1
d
1
q
1
q
公式
2
其
S2n1
(2n
1)an
如:
S7
7a4
它
等差数列的连续n项之和仍成等差
等比数列的连续n项之和仍成等比数
数列
列
1.
已知前n项和Sn的解析式,求通项a
:
an
S1
(n
1)
n
Sn
Sn1
(n
2)
第六章三角函数
1.
弧度和角度的互换:
180o
弧度,1o
弧度
0.01745弧度,1弧度(180)o
57o18'
2.
180
扇形弧长公式和面积公式
扇
扇
1
1
2
(记忆法:
与S
1ah类似)
L||r,
S
2
Lr|
|r
ABC
2
2
注:
如果是角度制的可转化为弧度制来计算。
3.任意三角函数的定义:
对边
sin
斜边
邻边
cos
斜边
对边
tan
邻边
倒数
倒数
倒数
1
csc记忆法:
S、C互为倒数sin
1
sec记忆法:
C、S互为倒数cos
1
cot
tan
4.特殊三角函数值:
0
00
300
450
600
900
一象限
6
4
3
2
sin
0
1
2
3
4
2
2
2
2
2
cos
4
3
2
1
0
2
2
2
2
2
tan
0
3
1
3
不存在
3
5.三角函数的符号判定:
(1)口诀:
一全二正弦,三切四余弦。
(三角函数中为正的,其余的为负)
(2)图像记忆法
6.三角函数基本公式:
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tan
sin
1
(可用于化简、证明等)
coscot
sin2
cos2
1(1.可用于已知sin
求cos
;或者反过来运用。
2.注意1的运用)
1tan2
sec2
(可用于已知cos
(或sin
)求tan或者反过来运用)
7.
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