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统计学资料
7.1时间序列的含义
一、时间序列的概念
时间序列——是指同一现象在不同时间上发展变化的统计数据,按照时间的先后顺序排列而成的序列。
一个完整的时间序列,必须由两个基本要素构成:
◆现象所属的时间;
◆现象在不同时间上的统计数据。
二、时间序列分析的概念
时间序列分析——是一种应用非常广泛的数量分析方法。
主要用于描述和探索现象随着时间的发展变化而变化的数量规律。
时间序列分析就其发展的历史阶段和所使用的统计分析方法来看,包括:
1)传统的时间序列分析;
2)现代的时间序列分析。
本章仅介绍传统的时间序列分析。
在传统的时间序列分析中,各时间上的发展水平按时间顺序可以记为x0、x1、x2、…、xn。
在对各时间的发展水平进行比较时,要注意以下几个概念:
◆基期——是指作为比较基础的那个时期,相对应的发展水平称为基期水平。
◆报告期——是指所研究考察的那个时期,相对应的发展水平称为报告期水平。
三、时间序列分析的目的
◆为了描述事物在过去时间的状态,分析其随时间推移的发展趋势。
◆为了分析现象在时间上发展变化的规律性。
◆为了根据现象过去的运行规律,预测其未来的发展变化趋势。
四、时间序列的种类
按照时间序列中,所排列的统计指标的性质不同,可以分为以下三类:
◆绝对数时间序列——又称为总量指标时间序列,如上表的GDP、年末总人口。
按其反映的时间状况不同,分为时点序列和时期序列。
◆相对数时间序列,如上表的人口自然增长率。
◆平均数时间序列,如上表的人均消费额。
五、编制时间序列的原则
在编制时间序列时,应保证时间序列中前后各期的指标数值具有充分的可比性。
具体包括:
◆所属时间长短统一;
◆总体范围统一;
◆计算方法和口径统一;
◆经济内容统一。
7.2时间序列的描述性分析
当我们面对时间序列数据时,为了表现不同事物在不同时间的发展状况,以及记录该事物随时间推移而发生的变化,可以进行时间序列数据的描述性分析。
具体地,时间序列的描述性分析包括编制时间序列表,或绘制时间序列图。
7.3时间序列的速度分析
对时间序列数据有多种分析方法,可以用表格和各种图形去表现时间序列的发展模式和变化趋势。
但图或表的分析方式都较为粗糙,若想得到精确的数据信息,还需要从更深层次去揭示现象随时间变化的具体数量规律性。
为了研究时间序列随时间而变化的速率,经常需要分析其发展速度和增长速度。
一、发展速度
发展速度——是指时间序列中报告期水平与基期水平之比。
它表明报告期水平较基期水平的相对发展程度。
根据所选基期的不同,发展速度分为环比发展速度、定基发展速度、同比发展速度。
环比和定基发展速度的关系
二、增长速度
增长速度——是指增长量与基期水平的比值。
反映了报告期水平较基期水平增长的相对程度。
在数值上,增长速度等于发展速度减去1。
增长速度的种类
增长速度可以分为环比增长速度、定基增长速度、同比增长速度,且增长速度有正有负。
三、平均速度
平均速度——是指各个时期环比速度的序时平均数。
分为平均发展速度和平均增长速度。
1、平均发展速度的计算
通常,因为现象发展的总速度≠∑各期环比发展速度=∏各期环比发展速度。
所以,各期环比发展速度的序时平均数,不能在速度代数和的基础上用算术平均法计算,只能在速度连乘积的基础上用几何平均法计算。
在实际应用中,根据所给的数据不同,有两种不同的计算方法。
2、平均增长速度的计算
平均增长速度不能由各期的环比增长速度直接平均而求得,也不能根据一定时期的各增长速度去直接计算。
平均增长速度只能通过与平均发展速度的数量关系,即由平均发展速度减去1计算求得。
7.4时间序列的结构分析
7.4.1时间序列的构成因素
影响时间序列的构成要素,通常可以归纳为以下四种:
◆长期趋势◆季节变动◆循环变动◆不规则变动
1、长期趋势
长期趋势——是指现象在一段相当长的时期内所表现的沿着某一方向的持续发展变化。
长期趋势是受某种长期起根本性作用的因素影响的结果。
它可能呈现为不断增长的趋势,也可能为不断降低的趋势,还可能为不变的水平趋势。
例如,随着经济的快速发展、使用的快速增加,自然资源拥有量呈下降的趋势;一国经济的持续增长,表现为人民生活水平的不断提高。
2、季节变动
季节变动——泛指一年内由于社会、政治、经济、自然因素的影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动。
例如,由于气候条件、双休日、节假日、风俗习惯等因素,使得生产、消费和众多活动出现的销售旺季和销售淡季等季节性变动。
3、循环变动
循环变动——是指以若干年(或月、季)为一定周期的有一定规律性的周期波动。
◆循环变动不是单一方向的持续变动,而是有涨有落的交替变动。
◆循环变动的周期长短不一,其规律性不明显。
◆一个循环变动包括:
高涨、危机、萧条、复苏四个阶段。
4、不规则变动
不规则变动——是指由临时的、偶然的因素或不明原因引起的非周期性、非趋势性的随机变动。
通常,不规则变动无规律、无规则,因而是不可预知的。
7.4.2时间序列要素的组合模型
时间序列的变动,一般都是长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四种构成要素或其中一部分要素影响的结果。
时间序列分析的任务之一:
就是对时间序列中的四种构成要素进行统计测定和分析,从中划分出各种要素的具体作用,揭示其变动的规律性和特征,为认识和预测现象的发展提供依据。
按照四种构成要素的影响方式不同,可以设定不同的组合模型,其中最常用的有两种:
乘法模型和加法模型。
一、乘法模型
令Y表示时间序列的变量数值,T表示长期趋势,S表示季节变动,C表示循环变动,I表示不规则变动。
假定四种因素对现象变动的影响是相互的,以长期趋势取与Y相同计量单位的绝对量,其余因素以长期趋势为基础,取相对量表示。
二、加法模型
假定四个因素的影响是彼此独立的,每个因素均以与Y相同的计量单位的绝对量来表示。
7.4.3时间序列的长期趋势分析
时间序列的长期趋势是对一个较长时期而言的。
一般说来,分析长期趋势所选的时期越长越好。
对长期趋势的测定和分析,是时间序列分析的重要内容。
测定长期趋势的主要目的是:
◆认识现象随着时间变化而发展的趋势。
◆对现象未来的发展趋势作出预测。
◆从时间序列中剔除长期趋势,以便分析其他因素对时间序列的影响。
长期趋势的类型
◆线性趋势——是指时间序列的长期趋势近似地呈现直线型发展的变化规律,每期的增减数量大体相同。
测定方法有:
移动平均法、指数平滑法、趋势模型法。
◆非线性趋势——是指时间序列的长期趋势呈现曲线型发展的变化规律。
测定方法主要为趋势模型法。
一、移动平均法
基本原理
移动平均法是通过移动平均消除时间序列中的不规则变动和其他变动,从而揭示出时间序列的长期趋势。
移动平均——是选择一定的用于平均的时距项数K,采用对序列逐项递移的方式,对原序列递移的K项计算一系列平均数,由这些序时平均数所形成的新序列,一定程度上消除或削弱了原序列中由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他成分,对原序列起到一定的修匀作用,从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。
特点
◆移动平均对原序列有修匀或平滑的作用,使得原序列的上下波动被削弱了,而且平均的时距项数越大,对数列的修匀作用越强;
◆移动平均时距项数为奇数时,只需一次移动平均,而时距项数为偶数时,先偶数项移动平均,再两项移正平均;
◆当序列中包含季节变动时,时距项数应与季节变动周期一致,才能消除周期波动;
◆移动平均后形成的新序列项数较原序列减少,产生信息丢失,因此移动平均项数不宜多大。
二、指数平滑法
概念:
移动平均对消除季节等影响有独到的作用。
但移动平均对于不含季节因素的趋势序列,每一期的移动平均值都只包含了k个数据的信息,没有将历史数据信息充分反映到趋势值中。
指数平滑法可以弥补移动平均法的不足,能够充分利用所有的数据信息,同时又体现近期数据对未来预测影响作用更大的特点。
指数平滑法——是指在进行每一次递推时,观察值的权数按指数规律递减。
基本思想
指数平滑法通过计算一系列指数平滑值消除不规则变动,揭示现象的基本趋势。
如果第t期估计值与第t期实际值完全一致,二者间没有误差,则可用第t期估计值直接作为第t+1期的估计值;如果二者间有误差,则可理解为由两部分组成:
一是不规则随机误差,二是现象从第t-1期到第t期的实质变化。
为了合理估计趋势值,就要剔除不规则随机误差,反映现象的实质变化。
◆误差中属于现象实质性变化部分的比例可由平滑系数α决定,α的值越大,即认为误差中现象实质性变化的比例越大,在下期的趋势估计中本期的误差保留的越多。
◆反之,α的值越小,则认为误差中不规则随机因素引起的随机误差所占比例越大,在下期的趋势估计中,本期误差就剔除的越多。
指数平滑法有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等,这里只介绍一次指数平滑法。
计算公式
一次指数平滑法是利用前一期的预测值Et-1代替xt-n得到预测通式:
其中,Et为第t期的指数平滑值;
Et-1为第t-1期的指数平滑值;
yt为第t期的实际观测值;
α为平滑系数;其值介于0与1之间。
从上面公式可知,指数平滑具有递推性质,各期指数平滑值均在上期平滑值的基础上递推而得。
它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。
公式还可以改写为
可以看出,第t期的预测值等于第t期实际值与第t-1期预测值的加权平均值,指数平滑法是加权平均的一种特殊形式,权数为α。
一次指数平滑法初值的确定方法:
◆取第一期的实际值为初值;
◆取最初几期的平均值为初值。
一次指数平滑法比较简单,但也有不足。
其中之一便是要力图找到最佳的α值,以使均方差最小,而这需要通过反复试验才能确定。
因此,指数平滑法特别适用于一些趋势形态比较特殊、不大适合拟合某种曲线的序列。
平滑系数α的选择
◆α的值越小,对序列的平滑作用越强,对时间序列的变化反应越慢,因而序列中随机波动较大时,为了消除随机波动的影响,可选择较小的α,使序列较少受随机波动的影响。
◆如果对将来趋势的估计主要依靠近期信息,α应选的大一些。
◆看对初始值的重视程度,如果对初始值的正确性把握不大,希望减小初始值的影响,则α值应大些。
◆通常可选取几种不同的α数值进行比较,最后选择使实际值和估计值均方误差最小的α。
三、线性趋势模型法
含义:
是利用线性回归的方法对原时间序列拟合线性方程,消除其他因素变动,从而揭示出序列长期线性趋势的方法。
最小二乘估计
通常可以利用最小二乘法去估计线性趋势方程的参数,即
四、非线性趋势模型法
含义:
事实上,现象的长期趋势并不一定呈现为线性趋势,即现象变化的变化率或趋势线的斜率在一个较长的时期中不一定保持不变。
当时间序列在各个时期的变动随时间而异,各时期的变化率或趋势线的斜率有明显的变动时,现象的长期趋势就不是线性的,但又有一定的规律性,这时称现象的长期趋势为非线性趋势,常呈现为某种形态的曲线变化,故又称为曲线趋势。
种类
1、抛物线型
2、指数曲线型
长期趋势模型法的步骤
◆定性分析,对长期趋势性质作基本判断。
◆绘制散点图,判断现象随时间变化的大体类型。
◆用差分法分析序列的数据特征。
◆分段拟合。
当序列的不同阶段呈现不同特征时,可分别拟合不同的曲线趋势。
◆最小偏差分析。
当有多种曲线可供选择,可将多种曲线的拟合结果加以比较,以估计的均方误差最小的曲线为宜。
差分法识别标准
差分特性
使用模型
一阶差分相等或大致相等
一次线性模型
二阶差分相等或大致相等
二次线性模型
三阶差分相等或大致相等
三次线性模型
一阶差分比率相等或大致相等
指数曲线模型
一阶差分的一阶比率相等或大致相等
修正指数曲线模型
附:
计算估计的均方误差s2的方法
7.4.4季节变动分析
测定季节变动的意义
测定季节变动的意义主要包括三点:
◆通过分析与测定过去的季节变动规律,为当前的决策提供依据;
◆为了对未来现象季节变动作出预测,以便提前作出合理的安排;
◆为了当需要不包含季节变动因素的数据时,能够消除季节变动对时间序列的影响,以便更好地分析其他因素。
测定季节变动的方法有很多,从是否考虑长期趋势的影响看,可以分为两种:
◆原始资料平均法——不考虑长期趋势的影响,根据原始时间序列直接去测定季节变动;
◆循环剔除法——先剔除长期趋势的影响,再根据剔除长期趋势后的数据测定季节变动
一、原始资料平均法
当时间序列的长期趋势近似于水平趋势时,测定时间序列的季节变动可以不考虑长期趋势的影响,直接用原始资料平均法。
原始资料平均法——又称为同期(月或季)平均法,是指对原始时间序列数据不剔除长期趋势因素,直接计算季节比率的方法。
基本步骤
原始资料平均法的适用条件
原始资料平均法的优点是容易理解,且计算比较简单。
但应注意运用此法的基本假定是:
时间序列没有明显的长期趋势和循环变动,通过各年同期数据的平均,可以消除不规则变动,而且当平均的周期与循环周期基本一致时,也在一定程度上消除了循环变动。
当时间序列存在明显的长期趋势时,会使季节变动的分析不准确,如存在明显的上升趋势时,年末季节变动指数会远远高于年初季节变动指数;当存在明显的下降趋势时,年末的季节指数又会远远低于年初的季节变动指数。
所以,只有当时间序列的长期趋势和循环变动不明显时,运用原始资料平均法才比较合适。
二、循环剔除法
循环剔除法的基本步骤
假定包含季节变动的时间序列的各影响因素是以乘法模型形式组合,其结构为
下面我们以移动平均法为例,介绍循环剔除法测定季节变动的基本步骤。
关于季节指数的两个问题:
消除季节变动
7.4.5循环变动分析
循环变动往往存在于一个较长的时期中,是一种周而复始的近乎规律性的变动。
循环变动和季节变动都是交替变动
测定循环变动的目的
◆从数量上揭示现象循环变动的规律性;
◆为了深入研究不同现象周期性循环波动的内在联系,有助于分析引起循环变动的原因;
◆通过对循环规律的认识,对现象今后发展作出科学的预测,为制定有效遏制循环变动不利影响的决策方案提供依据。
循环变动的测定方法
直接法
如果研究时间序列的目的只是在于大体测定序列的循环波动特征,则可用直接法分析。
直接法——是通过计算序列的年距发展速度或年距增长速度,以消除或减弱趋势变动和季节变动
剩余法
剩余法——又称为分解法,基本思想是从时间序列中先分解出长期趋势和循环变动,然后再通过平均消除不规则变动成分,剩余的部分就揭示出时间序列的循环变动特征。
下面仍以乘法模型
讲述剩余法的具体做法和步骤。
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