高三数学一轮人教B版基础巩固第3章 第1节 导数的.docx

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高三数学一轮人教B版基础巩固第3章第1节导数的

第三章　第一节

一、选择题

1．（文）（2015·广州执行中学期中）设曲线y＝在点（3,2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于（　　）

A．2　　　　　　　　　B.

C．－D．－2

[答案]　D

[解析]　∵f′（x）＝＝－，

∴f′（3）＝－，由条件知，－×（－a）＝－1，

∴a＝－2.

（理）（2014·吉林长春期末）已知函数f（x）在R上满足f（2－x）＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f（x）在（1，f

（1））处的切线方程是（　　）

A．y＝2x－1　　　　　B．y＝x

C．y＝3x－2D．y＝－2x＋3

[答案]　C

[解析]　方法一：

令x＝1得f

（1）＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f（2－x）＝2x2－7x＋6得f（t）＝2（2－t）2－7（2－t）＋6，化简整理得f（t）＝2t2－t，即f（x）＝2x2－x，

∴f′（x）＝4x－1，∴f′

（1）＝3.∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即y＝3x－2.

方法二：

令x＝1得f

（1）＝1，由f（2－x）＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′（2－x）·（2－x）′＝4x－7，令x＝1可得－f′

（1）＝－3，即f′

（1）＝3.∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即y＝3x－2.

2．若函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第二象限，则函数f′（x）的图象是（　　）

[答案]　C

[解析]　由题意可知在第二象限，

∴∴b>0，又f′（x）＝2x＋b，故选C.

3．（文）（2013·济南质检）若函数f（x）＝excosx，则此函数图象在点（1，f

（1））处的切线的倾斜角为（　　）

A．0B．锐角

C．直角D．钝角

[答案]　D

[解析]　由已知得：

f′（x）＝excosx－exsinx＝ex（cosx－sinx）．

∴f′

（1）＝e（cos1－sin1）．

∵>1>，

而由正、余弦函数性质可得cos1

∴f′

（1）<0.

即f（x）在（1，f

（1））处的切线的斜率k<0.

∴切线的倾斜角是钝角．

（理）（2014·山东烟台期末）若点P是函数y＝ex－e－x－3x（－≤x≤）图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为钝角α，则α的最小值是（　　）

A.B.

C.D．

[答案]　B

[解析]　由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，因为α∈（，π），所以α的最小值是，故选B.

4．（2014·河南郑州市质量检测）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）＋lnx，则f′（e）＝（　　）

A．1　　　　　　　　　B．－1

C．－e－1D．－e

[答案]　C

[解析]　f′（x）＝2f′（e）＋，

∴f′（e）＝2f′（e）＋，

∴f′（e）＝－，故选C.

5．（文）（2014·河南商丘调研）等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f（x）＝x（x－a1）（x－a2）…（x－a8），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）＝（　　）

A．0B．26

C．29D．212

[答案]　D

[解析]　∵f（x）＝x（x－a1）（x－a2）…（x－a8），

∴f′（x）＝（x－a1）（x－a2）…（x－a8）＋x·[（x－a1）（x－a2）…（x－a8）]′，

∴f′（0）＝a1a2…a8＝（a1a8）4＝84＝212.

（理）（2013·海口模拟）下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（　　）

A．f（x）＝exB．f（x）＝x3

C．f（x）＝lnxD．f（x）＝sinx

[答案]　D

[解析]　对于f（x）＝ex，有f′（x）＝ex>0恒成立；对于f（x）＝x3，有f′（x）＝3x2≥0；对于f（x）＝lnx，∵x>0，

∴f′（x）＝>0.因此在f（x）＝ex，f（x）＝x3，f（x）＝lnx的曲线上，都不存在x1，x2使f′（x1）·f′（x2）＝－1，对于f（x）＝sinx，∵f′（x）＝cosx，若f′（x1）·f′（x2）＝－1，即cosx1cosx2＝－1，则只需x1＝2kπ，x2＝（2k＋1）π，k∈Z即可，故选D.

6．（文）（2013·河北质检）已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是（　　）

A．eB．－e

C.D．－

[答案]　C

[解析]　依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点（x0，kx0），则有由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝，选C.

（理）（2015·成都七中期中）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于（　　）

A．－1或－B．－1或－

C．－或－D．－或7

[答案]　A

[解析]　设过（1,0）的直线与y＝x3相切于点（x0，x），所以切线方程为y－x＝3x（x－x0），即y＝3xx－2x，又（1,0）在切线上，则x0＝0或x0＝，

当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；

当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以选A.

本题常犯的错误是，不对点（1,0）的位置作出判断，直接由y＝x3，得出y′|x＝1＝3，再由y＝ax2＋x－9，得y′|x＝1＝2a＋＝3求出a＝－，错选B.

二、填空题

7．（文）（2015·石家庄五校联合体摸底）函数f（x）＝xex在点（1，f

（1））处的切线的斜率是________．

[答案]　2e

[解析]　∵f′（x）＝ex（x＋1），∴f′

（1）＝2e.

（理）（2014·广东广州市调研）若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．

[答案]　－e

[解析]　设切点为（x0，x0lnx0），由y′＝（xlnx）′＝lnx＋x·＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝（lnx0＋1）（x－x0），整理得y＝（lnx0＋1）x－x0，与y＝2x＋m比较得，解得x0＝e，故m＝－e.

8．设θ为曲线y＝x3＋3x2＋ax＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[，），则实数a的值为________．

[答案]　4

[解析]　设切线的斜率为k，

则k＝y′＝3x2＋6x＋a，

又∵k＝tanθ，θ∈[，），

∴k∈[1，＋∞）．

又k＝3（x＋1）2＋a－3，

∴当x＝－1时，k取最小值为a－3＝1.

∴a＝4.

9．（文）（2014·湖北武汉月考）已知曲线f（x）＝xn＋1（n∈N*）与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为________．

[答案]　－1

[解析]　f′（x）＝（n＋1）xn，k＝f′

（1）＝n＋1，点P（1,1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，

∴x1·x2·…·x2015＝×××…××＝，

则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015＝log2016（x1·x2·…·x2015）＝log2016＝－1.

（理）（2014·湖南岳阳一模）设曲线y＝上有一点P（x1，y1），与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________．

[答案]　

[解析]　（数形结合法）令f（x）＝，

∴f′（x1）＝，

∵n与m垂直，∴直线n的斜率为－2，

∴直线n的方程为y－y1＝－2（x－x1），由题意设点Q（xQ,0），R（xR,0）．

令y＝0，又y1＝，则－＝－2·（xQ－x1），解得xQ＝＋x1，由题意知，xR＝x1，

∴|RQ|＝|xQ－xR|＝.

三、解答题

10．（文）（2014·高州月考）设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.

[解析]　∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P（0，d），

又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；

又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；

又函数在x＝2处取得极值0，所以

即

解得a＝2，b＝－9，

所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.

（理）设函数f（x）＝ax＋的图象在点M（，f（））处的切线方程为2x－3y＋2＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递减区间；

（3）证明曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

[解析]　

（1）因为切点在切线上，

所以将点M坐标代入切线方程解得f（）＝.

∵f（x）＝ax＋，∴f′（x）＝a－，

根据题意，得关于a，b的方程组

解得

所以f（x）的解析式为f（x）＝x＋.

（2）由f′（x）＝1－（x≠0），

令f′（x）<0，解得－1

所以f（x）的单调递减区间为（－1,0），（0,1）．

（3）证明：

设P（x0，y0）为曲线上任一点，

由y′＝1－知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为

y－y0＝（1－）（x－x0），

即y－（x0＋）＝（1－）（x－x0）．

令x＝0，得y＝，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，）．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝2.

一、选择题

11．（2014·宁夏育才中学月考）点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（　　）

A．1B.

C.D．

[答案]　D

[解析]　将x2－y－lnx＝0变形为y＝x2－lnx（x>0），则y′＝2x－，令y′＝1，则x＝1或x＝－（舍），可知函数y＝x2－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y＝1.故切线方程为x－y＝0.

则点P到直线y＝x－2的最小距离即切线x－y＝0与y＝x－2两平行线间的距离，d＝＝.

12．（文）（2014·吉林长春三调）已知函数f（x）＝x2的图象在点A（x1，f（x1））与点B（x2，f（x2））处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是（　　）

A．（－，3）B．（0，－4）

C．（2,3）D．（1，－）

[答案]　D

[解析]　由题意，A（x1，x），B（x2，x），f′（x）＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：

y＝2x1x－x，l2：

y＝2x2x－x，联立得（x1－x2）[2x－（x1＋x2）]＝0，∵x1≠x2，∴x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.

（理）（2013·辽宁省沈阳四校期中联考）若函数y＝－x2＋1（0

A.B.

C.D．

[答案]　D

[解析]　y′＝x2－2x＝（x－1）2－1，

∵0

由题意知－1≤tanα<0，∴≤α<π，故选D.

13．二次函数y＝f（x）的图象过原点，且它的导函数y＝f′（x）的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f（x）的图象的顶点在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

[答案]　C

[解析]　由题意可设f（x）＝ax2＋bx，f′（x）＝2ax＋b，由于f′（x）图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f（x）＝a（x＋）2－，顶点（－，－）在第三象限，故选C.

14．（2014·江西七校一联）设函数f（x）＝xsinx＋cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k＝g（t）的部分图象为（　　）

[答案]　B

[解析]　∵f（x）＝xsinx＋cosx，∴f′（x）＝xcosx，∴k＝g（t）＝tcost.g（t）为奇函数且在t＝0邻近，当t>0时，g（t）>0，故选B.

二、填空题

15．（文）（2014·河北邯郸二模）曲线y＝log2x在点（1,0）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．

[答案]　log2e

[解析]　∵y′＝，∴k＝，

∴切线方程为y＝（x－1），

∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.

（理）（2014·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋（a，b为常数）过点P（2，－5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

[答案]　－3

[解析]　由曲线y＝ax2＋过点P（2，－5），得4a＋＝－5.①

又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②

由①②得所以a＋b＝－3.

16．（2013·宁波四中月考）给出定义：

若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′.若f″（x）<0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，）上不是凸函数的是________（把你认为正确的序号都填上）．

①f（x）＝sinx＋cosx；　　②f（x）＝lnx－2x；

③f（x）＝－x3＋2x－1；　　④f（x）＝xex.

[答案]　①②③

[解析]　对于①，f′（x）＝cosx－sinx，f″（x）＝－sinx－cosx＝－sin（x＋）<0在区间（0，）上恒成立；②中，f′（x）＝－2（x>0），f″（x）＝－<0在区间（0，）上恒成立；③中，f′（x）＝－3x2＋2，f″（x）＝－6x在区间（0，）上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f′（x）＝ex＋xex，f″（x）＝2ex＋xex＝ex（x＋2）>0在区间（0，）上恒成立，故④中函数不是凸函数．

三、解答题

17．（文）（2013·河北冀州中学检测）已知函数f（x）＝x3－3x.

（1）求曲线y＝f（x）在点x＝2处的切线方程；

（2）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

[解析]　

（1）f′（x）＝3x2－3，f′

（2）＝9，f

（2）＝23－3×2＝2，∴曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y－2＝9（x－2），即9x－y－16＝0.

（2）过点A（1，m）向曲线y＝f（x）作切线，设切点为（x0，y0），则y0＝x－3x0，k＝f′（x0）＝3x－3，

则切线方程为y－（x－3x0）＝（3x－3）（x－x0）．

∵切线过点A（1，m），

于是得2x－3x＋m＋3＝0，（*）

∵过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，∴方程（*）有三个不同实数根．

记g（x）＝2x3－3x2＋m＋3，g′（x）＝6x2－6x＝6x（x－1），

令g′（x）＝0，x＝0或1.

则x，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，0）

0

（0,1）

1

（1，＋∞）

g′（x）

＋

0

－

0

＋

g（x）

极大

极小

当x＝0时，g（x）有极大值m＋3；当x＝1时，g（x）有极小值m＋2.

由g（x）的简图知，当且仅当即

－3

所以所求m的范围是（－3，－2）．

（理）（2015·大连二十中期中）已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求证：

对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤4；

（3）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

[解析]　

（1）f′（x）＝3ax2＋2bx－3，

依题意，f′

（1）＝f′（－1）＝0，

即解得a＝1，b＝0.∴f（x）＝x3－3x.

（2）∵f（x）＝x3－3x，∴f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当－1

（1）＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x）－fmin（x）|＝2－（－2）＝4.

（3）f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）,∵曲线方程为y＝x3－3x，m≠－2，∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0＝x－3x0.因为f′（x0）＝3（x－1），故切线的斜率为3（x－1）＝，整理得2x－3x＋m＋3＝0，（*）

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴方程（*）有三个不同的实数解．

记g（x）＝2x3－3x2＋m＋3，g′（x）＝6x2－6x＝6x（x－1），

令g′（x）＝0，x＝0或1.

则x，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，0）

0

（0,1）

1

（1，＋∞）

g′（x）

＋

0

－

0

＋

g（x）

极大

极小

当x＝0时，g（x）有极大值m＋3；当x＝1时，g（x）有极小值m＋2.

由g（x）的简图知，当且仅当即

－3

所求m的取值范围是（－3，－2）．

18．（2014·北京石景一模）设函数f（x）＝x2＋ax－lnx（a∈R）．

（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（0,1]上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明切点的横坐标为1.

[解析]　

（1）a＝1时，f（x）＝x2＋x－lnx（x>0），

∴f′（x）＝2x＋1－＝，当x∈（0，）时，f′（x）<0；当x∈（，＋∞）时，f′（x）>0.

∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）．

（2）f′（x）＝2x＋a－，∵f（x）在区间（0,1]上是减函数，

∴f′（x）≤0对任意x∈（0,1]恒成立，即2x＋a－≤0对任意x∈（0,1]恒成立．

∴a≤－2x对任意x∈（0,1]恒成立，令g（x）＝－2x，∴a≤g（x）min.

易知g（x）在（0,1]上单调递减，

∴g（x）min＝g

（1）＝－1.∴a≤－1.

（3）证明：

设切点为M（t，f（t）），f′（x）＝2x＋a－，

切线的斜率k＝2t＋a－，

又切线过原点，则k＝，

∴＝2t＋a－，

即t2＋at－lnt＝2t2＋at－1.

∴t2－1＋lnt＝0，

存在性：

t＝1满足方程t2－1＋lnt＝0，

∴t＝1是方程t2－1＋lnt＝0的根．

再证唯一性：

设φ（t）＝t2－1＋lnt，∴φ′（t）＝2t＋>0，∴φ（t）在（0，＋∞）单调递增，且φ

（1）＝0，

∴方程t2－1＋lnt＝0有唯一解．

综上，切点的横坐标为1.